Stranica 1 od 1

Određivanje baze, dimenzije i direktnog komplementa

PostPoslato: Sreda, 09. Avgust 2017, 15:52
od Gogele
Hteo bih da proverim da li sam sledeći zadatak tačno uradio:

U vektorskom prostoru [inlmath]\mathbb{C}^4(\mathbb{R})[/inlmath] zadati su sledeći skupovi, [inlmath]U=\left\{(z_1,z_2,z_3,z_4):z_1+2z_2+z_3=0,\;2z_1+z_2+z_3=0,\;z_1+5z_2+4z_3=0\right\}[/inlmath] i [inlmath]V=\left\{(z_1,z_2,z_3,z_4):z_1-z_3+z_4=0,\;3z_1-z_2+4z_4=0\right\}[/inlmath]. Odrediti jednu bazu i dimenziju potprostora [inlmath]U[/inlmath], [inlmath]V[/inlmath], [inlmath]U+V[/inlmath] i [inlmath]U\cap V[/inlmath]. Zatim odrediti direktni komplement potprostora [inlmath]U[/inlmath].

Moje rešenje je sledeće:

1) Za [inlmath]U[/inlmath]: Nakon rešavanja jednačina dobio sam da je [inlmath]z_1=z_2=z_3=0[/inlmath] i [inlmath]z_4\in\mathbb{C}[/inlmath], pa je [inlmath]U=\{(0,0,0,z_4):z_4\in\mathbb{C}\}[/inlmath]. Odavde sledi da je [inlmath]U=L\{(0,0,0,1)\}[/inlmath], pa je [inlmath]\dim(U)=1[/inlmath]. Baza je vektor [inlmath](0,0,0,1)[/inlmath].

2) Za [inlmath]V[/inlmath]: Nakon rešavanja jendačina dobio sam da je [inlmath]z_1=z_3-z_4[/inlmath] i [inlmath]z_2=3z_3+z_4[/inlmath], pa je [inlmath]V=\{(z_3-z_4,\;3z_3+z_4,\;z_3,z_4):z_3,z_4\in\mathbb{C}\}[/inlmath]. Odavde sledi da je [inlmath]V=\mathcal{L}\{(1,3,1,0),(-1,1,0,1)\}[/inlmath], pa je [inlmath]\dim(V)=2[/inlmath]. Baza je niz vektora [inlmath]\{(1,3,1,0),(-1,1,0,1)\}[/inlmath].

3) Sada za [inlmath]x\in U+V[/inlmath], važi: [inlmath]x=\alpha(0,0,0,1)+\beta(1,3,1,0)+\gamma(-1,1,0,1)[/inlmath]. Kada proverimo linearnu nezavisnost vektora [inlmath](0,0,0,1)[/inlmath], [inlmath](1,3,1,0)[/inlmath] i [inlmath](-1,1,0,1)[/inlmath], dobijamo da su ti vektori linearno nezavisni, pa sledi da je [inlmath]U+V=\mathcal{L}\{(0,0,0,1),(1,3,1,0),(-1,1,0,1)\}[/inlmath] i da je [inlmath]\dim(U+V)=3[/inlmath]. Baza je niz vektora [inlmath]\{(0,0,0,1),(1,3,1,0),(-1,1,0,1)\}[/inlmath].

4) Za [inlmath]x\in U\cap V[/inlmath] važi, [inlmath]x=\alpha(0,0,0,1)[/inlmath] i [inlmath]x=\beta(1,3,1,0)+\gamma(-1,1,0,1)[/inlmath], pa je [inlmath](0,0,0,\alpha)=(\beta-\gamma,\;3\beta+\gamma,\;\beta,\;\gamma)[/inlmath], odakle sledi da je [inlmath]\alpha=\beta=\gamma=0[/inlmath]. Dakle, dobijamo da je [inlmath]U\cap V={0}[/inlmath], pa je i [inlmath]\dim(U\cap V)=0[/inlmath]. Baza je nula-vektor.

5) Imamo da je direktni komplement potprostora [inlmath]U[/inlmath], potprostor [inlmath]W[/inlmath], takav da je [inlmath]V=U\oplus W[/inlmath]. Posmatrajmo [inlmath]W=\mathcal{L}\{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0)\}[/inlmath]. Neka [inlmath]x,y\in W[/inlmath], a [inlmath]\alpha,\beta\in\mathbb{R}[/inlmath]. Dobija se da je [inlmath]\alpha x+\beta y\in W[/inlmath], pa je [inlmath]W[/inlmath] potprostor v.p. [inlmath]\mathbb{C}^4[/inlmath].

Za [inlmath]x\in W\cap U[/inlmath], dobija se da je [inlmath]x=\alpha(1,0,0,0)+\beta(0,1,0,0)+\gamma(0,0,1,0)[/inlmath] i [inlmath]x=\delta(0,0,0,1)[/inlmath]. Odavde dobijamo da je [inlmath]\alpha=\beta=\gamma=\delta=0[/inlmath], pa je i [inlmath]x=(0,0,0,0)[/inlmath]. Odavde sledi da je [inlmath]W\cap U={0}[/inlmath].

Za [inlmath]x\in\mathbb{C}^4[/inlmath], [inlmath]x=(x_1,x_2,x_3,x_4)[/inlmath], važi da je:
[dispmath]x=\underbrace{x_1(1,0,0,0)+x_2(0,1,0,0)+x_3(0,0,1,0)}_{\in W}+\underbrace{z_4(0,0,0,1)}_{\in U}[/dispmath] odakle sledi da je [inlmath]W[/inlmath] dir. komplement [inlmath]U[/inlmath].

Molim vas, možete li mi reći da li je ovo tačno rešenje i ukazati na eventualne greške?

Re: Određivanje baze, dimenzije i direktnog komplementa

PostPoslato: Sreda, 09. Avgust 2017, 21:37
od ubavic
Prvo ovo da razjasnimo:
Prostori koje posmatraš su potprostori [inlmath]\mathbb{C}^4(\mathbb{R})[/inlmath] kako si naveo u samoj postavci zadatka. Ja do sad nisam video oznaku [inlmath]\mathbb{C}^4(\mathbb{R})[/inlmath], da li ona predstavlja skup svih uređenih četvorki posmatrane kao vektorski prostor nad realnim poljem? Ako je tako, onda zadatak nije dobar.
Za [inlmath]V=\mathbb{C}^4(\mathbb{R})[/inlmath] važi [inlmath]\dim(V)=8[/inlmath]. Da bi se u ovo uverio, posmatraj jednostavniji slučaj: polje [inlmath]\mathbb{C}[/inlmath] kao vektorski prostor nad [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] ili nad [inlmath]\mathbb{C}[/inlmath]. U prvom slučaju dimenzija takvog prostora je [inlmath]2[/inlmath], dok je u drugom slučaju dimenzija [inlmath]1[/inlmath].

Ovako postavljen i urađen zadatak bi imao više smisla, kad bi se posmatrao skup [inlmath]\mathbb{C}^4[/inlmath] kao vektorski prostor nad poljem [inlmath]\mathbb{C}[/inlmath]. Ako je to bio slučaj, ja se unapred izvinjavam.
Ako to jeste bio slučaj, dobro si uradio zadatak (pod pretpostavkom da si dobro rešio sisteme, to ne mogu da rešavam). Postoje sitne greške:

1) Isto kao što ne poistovećujemo jednočlani skup sa njegovim elementom, to ne radimo ni sa uređenom 1-torkom. Jedan vektor ne može biti baza kao što si napisao, ali niz sa jednim vektorom može.
2) Ovde si napisao niz, ali si koristio vitičaste zagrade. Uobičajno je da se za nizove koriste obične zagrade.
Takođe, u konačnom slučaju, lepše je reći uređena n-torka nego niz. A ovde je možda najlepše reći sistem vektora. Isto važi i u prethodnoj i sledećoj tački.
3) Isto si napisao niz vektora, itd... Ali si napravio još jedan prospust: [inlmath]U+V=\mathcal{L}\{(0,0,0,1),(1,3,1,0),(-1,1,0,1)\}[/inlmath] će važiti bez obzira da li su vektori linearno nezavisni ili ne.
4) Baza trivijalnog potprostora [inlmath]\{0\}[/inlmath] je zapravo [inlmath]\{\}[/inlmath].
5) Ako neki skup [inlmath]W[/inlmath] definišeš kao lineal nekog skupa/sistema vektora, onda nema potrebe da dokazuješ da je [inlmath]W[/inlmath] potprostor. Osim ako vam nije to eksplicitno rečeno.

