Određivanje baze, dimenzije i direktnog komplementa
Poslato: Sreda, 09. Avgust 2017, 14:52
Hteo bih da proverim da li sam sledeći zadatak tačno uradio:
U vektorskom prostoru [inlmath]\mathbb{C}^4(\mathbb{R})[/inlmath] zadati su sledeći skupovi, [inlmath]U=\left\{(z_1,z_2,z_3,z_4):z_1+2z_2+z_3=0,\;2z_1+z_2+z_3=0,\;z_1+5z_2+4z_3=0\right\}[/inlmath] i [inlmath]V=\left\{(z_1,z_2,z_3,z_4):z_1-z_3+z_4=0,\;3z_1-z_2+4z_4=0\right\}[/inlmath]. Odrediti jednu bazu i dimenziju potprostora [inlmath]U[/inlmath], [inlmath]V[/inlmath], [inlmath]U+V[/inlmath] i [inlmath]U\cap V[/inlmath]. Zatim odrediti direktni komplement potprostora [inlmath]U[/inlmath].
Moje rešenje je sledeće:
1) Za [inlmath]U[/inlmath]: Nakon rešavanja jednačina dobio sam da je [inlmath]z_1=z_2=z_3=0[/inlmath] i [inlmath]z_4\in\mathbb{C}[/inlmath], pa je [inlmath]U=\{(0,0,0,z_4):z_4\in\mathbb{C}\}[/inlmath]. Odavde sledi da je [inlmath]U=L\{(0,0,0,1)\}[/inlmath], pa je [inlmath]\dim(U)=1[/inlmath]. Baza je vektor [inlmath](0,0,0,1)[/inlmath].
2) Za [inlmath]V[/inlmath]: Nakon rešavanja jendačina dobio sam da je [inlmath]z_1=z_3-z_4[/inlmath] i [inlmath]z_2=3z_3+z_4[/inlmath], pa je [inlmath]V=\{(z_3-z_4,\;3z_3+z_4,\;z_3,z_4):z_3,z_4\in\mathbb{C}\}[/inlmath]. Odavde sledi da je [inlmath]V=\mathcal{L}\{(1,3,1,0),(-1,1,0,1)\}[/inlmath], pa je [inlmath]\dim(V)=2[/inlmath]. Baza je niz vektora [inlmath]\{(1,3,1,0),(-1,1,0,1)\}[/inlmath].
3) Sada za [inlmath]x\in U+V[/inlmath], važi: [inlmath]x=\alpha(0,0,0,1)+\beta(1,3,1,0)+\gamma(-1,1,0,1)[/inlmath]. Kada proverimo linearnu nezavisnost vektora [inlmath](0,0,0,1)[/inlmath], [inlmath](1,3,1,0)[/inlmath] i [inlmath](-1,1,0,1)[/inlmath], dobijamo da su ti vektori linearno nezavisni, pa sledi da je [inlmath]U+V=\mathcal{L}\{(0,0,0,1),(1,3,1,0),(-1,1,0,1)\}[/inlmath] i da je [inlmath]\dim(U+V)=3[/inlmath]. Baza je niz vektora [inlmath]\{(0,0,0,1),(1,3,1,0),(-1,1,0,1)\}[/inlmath].
4) Za [inlmath]x\in U\cap V[/inlmath] važi, [inlmath]x=\alpha(0,0,0,1)[/inlmath] i [inlmath]x=\beta(1,3,1,0)+\gamma(-1,1,0,1)[/inlmath], pa je [inlmath](0,0,0,\alpha)=(\beta-\gamma,\;3\beta+\gamma,\;\beta,\;\gamma)[/inlmath], odakle sledi da je [inlmath]\alpha=\beta=\gamma=0[/inlmath]. Dakle, dobijamo da je [inlmath]U\cap V={0}[/inlmath], pa je i [inlmath]\dim(U\cap V)=0[/inlmath]. Baza je nula-vektor.
5) Imamo da je direktni komplement potprostora [inlmath]U[/inlmath], potprostor [inlmath]W[/inlmath], takav da je [inlmath]V=U\oplus W[/inlmath]. Posmatrajmo [inlmath]W=\mathcal{L}\{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0)\}[/inlmath]. Neka [inlmath]x,y\in W[/inlmath], a [inlmath]\alpha,\beta\in\mathbb{R}[/inlmath]. Dobija se da je [inlmath]\alpha x+\beta y\in W[/inlmath], pa je [inlmath]W[/inlmath] potprostor v.p. [inlmath]\mathbb{C}^4[/inlmath].
Za [inlmath]x\in W\cap U[/inlmath], dobija se da je [inlmath]x=\alpha(1,0,0,0)+\beta(0,1,0,0)+\gamma(0,0,1,0)[/inlmath] i [inlmath]x=\delta(0,0,0,1)[/inlmath]. Odavde dobijamo da je [inlmath]\alpha=\beta=\gamma=\delta=0[/inlmath], pa je i [inlmath]x=(0,0,0,0)[/inlmath]. Odavde sledi da je [inlmath]W\cap U={0}[/inlmath].
Za [inlmath]x\in\mathbb{C}^4[/inlmath], [inlmath]x=(x_1,x_2,x_3,x_4)[/inlmath], važi da je:
[dispmath]x=\underbrace{x_1(1,0,0,0)+x_2(0,1,0,0)+x_3(0,0,1,0)}_{\in W}+\underbrace{z_4(0,0,0,1)}_{\in U}[/dispmath] odakle sledi da je [inlmath]W[/inlmath] dir. komplement [inlmath]U[/inlmath].
