-
+1
Ovi korisnici su zahvalili autoru
Daniel za post:
wolf11
Reputacija: 4.55%
od Daniel » Subota, 05. Avgust 2017, 07:30
Krenimo tako što ćemo poslednju vrstu pomnoženu sa [inlmath](-1)[/inlmath] dodati svim preostalim vrstama (dakle, počev od prve pa do [inlmath](n-1).[/inlmath] vrste). Dobijamo:
[dispmath]D_n=\begin{vmatrix}
0 & x_1-x_n & x_1^2-x_n^2 & \cdots & x_1^{n-2}-x_n^{n-2} & x_1^{n-1}-x_n^{n-1}\\
0 & x_2-x_n & x_2^2-x_n^2 & \cdots & x_2^{n-2}-x_n^{n-2} & x_2^{n-1}-x_n^{n-1}\\
0 & x_3-x_n & x_3^2-x_n^2 & \cdots & x_3^{n-2}-x_n^{n-2} & x_3^{n-1}-x_n^{n-1}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & x_{n-1}-x_n & x_{n-1}^2-x_n^2 & \cdots & x_{n-1}^{n-2}-x_n^{n-2} & x_{n-1}^{n-1}-x_n^{n-1}\\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-2} & x_n^{n-1}
\end{vmatrix}_{n\times n}[/dispmath] Razvijemo po prvoj koloni:
[dispmath]D_n=(-1)^{n-1}\begin{vmatrix}
x_1-x_n & x_1^2-x_n^2 & \cdots & x_1^{n-2}-x_n^{n-2} & x_1^{n-1}-x_n^{n-1}\\
x_2-x_n & x_2^2-x_n^2 & \cdots & x_2^{n-2}-x_n^{n-2} & x_2^{n-1}-x_n^{n-1}\\
x_3-x_n & x_3^2-x_n^2 & \cdots & x_3^{n-2}-x_n^{n-2} & x_3^{n-1}-x_n^{n-1}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
x_{n-1}-x_n & x_{n-1}^2-x_n^2 & \cdots & x_{n-1}^{n-2}-x_n^{n-2} & x_{n-1}^{n-1}-x_n^{n-1}
\end{vmatrix}_{(n-1)\times(n-1)}[/dispmath] Sada primenimo rastavljanje razlike [inlmath]n[/inlmath]-tih stepena, pomoću formule koja glasi
[dispmath]a^n-b^n=\left(a-b\right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots +a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}\right)=\left(a-b\right)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-k-1}b^k[/dispmath] Nakon toga će se u prvoj vrsti kao zajednički faktor svih elemenata pojaviti [inlmath](x_1-x_n)[/inlmath], u drugoj vrsti [inlmath](x_2-x_n)[/inlmath], u trećoj [inlmath](x_3-x_n)[/inlmath] itd. do [inlmath](n-1).[/inlmath] vrste u kojoj ćemo imati zajednički faktor [inlmath](x_{n-1}-x_n)[/inlmath]. Svi ovi zajednički faktori mogu da izađu ispred determinante, pa imamo
[dispmath]D_n=\underbrace{(-1)^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}(x_k-x_n)}_{\prod\limits_{k=1}^{n-1}(x_n-x_k)}{\small\begin{vmatrix}
1 & x_1+x_n & x_1^2+x_1x_n+x_n^2 & \cdots & \sum\limits_{k=0}^{n-3}x_1^{n-3-k}x_n^k & \sum\limits_{k=0}^{n-2}x_1^{n-2-k}x_n^k\\
1 & x_2+x_n & x_2^2+x_2x_n+x_n^2 & \cdots & \sum\limits_{k=0}^{n-3}x_2^{n-3-k}x_n^k & \sum\limits_{k=0}^{n-2}x_2^{n-2-k}x_n^k\\
1 & x_3+x_n & x_3^2+x_3x_n+x_n^2 & \cdots & \sum\limits_{k=0}^{n-3}x_3^{n-3-k}x_n^k & \sum\limits_{k=0}^{n-2}x_3^{n-2-k}x_n^k\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
1 & x_{n-1}+x_n & x_{n-1}^2+x_{n-1}x_n+x_n^2 & \cdots & \sum\limits_{k=0}^{n-3}x_{n-1}^{n-3-k}x_n^k & \sum\limits_{k=0}^{n-2}x_{n-1}^{n-2-k}x_n^k
\end{vmatrix}}_{(n-1)\times(n-1)}[/dispmath] Izraz za element [inlmath]i[/inlmath]-te vrste i [inlmath]j[/inlmath]-te kolone glasiće [inlmath]a_{i,j}=\sum\limits_{k=0}^{j-1}x_i^{j-1-k}x_n^k[/inlmath]. Radi pronalaženja veze između elemenata iste vrste a susednih kolona, nađimo sada izraz za element [inlmath]i[/inlmath]-te vrste i [inlmath](j+1).[/inlmath] kolone:
[dispmath]a_{i,j+1}=\sum_{k=0}^jx_i^{j-k}x_n^k=x_i^j+\sum_{k=1}^jx_i^{j-k}x_n^k\;\overset{l=k-1}{=\!=\!=\!=}\;x_i^j+\sum_{l=0}^{j-1}x_i^{j-1-l}x_n^{l+1}\;\overset{k=l}{=\!=}\;x_i^j+x_n\underbrace{\sum_{k=0}^{j-1}x_i^{j-1-k}x_n^k}_{a_{i,j}}\\
\Longrightarrow\quad a_{i,j+1}=x_i^j+x_na_{i,j}[/dispmath] a to nam govori sledeće: ukoliko [inlmath](j+1).[/inlmath] koloni dodamo [inlmath]j[/inlmath]-tu kolonu pomnoženu sa [inlmath](-x_n)[/inlmath], u [inlmath]i[/inlmath]-toj vrsti i [inlmath](j+1).[/inlmath] koloni dobićemo [inlmath]x_i^j[/inlmath]. Sad ovaj postupak primenimo na svake dve susedne kolone, idući zdesna nalevo, tj. tako što prvo [inlmath](n-2).[/inlmath] kolonu pomnožimo sa [inlmath](-x_n)[/inlmath] i dodamo [inlmath](n-1).[/inlmath] koloni, zatim [inlmath](n-3).[/inlmath] kolonu pomnožimo sa [inlmath](-x_n)[/inlmath] i dodamo [inlmath](n-2).[/inlmath] koloni... itd... pa sve do prve kolone koju pomnožimo sa [inlmath](-x_n)[/inlmath] i dodamo drugoj koloni. Dobićemo determinantu [inlmath](n-1)\times(n-1)[/inlmath] koja u [inlmath]i[/inlmath]-toj vrsti i [inlmath]j[/inlmath]-toj koloni ima element [inlmath]x_i^{j-1}[/inlmath] – a to je upravo Vandermondova determinanta dimenzija [inlmath](n-1)\times(n-1)[/inlmath].
Ovime smo došli do rekurentne veze,
[dispmath]D_n=\prod\limits_{k=1}^{n-1}(x_n-x_k)D_{n-1}[/dispmath] Koristeći ovu formulu, [inlmath]D_{n-1}[/inlmath] napišemo preko [inlmath]D_{n-2}[/inlmath], zatim [inlmath]D_{n-2}[/inlmath] preko [inlmath]D_{n-3}[/inlmath]... itd... sve do [inlmath]D_2[/inlmath] preko [inlmath]D_1[/inlmath]:
[dispmath]D_n=\prod_{k=1}^{n-1}(x_n-x_k)\prod_{k=1}^{n-2}(x_{n-1}-x_k)D_{n-2}\\
D_n=\prod_{k=1}^{n-1}(x_n-x_k)\prod_{k=1}^{n-2}(x_{n-1}-x_k)\prod_{k=1}^{n-3}(x_{n-2}-x_k)D_{n-3}\\
\vdots\\
D_n=\prod_{k=1}^{n-1}(x_n-x_k)\prod_{k=1}^{n-2}(x_{n-1}-x_k)\prod_{k=1}^{n-3}(x_{n-2}-x_k)\cdots\prod_{k=1}^2(x_3-x_k)D_2\\
D_n=\prod_{k=1}^{n-1}(x_n-x_k)\prod_{k=1}^{n-2}(x_{n-1}-x_k)\prod_{k=1}^{n-3}(x_{n-2}-x_k)\cdots\prod_{k=1}^2(x_3-x_k)\prod_{k=1}^1(x_2-x_k)D_1[/dispmath] I, pošto je [inlmath]D_1=1[/inlmath], ovime smo došli do konačne formule. Prethodno napisani proizvodi mogu se skupiti u jednu formulu,
[dispmath]\enclose{box}{D_n=\prod_{n\ge l>k\ge1}(x_l-x_k)}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain