Imam problem sa sledećim zadatkom:
U vektorskom prostoru [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] skupovi [inlmath]S=\left\{(a_1,a_2,\ldots):\;a_i\in\mathbb{R},\;\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\right\}[/inlmath] i [inlmath]T=\left\{(a_1,a_2,\ldots):\;a_i\in\mathbb{R},\;\sum\limits_{i=0}^{\infty}a_i^2<\infty\right\}[/inlmath], su podprostori i [inlmath]S\subseteq T[/inlmath]. Dokazati.
Ja sam dokazao da su [inlmath]S[/inlmath] i [inlmath]T[/inlmath] podprostori, ali nemam ideju kako da dokažem drugi deo zadatka:
Neka [inlmath]x,y\in S[/inlmath] i [inlmath]\alpha,\beta\in\mathbb{R}[/inlmath]. Tada je [inlmath]\alpha x+\beta y=(\alpha x_1+\beta y_1,\;\alpha x_2+\beta y_2,\;\ldots)[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}(\alpha x_n+\beta y_n)=\alpha\lim\limits_{n\to\infty}x_n+\beta\lim\limits_{n\to\infty}y_n=\alpha0+\beta0=0[/inlmath], pa sledi da je [inlmath]S[/inlmath] podprostor.
Neka je, sada, [inlmath]x,y\in T[/inlmath] i [inlmath]\alpha,\beta\in\mathbb{R}[/inlmath]. Imamo da je [inlmath]\alpha x+\beta y=(\alpha x_1+\beta y_1,\;\alpha x_2+\beta y_2,\;\ldots)[/inlmath] i [inlmath]\sum\limits_{i=0}^{\infty}(\alpha x_i+\beta y_i)^2=\alpha^2\sum\limits_{i=0}^{\infty}x_i^2+2\alpha\beta\sum\limits_{i=0}^{\infty}x_iy_i+\beta^2\sum\limits_{i=0}^{\infty}y_i^2[/inlmath], pa je [inlmath]\sum\limits_{i=0}^{\infty}(\alpha x_i+\beta y_i)^2<\infty[/inlmath] (pretpostavljam da ovo važi jer imamo konačan broj sabiraka). Odavde sledi da je i [inlmath]T[/inlmath] podprostor.
Kako da rešim i drugi deo zadatka?