Determinanta reda n

PostPoslato: Ponedeljak, 31. Jul 2017, 18:55
od wolf11
Naci
[dispmath]D_n=\begin{vmatrix}
6 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 5\\
0 & 5 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0\\
0 & 4 & 5 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 4 & 5 & \cdots & 0 & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 5 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 4 & 5 & 1\\
2 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 4 & 5
\end{vmatrix}[/dispmath] Ja sam zadatak uradio samo bih zelio da neko pogleda moje rjesenje i da potvrdi tacnost rjesenja.

Ja sam determinantu razvio po prvoj koloni i dobio
[dispmath]=6\cdot\begin{vmatrix}
5 & 1 & 0 &\cdots & 0 & 0 & 0\\
4 & 5 & 1 &\cdots & 0 & 0 & 0\\
0 & 4 & 5 &\cdots & 0 & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 5 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 4 & 5 & 1\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 4 & 5
\end{vmatrix}+(-1)^{n+1}\cdot2\cdot\begin{vmatrix}
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 5\\
5 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0\\
4 & 5 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 5 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 4 & 5 & 1
\end{vmatrix}[/dispmath] Zatim sam prepoznao da je prva rekurzivna determinanta, drugu razvio po poslednjoj koloni dobio dvije determinante kod kojih je jedna takodje rekurzivna, a druga jednaka nuli.
I nakon svih sredjivanja, da ne pisem citav postupak dobio sam za rjesenje
[dispmath]6\cdot\frac{4^n-1}{3}+(-1)^{2n+1}\cdot10\cdot\frac{4^{n-1}-1}{3}[/dispmath] Ako moze samo neko da pogleda da li je to dobro rjesenje.

Re: Determinanta reda n

PostPoslato: Utorak, 01. Avgust 2017, 02:09
od Daniel
Rešenje je dobro, treba ga samo još malo srediti.

U prvom sabirku se mogu skratiti šestica i trojka, činilac [inlmath](-1)^{2n+1}[/inlmath] takođe se može uprostiti jer ne zavisi od [inlmath]n[/inlmath] (budući da je [inlmath]-1[/inlmath] uvek stepenovano neparnim brojem), [inlmath]4^{n-1}[/inlmath] se može izraziti preko [inlmath]4^n[/inlmath], zatim se mogu grupisati sabirci koji sadrže [inlmath]4^n[/inlmath], kao i slobodni sabirci...

Kad sve to središ, kao konačno rešenje treba da dobiješ [inlmath]\displaystyle D_n=\frac{7}{6}4^n+\frac{4}{3}[/inlmath].

wolf11 je napisao:Zatim sam prepoznao da je prva rekurzivna determinanta, drugu razvio po poslednjoj koloni dobio dvije determinante kod kojih je jedna takodje rekurzivna, a druga jednaka nuli.

Drugu si mogao umesto po poslednjoj koloni da razviješ po prvoj vrsti, tada bi umesto dve determinante od kojih je druga jednaka nuli dobio samo tu prvu determinantu. :) U principu svejedno, al' ovako mi izgleda za nijansu jednostavnije.