Izvini ako sam preterao, ali tražio si da ti ukažemo na greške :D

Re: Određivanje baze, dimenzije i direktnog komplementa

PostPoslato: Četvrtak, 10. Avgust 2017, 10:38
od Gogele
ubavic je napisao:Prvo ovo da razjasnimo:
Prostori koje posmatraš su potprostori [inlmath]\mathbb{C}^4(\mathbb{R})[/inlmath] kako si naveo u samoj postavci zadatka. Ja do sad nisam video oznaku [inlmath]\mathbb{C}^4(\mathbb{R})[/inlmath], da li ona predstavlja skup svih uređenih četvorki posmatrane kao vektorski prostor nad realnim poljem? Ako je tako, onda zadatak nije dobar.

Radi se o v.p. [inlmath]\mathbb{C}^4(\mathbb{R})[/inlmath]. Šteta! :)

Re: Određivanje baze, dimenzije i direktnog komplementa

PostPoslato: Četvrtak, 10. Avgust 2017, 12:04
od ubavic
To si već napisao. Ja sam te pitao šta tačno znači ta oznaka?

Re: Određivanje baze, dimenzije i direktnog komplementa

PostPoslato: Četvrtak, 10. Avgust 2017, 13:07
od Gogele
Izvinjavam se. Da, ta oznaka predstavlja vektorski prostor uređenih četvorki kompleksnih brojeva nad poljem realnih brojeva. Dobro sam proverio i tako piše u tekstu zadatka, tj. nije nad poljem [inlmath]\mathbb{C}[/inlmath].

Re: Određivanje baze, dimenzije i direktnog komplementa

PostPoslato: Četvrtak, 10. Avgust 2017, 14:24
od Gogele
Imam novo rešenje. Dakle, imamo da je [inlmath]\mathbb{C}^4=\mathcal{L}\left\{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(i,0,0,0),(0,i,0,0),(0,0,i,0),(0,0,0,i)\right\}[/inlmath]. Na osnovu toga, analogno kao u mom prvom postu, dobio sam da je:

1) [inlmath]U=\mathcal{L}\left\{(0,0,0,1),(0,0,0,i)\right\}[/inlmath], pa je [inlmath]\dim(U)=2[/inlmath].

2) [inlmath]V=\mathcal{L}\left\{(1,3,1,0),(-1,1,0,1),(i,3i,i,0),(-i,i,0,i)\right\}[/inlmath], pa je [inlmath]\dim(V)=4[/inlmath].

3) [inlmath]U\cap V=(0,0,0,0)[/inlmath], pa je [inlmath]\dim(U\cap V)=0[/inlmath].

4) [inlmath]U+V=\mathcal{L}\left\{(0,0,0,1),(0,0,0,i),(1,3,1,0),(-1,1,0,1),(i,3i,i,0),(-i,i,0,i)\right\}[/inlmath], pa je [inlmath]\dim(U+V)=6[/inlmath].

5) Direktni komplement potprostora [inlmath]U[/inlmath] je potprostor [inlmath]V=\mathcal{L}\left\{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(i,0,0,0),(0,i,0,0),(0,0,i,0)\right\}[/inlmath].

Nadam se da je ovo tačno.

Re: Određivanje baze, dimenzije i direktnog komplementa

PostPoslato: Četvrtak, 10. Avgust 2017, 16:44
od ubavic
Verovatno jeste.

Kod ovakvih zadataka Grasmanova formula pomaže da uočiš grešku. Ali to ne znači ako se rezultati uklapaju u Grasmanovu formulu da je sve tačno.

I da, presek dva potprostora ne može biti vektor, ali može biti jednočlan skup.