Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Rjesavanje Vandermondove determinante reda n

Matrice, determinante...

Moderator: Corba248

Rjesavanje Vandermondove determinante reda n

Postod wolf11 » Četvrtak, 03. Avgust 2017, 23:34

Naci Vandermondovu determinatu:
[dispmath]D_n=\begin{vmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-2} & x_1^{n-1}\\
1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-2} & x_2^{n-1}\\
1 & x_3 & x_3^2 & \cdots & x_3^{n-2} & x_3^{n-1}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
1 & x_{n-1} & x_{n-1}^2 & \cdots & x_{n-1}^{n-2} & x_{n-1}^{n-1}\\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-2} & x_n^{n-1}
\end{vmatrix}[/dispmath] Rjesenje je
[dispmath]\prod_{n\geq l>k\geq1}(x_l-x_k)[/dispmath] medjutim ja nikako ne mogu da shvatim kako se do tog rjesenja dolazi.
Pokusavao sam da razumijem uz pomoc ove teme medjutim ovdje je daleko lakse zato sto je determinanta reda [inlmath]3[/inlmath], ja se malo izgubim u svemu ovom posto je reda [inlmath]n[/inlmath]. Ako moze neko malo da mi pojasni kako se dolazi do ove formule za rjesenje determinante.
wolf11  OFFLINE
 
Postovi: 37
Zahvalio se: 31 puta
Pohvaljen: 3 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Rjesavanje Vandermondove determinante reda n

