Zdravo! Molim Vas da proverite da li sam tačno rešio sledeći zadatak:
U vektorskom prostoru [inlmath]\mathbb{R}^4[/inlmath] naći minimalnu linearnu mnogostrukost koja sadrži vektore [inlmath]a_1=(2,2,-1,-1)[/inlmath], [inlmath]a_2=(1,2,3,1)[/inlmath], [inlmath]a_3=(0,2,1,2)[/inlmath] i [inlmath]a_4=(2,2,5,-4)[/inlmath].
Moje rešenje je sledeće:
Neka [inlmath]a_1,a_2,a_3,a_4[/inlmath] pripadaju lin. mnogostrukosti [inlmath]L=a+W[/inlmath]. Onda je [inlmath]L=a_1+W=a_2+W=a_3+W=a_4+W[/inlmath]. Odatle sledi da [inlmath]a_1-a_2,\;a_1-a_3,\;a_1-a_4\in W[/inlmath]. Sada se može primetiti da [inlmath]a_1,a_2,a_3,a_4[/inlmath] pripadaju sledećoj lin. mnog.: [inlmath]L'=a_1+\left\{\alpha(a_1-a_2)+\beta(a_1-a_3)+\gamma(a_1-a_4)\mid\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}\right\}[/inlmath].
Neka je [inlmath]L''=a''+W''[/inlmath] proizvoljna lin. mnog. koja sadrži [inlmath]a_1,a_2,a_3,a_4[/inlmath]. Tada je [inlmath]L''=a_1+W''[/inlmath] i [inlmath]a_1-a_2,\;a_1-a_3,\;a_1-a_4\in W''[/inlmath]. Odatle sledi da je [inlmath]W'\subseteq W''[/inlmath], odakle opet sledi da je [inlmath]L'\subseteq L''[/inlmath]. Dakle [inlmath]L'[/inlmath] je podskup svake lin. mnog. koja sadrži date vektore, pa je stoga i minimalna (jedna od minimalnih, možda ima još sa istom dimenzijom).