Molim vas, možete li mi reći da li je ovo tačno rešenje i ukazati na eventualne greške?
U vektorskom prostoru [inlmath]\mathbb{C}^4(\mathbb{R})[/inlmath] zadati su sledeći skupovi, [inlmath]U=\left\{(z_1,z_2,z_3,z_4):z_1+2z_2+z_3=0,\;2z_1+z_2+z_3=0,\;z_1+5z_2+4z_3=0\right\}[/inlmath] i [inlmath]V=\left\{(z_1,z_2,z_3,z_4):z_1-z_3+z_4=0,\;3z_1-z_2+4z_4=0\right\}[/inlmath]. Odrediti jednu bazu i dimenziju potprostora [inlmath]U[/inlmath], [inlmath]V[/inlmath], [inlmath]U+V[/inlmath] i [inlmath]U\cap V[/inlmath]. Zatim odrediti direktni komplement potprostora [inlmath]U[/inlmath].
Moje rešenje je sledeće:
1) Za [inlmath]U[/inlmath]: Nakon rešavanja jednačina dobio sam da je [inlmath]z_1=z_2=z_3=0[/inlmath] i [inlmath]z_4\in\mathbb{C}[/inlmath], pa je [inlmath]U=\{(0,0,0,z_4):z_4\in\mathbb{C}\}[/inlmath]. Odavde sledi da je [inlmath]U=L\{(0,0,0,1)\}[/inlmath], pa je [inlmath]\dim(U)=1[/inlmath]. Baza je vektor [inlmath](0,0,0,1)[/inlmath].
2) Za [inlmath]V[/inlmath]: Nakon rešavanja jendačina dobio sam da je [inlmath]z_1=z_3-z_4[/inlmath] i [inlmath]z_2=3z_3+z_4[/inlmath], pa je [inlmath]V=\{(z_3-z_4,\;3z_3+z_4,\;z_3,z_4):z_3,z_4\in\mathbb{C}\}[/inlmath]. Odavde sledi da je [inlmath]V=\mathcal{L}\{(1,3,1,0),(-1,1,0,1)\}[/inlmath], pa je [inlmath]\dim(V)=2[/inlmath]. Baza je niz vektora [inlmath]\{(1,3,1,0),(-1,1,0,1)\}[/inlmath].
3) Sada za [inlmath]x\in U+V[/inlmath], važi: [inlmath]x=\alpha(0,0,0,1)+\beta(1,3,1,0)+\gamma(-1,1,0,1)[/inlmath]. Kada proverimo linearnu nezavisnost vektora [inlmath](0,0,0,1)[/inlmath], [inlmath](1,3,1,0)[/inlmath] i [inlmath](-1,1,0,1)[/inlmath], dobijamo da su ti vektori linearno nezavisni, pa sledi da je [inlmath]U+V=\mathcal{L}\{(0,0,0,1),(1,3,1,0),(-1,1,0,1)\}[/inlmath] i da je [inlmath]\dim(U+V)=3[/inlmath]. Baza je niz vektora [inlmath]\{(0,0,0,1),(1,3,1,0),(-1,1,0,1)\}[/inlmath].
4) Za [inlmath]x\in U\cap V[/inlmath] važi, [inlmath]x=\alpha(0,0,0,1)[/inlmath] i [inlmath]x=\beta(1,3,1,0)+\gamma(-1,1,0,1)[/inlmath], pa je [inlmath](0,0,0,\alpha)=(\beta-\gamma,\;3\beta+\gamma,\;\beta,\;\gamma)[/inlmath], odakle sledi da je [inlmath]\alpha=\beta=\gamma=0[/inlmath]. Dakle, dobijamo da je [inlmath]U\cap V={0}[/inlmath], pa je i [inlmath]\dim(U\cap V)=0[/inlmath]. Baza je nula-vektor.
5) Imamo da je direktni komplement potprostora [inlmath]U[/inlmath], potprostor [inlmath]W[/inlmath], takav da je [inlmath]V=U\oplus W[/inlmath]. Posmatrajmo [inlmath]W=\mathcal{L}\{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0)\}[/inlmath]. Neka [inlmath]x,y\in W[/inlmath], a [inlmath]\alpha,\beta\in\mathbb{R}[/inlmath]. Dobija se da je [inlmath]\alpha x+\beta y\in W[/inlmath], pa je [inlmath]W[/inlmath] potprostor v.p. [inlmath]\mathbb{C}^4[/inlmath].
Za [inlmath]x\in W\cap U[/inlmath], dobija se da je [inlmath]x=\alpha(1,0,0,0)+\beta(0,1,0,0)+\gamma(0,0,1,0)[/inlmath] i [inlmath]x=\delta(0,0,0,1)[/inlmath]. Odavde dobijamo da je [inlmath]\alpha=\beta=\gamma=\delta=0[/inlmath], pa je i [inlmath]x=(0,0,0,0)[/inlmath]. Odavde sledi da je [inlmath]W\cap U={0}[/inlmath].
Za [inlmath]x\in\mathbb{C}^4[/inlmath], [inlmath]x=(x_1,x_2,x_3,x_4)[/inlmath], važi da je:
[dispmath]x=\underbrace{x_1(1,0,0,0)+x_2(0,1,0,0)+x_3(0,0,1,0)}_{\in W}+\underbrace{z_4(0,0,0,1)}_{\in U}[/dispmath] odakle sledi da je [inlmath]W[/inlmath] dir. komplement [inlmath]U[/inlmath].
Molim vas, možete li mi reći da li je ovo tačno rešenje i ukazati na eventualne greške?