Postod Daniel » Subota, 05. Avgust 2017, 08:30

Krenimo tako što ćemo poslednju vrstu pomnoženu sa [inlmath](-1)[/inlmath] dodati svim preostalim vrstama (dakle, počev od prve pa do [inlmath](n-1).[/inlmath] vrste). Dobijamo:
[dispmath]D_n=\begin{vmatrix}
0 & x_1-x_n & x_1^2-x_n^2 & \cdots & x_1^{n-2}-x_n^{n-2} & x_1^{n-1}-x_n^{n-1}\\
0 & x_2-x_n & x_2^2-x_n^2 & \cdots & x_2^{n-2}-x_n^{n-2} & x_2^{n-1}-x_n^{n-1}\\
0 & x_3-x_n & x_3^2-x_n^2 & \cdots & x_3^{n-2}-x_n^{n-2} & x_3^{n-1}-x_n^{n-1}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & x_{n-1}-x_n & x_{n-1}^2-x_n^2 & \cdots & x_{n-1}^{n-2}-x_n^{n-2} & x_{n-1}^{n-1}-x_n^{n-1}\\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-2} & x_n^{n-1}
\end{vmatrix}_{n\times n}[/dispmath] Razvijemo po prvoj koloni:
[dispmath]D_n=(-1)^{n-1}\begin{vmatrix}
x_1-x_n & x_1^2-x_n^2 & \cdots & x_1^{n-2}-x_n^{n-2} & x_1^{n-1}-x_n^{n-1}\\
x_2-x_n & x_2^2-x_n^2 & \cdots & x_2^{n-2}-x_n^{n-2} & x_2^{n-1}-x_n^{n-1}\\
x_3-x_n & x_3^2-x_n^2 & \cdots & x_3^{n-2}-x_n^{n-2} & x_3^{n-1}-x_n^{n-1}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
x_{n-1}-x_n & x_{n-1}^2-x_n^2 & \cdots & x_{n-1}^{n-2}-x_n^{n-2} & x_{n-1}^{n-1}-x_n^{n-1}
\end{vmatrix}_{(n-1)\times(n-1)}[/dispmath] Sada primenimo rastavljanje razlike [inlmath]n[/inlmath]-tih stepena, pomoću formule koja glasi
[dispmath]a^n-b^n=\left(a-b\right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots +a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}\right)=\left(a-b\right)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-k-1}b^k[/dispmath] Nakon toga će se u prvoj vrsti kao zajednički faktor svih elemenata pojaviti [inlmath](x_1-x_n)[/inlmath], u drugoj vrsti [inlmath](x_2-x_n)[/inlmath], u trećoj [inlmath](x_3-x_n)[/inlmath] itd. do [inlmath](n-1).[/inlmath] vrste u kojoj ćemo imati zajednički faktor [inlmath](x_{n-1}-x_n)[/inlmath]. Svi ovi zajednički faktori mogu da izađu ispred determinante, pa imamo
[dispmath]D_n=\underbrace{(-1)^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}(x_k-x_n)}_{\prod\limits_{k=1}^{n-1}(x_n-x_k)}{\small\begin{vmatrix}
1 & x_1+x_n & x_1^2+x_1x_n+x_n^2 & \cdots & \sum\limits_{k=0}^{n-3}x_1^{n-3-k}x_n^k & \sum\limits_{k=0}^{n-2}x_1^{n-2-k}x_n^k\\
1 & x_2+x_n & x_2^2+x_2x_n+x_n^2 & \cdots & \sum\limits_{k=0}^{n-3}x_2^{n-3-k}x_n^k & \sum\limits_{k=0}^{n-2}x_2^{n-2-k}x_n^k\\
1 & x_3+x_n & x_3^2+x_3x_n+x_n^2 & \cdots & \sum\limits_{k=0}^{n-3}x_3^{n-3-k}x_n^k & \sum\limits_{k=0}^{n-2}x_3^{n-2-k}x_n^k\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
1 & x_{n-1}+x_n & x_{n-1}^2+x_{n-1}x_n+x_n^2 & \cdots & \sum\limits_{k=0}^{n-3}x_{n-1}^{n-3-k}x_n^k & \sum\limits_{k=0}^{n-2}x_{n-1}^{n-2-k}x_n^k
\end{vmatrix}}_{(n-1)\times(n-1)}[/dispmath] Izraz za element [inlmath]i[/inlmath]-te vrste i [inlmath]j[/inlmath]-te kolone glasiće [inlmath]a_{i,j}=\sum\limits_{k=0}^{j-1}x_i^{j-1-k}x_n^k[/inlmath]. Radi pronalaženja veze između elemenata iste vrste a susednih kolona, nađimo sada izraz za element [inlmath]i[/inlmath]-te vrste i [inlmath](j+1).[/inlmath] kolone:
[dispmath]a_{i,j+1}=\sum_{k=0}^jx_i^{j-k}x_n^k=x_i^j+\sum_{k=1}^jx_i^{j-k}x_n^k\;\overset{l=k-1}{=\!=\!=\!=}\;x_i^j+\sum_{l=0}^{j-1}x_i^{j-1-l}x_n^{l+1}\;\overset{k=l}{=\!=}\;x_i^j+x_n\underbrace{\sum_{k=0}^{j-1}x_i^{j-1-k}x_n^k}_{a_{i,j}}\\
\Longrightarrow\quad a_{i,j+1}=x_i^j+x_na_{i,j}[/dispmath] a to nam govori sledeće: ukoliko [inlmath](j+1).[/inlmath] koloni dodamo [inlmath]j[/inlmath]-tu kolonu pomnoženu sa [inlmath](-x_n)[/inlmath], u [inlmath]i[/inlmath]-toj vrsti i [inlmath](j+1).[/inlmath] koloni dobićemo [inlmath]x_i^j[/inlmath]. Sad ovaj postupak primenimo na svake dve susedne kolone, idući zdesna nalevo, tj. tako što prvo [inlmath](n-2).[/inlmath] kolonu pomnožimo sa [inlmath](-x_n)[/inlmath] i dodamo [inlmath](n-1).[/inlmath] koloni, zatim [inlmath](n-3).[/inlmath] kolonu pomnožimo sa [inlmath](-x_n)[/inlmath] i dodamo [inlmath](n-2).[/inlmath] koloni... itd... pa sve do prve kolone koju pomnožimo sa [inlmath](-x_n)[/inlmath] i dodamo drugoj koloni. Dobićemo determinantu [inlmath](n-1)\times(n-1)[/inlmath] koja u [inlmath]i[/inlmath]-toj vrsti i [inlmath]j[/inlmath]-toj koloni ima element [inlmath]x_i^{j-1}[/inlmath] – a to je upravo Vandermondova determinanta dimenzija [inlmath](n-1)\times(n-1)[/inlmath].
Ovime smo došli do rekurentne veze,
[dispmath]D_n=\prod\limits_{k=1}^{n-1}(x_n-x_k)D_{n-1}[/dispmath] Koristeći ovu formulu, [inlmath]D_{n-1}[/inlmath] napišemo preko [inlmath]D_{n-2}[/inlmath], zatim [inlmath]D_{n-2}[/inlmath] preko [inlmath]D_{n-3}[/inlmath]... itd... sve do [inlmath]D_2[/inlmath] preko [inlmath]D_1[/inlmath]:
[dispmath]D_n=\prod_{k=1}^{n-1}(x_n-x_k)\prod_{k=1}^{n-2}(x_{n-1}-x_k)D_{n-2}\\
D_n=\prod_{k=1}^{n-1}(x_n-x_k)\prod_{k=1}^{n-2}(x_{n-1}-x_k)\prod_{k=1}^{n-3}(x_{n-2}-x_k)D_{n-3}\\
\vdots\\
D_n=\prod_{k=1}^{n-1}(x_n-x_k)\prod_{k=1}^{n-2}(x_{n-1}-x_k)\prod_{k=1}^{n-3}(x_{n-2}-x_k)\cdots\prod_{k=1}^2(x_3-x_k)D_2\\
D_n=\prod_{k=1}^{n-1}(x_n-x_k)\prod_{k=1}^{n-2}(x_{n-1}-x_k)\prod_{k=1}^{n-3}(x_{n-2}-x_k)\cdots\prod_{k=1}^2(x_3-x_k)\prod_{k=1}^1(x_2-x_k)D_1[/dispmath] I, pošto je [inlmath]D_1=1[/inlmath], ovime smo došli do konačne formule. Prethodno napisani proizvodi mogu se skupiti u jednu formulu,
[dispmath]\enclose{box}{D_n=\prod_{n\ge l>k\ge1}(x_l-x_k)}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7680
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 4 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 19. Avgust 2019, 10:11 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs