Upoređivanje dva potprostora

PostPoslato: Utorak, 01. Avgust 2017, 12:05
od Gogele
Imam problem sa sledećim zadatkom:

U vektorskom prostoru [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] skupovi [inlmath]S=\left\{(a_1,a_2,\ldots):\;a_i\in\mathbb{R},\;\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\right\}[/inlmath] i [inlmath]T=\left\{(a_1,a_2,\ldots):\;a_i\in\mathbb{R},\;\sum\limits_{i=0}^{\infty}a_i^2<\infty\right\}[/inlmath], su podprostori i [inlmath]S\subseteq T[/inlmath]. Dokazati.

Ja sam dokazao da su [inlmath]S[/inlmath] i [inlmath]T[/inlmath] podprostori, ali nemam ideju kako da dokažem drugi deo zadatka:

Neka [inlmath]x,y\in S[/inlmath] i [inlmath]\alpha,\beta\in\mathbb{R}[/inlmath]. Tada je [inlmath]\alpha x+\beta y=(\alpha x_1+\beta y_1,\;\alpha x_2+\beta y_2,\;\ldots)[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}(\alpha x_n+\beta y_n)=\alpha\lim\limits_{n\to\infty}x_n+\beta\lim\limits_{n\to\infty}y_n=\alpha0+\beta0=0[/inlmath], pa sledi da je [inlmath]S[/inlmath] podprostor.
Neka je, sada, [inlmath]x,y\in T[/inlmath] i [inlmath]\alpha,\beta\in\mathbb{R}[/inlmath]. Imamo da je [inlmath]\alpha x+\beta y=(\alpha x_1+\beta y_1,\;\alpha x_2+\beta y_2,\;\ldots)[/inlmath] i [inlmath]\sum\limits_{i=0}^{\infty}(\alpha x_i+\beta y_i)^2=\alpha^2\sum\limits_{i=0}^{\infty}x_i^2+2\alpha\beta\sum\limits_{i=0}^{\infty}x_iy_i+\beta^2\sum\limits_{i=0}^{\infty}y_i^2[/inlmath], pa je [inlmath]\sum\limits_{i=0}^{\infty}(\alpha x_i+\beta y_i)^2<\infty[/inlmath] (pretpostavljam da ovo važi jer imamo konačan broj sabiraka). Odavde sledi da je i [inlmath]T[/inlmath] podprostor.
Kako da rešim i drugi deo zadatka?

Re: Upoređivanje dva potprostora

PostPoslato: Utorak, 01. Avgust 2017, 13:45
od Daniel
Gogele je napisao:[inlmath]T=\left\{(a_1,a_2,\ldots):\;a_i\in\mathbb{R},\;\sum\limits_{i={\color{red}0}}^{\infty}a_i^2<\infty\right\}[/inlmath]

Pretpostavljam da je ovo greška, da suma umesto od nule treba da ide od jedinice.

Imam kontraprimer za tvrdnju [inlmath]S\subseteq T[/inlmath], a to bi bio vektor [inlmath]x=\left(\frac{1}{\sqrt1},\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt3},\ldots\right)[/inlmath]. Kod njega je ispunjeno [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0[/inlmath] što znači da pripada skupu [inlmath]S[/inlmath], ali nije ispunjeno [inlmath]\sum\limits_{i=1}^\infty x_i^2<\infty[/inlmath] (budući da red [inlmath]\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots[/inlmath] divergira), što znači da ne pripada skupu [inlmath]T[/inlmath].

Ispravio sam naziv teme, budući da se ne kaže podprostor, već potprostor (jednačenje suglasnika po zvučnosti).

Re: Upoređivanje dva potprostora

PostPoslato: Utorak, 01. Avgust 2017, 13:51
od ubavic
Nije mi ovo jasno za konačan broj sabiraka. Niz [inlmath]\alpha x+\beta y[/inlmath] pripada prostoru [inlmath]T[/inlmath] jer [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] pripadaju prostoru [inlmath]T[/inlmath] (sume koje ti nizovi određuju su konvergentne) pa važi jednakost [inlmath]\sum\limits_{i=0}^{\infty}(\alpha x_i+\beta y_i)^2=\alpha^2\sum\limits_{i=0}^{\infty}x_i^2+2\alpha\beta\sum\limits_{i=0}^{\infty}x_iy_i+\beta^2\sum\limits_{i=0}^{\infty}y_i^2[/inlmath].

Drugi deo zadatka se ne može dokazati. Međutim, obrnuta inkluzija može.

Što se tiče onog zadatka sa linearnim mnogostrukostima, dobar je.

EDIT: Preteče me Daniel.

Re: Upoređivanje dva potprostora

PostPoslato: Utorak, 01. Avgust 2017, 16:05
od Gogele
Pre svega da se izvinim, jer u zadatku piše da se treba dokazati da je [inlmath]T\subseteq S[/inlmath], a ne onako kako sam napisao u prvom postu.

Daniel je napisao:Pretpostavljam da je ovo greška, da suma umesto od nule treba da ide od jedinice.

Ispravio sam naziv teme, budući da se ne kaže podprostor, već potprostor (jednačenje suglasnika po zvučnosti).

Hvala na ovim ispravkama.

Re: Upoređivanje dva potprostora

PostPoslato: Utorak, 01. Avgust 2017, 16:40
od Daniel
Gogele je napisao:Pre svega da se izvinim, jer u zadatku piše da se treba dokazati da je [inlmath]T\subseteq S[/inlmath], a ne onako kako sam napisao u prvom postu.

U tom slučaju dokaz je trivijalan i svodi se na potreban uslov konvergencije reda, a to je da njegov opšti član teži nuli.