Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Baza ortogonalnog komplementa. Ortogonalna projekcija na potprostor i njegov ortogonalni komplement

Matrice, determinante...

Moderator: Corba248

Baza ortogonalnog komplementa. Ortogonalna projekcija na potprostor i njegov ortogonalni komplement

Postod Gogele » Četvrtak, 10. Avgust 2017, 10:20

Zdravo! Hteo bih da proverim da li sam tačno uradio sledeći zadatak:

Na vektorskom prostoru [inlmath]\mathbb{R}_2[x]=\left\{p(x)=ax^2+bx+c:a,b,c\in\mathbb{R}\right\}[/inlmath] zadat je unutrašnji proizvod sa [inlmath]\left<p,q\right>=\int\limits_{-1}^1p(x)q(x)\,\mathrm dx[/inlmath], za [inlmath]p,q\in\mathbb{R}_2[x][/inlmath]. Odrediti jednu bazu ortogonalnog komplementa potprostora [inlmath]U=\mathcal{L}\left\{x^2-1,\;x+1\right\}[/inlmath]. Zatim nađite ortogonalnu projekciju polinoma [inlmath]p(x)=2x^2+x+5[/inlmath] na prostore [inlmath]U[/inlmath] i [inlmath]U^{\bot}[/inlmath].

Moje rešenje je sledeće:

1) Odrediti ortogonalni komplement potprostora [inlmath]U[/inlmath]. Kako je [inlmath]U^{\bot}=\{p\in\mathbb{R}_2[x]:(\forall q\in U):\left<p,q\right>=0\}[/inlmath], sledi da mora biti [inlmath]\left<p,\;x^2-1\right>=0[/inlmath], [inlmath]\left<p,\;x+1\right>=0[/inlmath]. Odavde dobijamo da je:
[dispmath]\int\limits_{-1}^1\left(ax^2+bx+c\right)\left(x^2-1\right)\mathrm dx=0\iff\int\limits_{-1}^1\left(ax^4+bx^3+(c-a)x^2-bx-c\right)\mathrm dx=0[/dispmath] Odavde se dobija da je [inlmath]a=-5c[/inlmath] dok su [inlmath]b,c\in\mathbb{R}[/inlmath].
Takođe imamo da je:
[dispmath]\int\limits_{-1}^1\left(ax^2+bx+c\right)(x+1)\,\mathrm dx=0\iff\int\limits_{-1}^1\left(ax^3+(a+b)x^2+(b+c)x+c\right)\mathrm dx=0[/dispmath] Odavde se dobija da je [inlmath]b=2c[/inlmath], gde je [inlmath]c\in\mathbb{R}[/inlmath]. Sada imamo da je [inlmath]U^{\bot}=\left\{(-5c)x^2+2cx+c:c\in\mathbb{R}\right\}[/inlmath].

2) Za [inlmath]p\in U^{\bot}[/inlmath] važi da je [inlmath]p(x)=(-5c)x^2+2cx+c=c\left(-5x^2+2x+1\right)[/inlmath]. Odavde sledi da je [inlmath]U^{\bot}=\mathcal{L}\left\{-5x^2+2x+1\right\}[/inlmath], pa je [inlmath]-5x^2+2x+1[/inlmath] jedna baza [inlmath]U^{\bot}[/inlmath].

3) Odredimo ortogonalne projekcije datog polinoma [inlmath]p(x)[/inlmath] na [inlmath]U[/inlmath] i [inlmath]U^{\bot}[/inlmath]:
Neka [inlmath]q\in U[/inlmath], [inlmath]r\in U^{\bot}[/inlmath], [inlmath]\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}[/inlmath], tako da je:
[dispmath]p(x)=q(x)+r(x)\iff2x^2+x+5=\alpha\left(x^2-1\right)+\beta(x+1)+\gamma\left(-5x^2+2x+1\right)\;\Longrightarrow\\
\Longrightarrow\;\begin{cases}
\alpha-5\gamma=2,\\
\beta+2\gamma=1,\\
-\alpha+\beta+\gamma=5.
\end{cases}[/dispmath] Iz sistema se dobija da je [inlmath]\alpha=-3[/inlmath], [inlmath]\beta=3[/inlmath] i [inlmath]\gamma=-1[/inlmath]. Odavde sledi da je ort. proj. [inlmath]p(x)[/inlmath] na [inlmath]U[/inlmath] polinom [inlmath](-3)x^2+3x+6[/inlmath], a da je ort. proj. [inlmath]p(x)[/inlmath] na [inlmath]U^{\bot}[/inlmath] polinom [inlmath]5x^2-2x-1[/inlmath].

Molim vas, možete li mi reći da li je ovo rešenje tačno, a ako nije koje su greške? :think1:
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Baza ortogonalnog komplementa. Ortogonalna projekcija na potprostor i njegov ortogonalni komplement

Postod ubavic » Subota, 12. Avgust 2017, 14:52

Tačno je sve.
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 529
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 348 puta
Pohvaljen: 515 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 5 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 19. Avgust 2019, 11:22 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs