Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Unutrašnji proizvod i ortogonalni komplement potprostora

Matrice, determinante...

Moderator: Corba248

Unutrašnji proizvod i ortogonalni komplement potprostora

Postod Gogele » Nedelja, 27. Avgust 2017, 10:16

Zdravo! Imam problem sa sledećim zadatkom i nadam se da ću moći da dobijem neku pomoć:

Zadatak:

Odrediti parametre [inlmath]a,b\in\mathrm{R}[/inlmath], takve da je sa:
[dispmath]\langle x,y\rangle=x_1y_1-ax_2y_1-ax_1y_2+bx_2y_2,[/dispmath] definisan unutrašnji proizvod na vektorskom prostoru [inlmath]\mathrm{R}^2[/inlmath]. Za takve vrednosti [inlmath]a,b\in\mathrm{R}[/inlmath] odrediti ortogonalni komplement potprostora [inlmath]S=\left\{a(1,2):a\in\mathrm{R}\right\}[/inlmath] vektorskog prostora [inlmath]\mathrm{R}^2[/inlmath].

Moje rešenje:

1) [inlmath]\langle x,y\rangle=x_1y_1-ax_2y_1-ax_1y_2+bx_2y_2=y_1x_1-ay_2x_1-ay_1x_2+by_2x_2=\\
=\overline{y_1x_1}-\overline{ay_2x_1}-\overline{ay_1x_2}+\overline{by_2x_2}=\overline{\langle y,x\rangle}.[/inlmath]

2) [inlmath]\langle x+y,z\rangle=\langle(x_1+y_1,x_2+y_2),(z_1,z_2)\rangle=(x_1+y_1)z_1-a(x_2+y_2)z_1-a(x_1+y_1)z_2+b(x_2+y_2)z_2=\\
=(x_1z_1-ax_2z_1-ax_1z_2+bx_2z_2)+(y_1z_1-ay_2z_1-ay_1z_2+by_2z_2)=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle.[/inlmath]

3) [inlmath]\langle\alpha x,y\rangle=\langle(\alpha x_1,\alpha x_2),(y_1,y_2)\rangle=\alpha x_1y_1-a\alpha x_2y_1-a\alpha x_1y_2+b\alpha x_2y_2=\alpha\langle x,y\rangle[/inlmath].

4) Treba dokazati da je [inlmath](\forall x\in\mathrm{R}^2):\langle x,x\rangle\ge0[/inlmath].
[dispmath]\langle x,x\rangle=x_1^2-ax_2x_1-ax_1x_2+bx_2^2=x_1^2-2ax_1x_2+bx_2^2=\\
=x_1^2-\left(1-a^2\right)x_1^2+\left(1-a^2\right)x_1^2-2ax_1x_2+x_2^2-x_2^2+bx_2^2=\\
=\left(a^2x_1^2-2ax_1x_2+x_2^2\right)+\left(1-a^2\right)x_1^2+(b-1)x_2^2=(ax_1-x_2)^2+\left(1-a^2\right)x_1^2+(b-1)x_2^2\\
(ax_1-x_2)^2+\left(1-a^2\right)x_1^2+(b-1)x_2^2\ge0\;\Longrightarrow\;\enclose{box}{1-a^2\ge0}\,,\,\enclose{box}{b-1\ge0}\;\Longrightarrow\;\enclose{box}{a\in[-1,1]}\,,\,\enclose{box}{b\ge1}[/dispmath] 5) Treba dokazati da [inlmath]\langle x,x\rangle=0\iff x=0[/inlmath].
[dispmath]\left.\langle x,x\rangle=0\iff x_1^2-2ax_1x_2+bx_2^2=0\;\right/:x_2^2\iff\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^2-2a\frac{x_1}{x_2}+b=0[/dispmath] Ako stavimo da je [inlmath]z=\frac{x_1}{x_2}[/inlmath], dobijamo da je [inlmath]z_{1,2}=a^2\pm\sqrt{a^2-b}[/inlmath].

Sada, iz [inlmath]z_1=a+\sqrt{a^2-b}[/inlmath] dobijamo da mora biti [inlmath]a^2-b\ge0[/inlmath], pa je [inlmath]a^2\ge b[/inlmath], odakle sledi da je [inlmath]a^2\ge1[/inlmath], što je moguće za [inlmath]\enclose{box}{a=\pm1}[/inlmath]. Odatle sledi da je [inlmath]\enclose{box}{b=1}[/inlmath], pa je [inlmath]\enclose{box}{z_1=\pm1}[/inlmath].
Slično, iz [inlmath]z_2=a-\sqrt{a^2-b}[/inlmath] dobijamo da je [inlmath]\enclose{box}{z_2=\pm1}[/inlmath].
Dakle, dobio sam da je [inlmath]\frac{x_1}{x_2}=\pm1[/inlmath], odakle se kvadriranjem dobija da je [inlmath]\frac{x_1^2}{x_2^2}=1[/inlmath], pa je [inlmath]x_1^2=x_2^2[/inlmath] (Sme li se kvadrirati izraz sa plus-minus?). Sledi da peti uslov nije ispunjen, pa unutrašnji proizvod nije definisan. Mislim da negde grešim., jer postoji i drugi deo zadatka.

Molim vas, recite mi gde sam pogrešio.
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Unutrašnji proizvod i ortogonalni komplement potprostora

Postod ubavic » Nedelja, 27. Avgust 2017, 14:07

Pozdrav

1) Iako za realne brojeve [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] važi [inlmath]ab=\overline{ab}[/inlmath], ovde nije potrebno dokazivati hermitsku simetričnost jer se ovde radi o realnom prostoru.
2) i 3) su dobri.
4) Ovde nastaje problem. Implikacija [inlmath](ax_1-x_2)^2+(1-a^2)x_1^2+(b-1)x_2^2\ge0\;\Longrightarrow\;\enclose{box}{1-a^2\ge0}\,,\,\enclose{box}{b-1\ge0}[/inlmath] nije tačna. Mislim da si ovaj deo nepotrebno zakomplikovao, i možda bi bilo bolje da iskoristiš kvadratnu jednačinu koju si napisao u sledećem koraku.
5) Ekvivalencija [inlmath]\langle x,x\rangle=0\iff\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^2-2a\frac{x_1}{x_2}+b=0[/inlmath] takođe nije tačna. Za [inlmath]x=\vec0[/inlmath] leva strana je zadovoljena dok je desna nedefinisana. Zbog toga treba ispitati slučajeve [inlmath]x=\vec0[/inlmath] i [inlmath]x\ne\vec0[/inlmath]. Ali, kako iz uslova homogenosti (3) za [inlmath]x=\vec0[/inlmath] sledi [inlmath]\langle x,x\rangle=0[/inlmath], dovoljno je ispitati drugi slučaj [inlmath]x\ne\vec0\;\Rightarrow\;\langle x,x\rangle>0[/inlmath]. Iz svega toga sledi da je forma pozitivno definitna.
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 529
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 348 puta
Pohvaljen: 515 puta

Re: Unutrašnji proizvod i ortogonalni komplement potprostora

Postod Gogele » Nedelja, 27. Avgust 2017, 18:55

ubavic je napisao:5) Ekvivalencija [inlmath]\langle x,x\rangle=0\iff\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^2-2a\frac{x_1}{x_2}+b=0[/inlmath] takođe nije tačna. Za [inlmath]x=\vec0[/inlmath] leva strana je zadovoljena dok je desna nedefinisana. Zbog toga treba ispitati slučajeve [inlmath]x=\vec0[/inlmath] i [inlmath]x\ne\vec0[/inlmath]. Ali, kako iz uslova homogenosti (3) za [inlmath]x=\vec0[/inlmath] sledi [inlmath]\langle x,x\rangle=0[/inlmath], dovoljno je ispitati drugi slučaj [inlmath]x\ne\vec0\;\Rightarrow\;\langle x,x\rangle>0[/inlmath]. Iz svega toga sledi da je forma pozitivno definitna.

4) Treba dokazati da je [inlmath]\langle x,x\rangle\ge0[/inlmath]:
[dispmath]\left.\langle x,x\rangle\ge0\iff x_1^2-2ax_1x_2+bx_2^2\ge0\;\right/:x_2^2\iff\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^2-2a\frac{x_1}{x_2}+b\ge0[/dispmath] Sada dobijamo uslov da je [inlmath]x_2\ne0[/inlmath]. Ako stavimo da je [inlmath]z=\frac{x_1}{x_2}[/inlmath] dobijamo nejednačinu [inlmath]z^2-2az+b\ge0[/inlmath].
Iz kvadratne jednačine [inlmath]z^2-2az+b=0[/inlmath] dobijamo da je [inlmath]z_{1,2}=a\pm\sqrt{a^2-b}[/inlmath], odakle dobijamo uslov da je [inlmath]a^2\ge b[/inlmath].
Nažalost, stvarno ne znam šta dalje da radim. :(
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

Re: Unutrašnji proizvod i ortogonalni komplement potprostora

Postod Gogele » Nedelja, 27. Avgust 2017, 19:48

Gogele je napisao:Nažalost, stvarno ne znam šta dalje da radim. :(

Eto, ipak imam nešto:

4) [inlmath]\langle x,x\rangle=x_1^2-2ax_1x_2+bx_2^2=x_1^2-2ax_1x_2+a^2x_2^2+\left(b-a^2\right)x_2^2=(x_1-ax_2)^2+\left(b-a^2\right)x_2^2[/inlmath].
Odavde sledi da je [inlmath]\left(\forall x\in\mathrm{R}^2\right):\langle x,x\rangle\ge0[/inlmath], ako je ispunjen uslov da je [inlmath]a^2\le b[/inlmath].

5) Možemo posmatrati 4 slučaja:

5.1) Ako je [inlmath]x_1=0,\;x_2 = 0[/inlmath], onda važi jednačina [inlmath]x_1^2-2ax_1x_2+bx_2^2=0[/inlmath].

5.2) Ako je [inlmath]x_1=0,\;x_2\ne0[/inlmath], onda dobijamo da je [inlmath]bx_2^2=0[/inlmath], odakle sledi da jednačina važi za [inlmath]b=0[/inlmath], odakle sledi da je [inlmath]a=0[/inlmath].

5.3) Ako je [inlmath]x_1\ne0,\;x_2=0[/inlmath], onda dobijamo da je [inlmath]x_1^2=0[/inlmath], pa u ovom slučaju jednačina ne važi.

5.4) Ako je [inlmath]x_1,x_2\ne0[/inlmath], onda možemo uvesti smenu [inlmath]z=\frac{x_1}{x_2}[/inlmath] u jednačinu [inlmath]x_1^2-2ax_1x_2+bx_2^2=0[/inlmath], pa dobijamo na kraju da je [inlmath]\frac{x_1}{x_2}=a\pm\sqrt{a^2-b}[/inlmath]. Odatle se dobija uslov da je [inlmath]a^2\ge b[/inlmath].
Kako važi i da je [inlmath]a^2\ge b[/inlmath], dobijamo uslov [inlmath]a^2=b[/inlmath].
Dakle u ovom slučaju jednačina [inlmath]x_1^2-2ax_1x_2+bx_2^2=0[/inlmath], dobija oblik [inlmath](x_1-ax_2)^2=0[/inlmath].

Sad, odavde mogu da zaključim da [inlmath]\langle x,x\rangle=0\iff x=0[/inlmath] ne važi, pa dobijam da dati izraz ne definiše unutrašnji proizvod.
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

  • +2

Re: Unutrašnji proizvod i ortogonalni komplement potprostora

Postod ubavic » Ponedeljak, 28. Avgust 2017, 20:37

Ne razumem šta pokušavaš. Ovo je sve što treba napisati:
Za [inlmath]x=\vec0[/inlmath] sledi [inlmath]\langle x,x\rangle=0[/inlmath]. Prema tome, dovoljno je pokazati da za [inlmath]x\ne\vec0[/inlmath] važi [inlmath]\langle x,x\rangle>0[/inlmath]. Ako je [inlmath]x\ne\vec0[/inlmath] tada je barem jedna koordinata različita od nule. Neka je to na primer [inlmath]x_1[/inlmath]. Tada izraz [inlmath]x_1^2-2ax_1x_2+bx_2^2[/inlmath] možemo podeliti sa [inlmath]x_1[/inlmath] dobijajući pritom kvadratni izraz. Pošto želimo da taj izraz bude veći od nule za sve realne brojeve, diskriminanta mora biti strogo manja od nule. Odatle dobijamo uslov [inlmath]a^2<b[/inlmath]. Isti uslov dobijamo i u drugom slučaju (kada je [inlmath]x_2[/inlmath] različit od nule). Prema tome, dovoljno je i potrebno da važi [inlmath]a^2<b[/inlmath] da bi [inlmath]\langle x,y\rangle=x_1y_1-ax_2y_1-ax_1y_2+bx_2y_2[/inlmath] definisao unutrašnji proizvod. Primeti da za [inlmath]a=0[/inlmath] i [inlmath]b=1[/inlmath] dobijaš standardni proizvod (tj. data baza je već ortonormirana u odnosu na dati proizvod).
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 529
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 348 puta
Pohvaljen: 515 puta

Re: Unutrašnji proizvod i ortogonalni komplement potprostora

Postod Gogele » Utorak, 29. Avgust 2017, 08:36

Evo, da kompletiram zadatak:

Kako je [inlmath]S^{\bot}=\left\{x\in\mathrm{R}^2:\left(\forall y\in S\right)\langle x,y\rangle=0\right\}[/inlmath], imamo da treba biti ispunjeno:
[dispmath]\langle x,y\rangle=0\iff\langle(x_1,x_2),(a,2a)\rangle=0\iff x_1a-ax_2aa-ax_12a+bx_22a=0 \iff\\
x_1-ax_2-2ax_1+2bx_2=0\iff(1-2a)x_1=(a-2b)x_2\iff\underline{x_1=\frac{a-2b}{1-2a}x_2}[/dispmath] Dakle, ako nisam negde pogrešio, trebalo bi da je [inlmath]S^{\bot}=\left\{\left(\frac{a-2b}{1-2a}x_2,x_2\right):a,b,x_2\in\mathrm{R},\;a^2< b\right\}[/inlmath].
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

  • +2

Re: Unutrašnji proizvod i ortogonalni komplement potprostora

Postod ubavic » Utorak, 29. Avgust 2017, 10:45

Nope. Nije dobro :D
Potprostor [inlmath]S=\left\{a(1,2):a\in\mathrm{R}\right\}[/inlmath] je generisan jednim vektorom [inlmath]\vec s[/inlmath] sa koordinatama [inlmath](1,2)[/inlmath]. Kako su svi vektori u [inlmath]S[/inlmath] oblika [inlmath]\alpha\vec s[/inlmath] za [inlmath]\alpha\in\mathbb{R}[/inlmath] najjednostavnije je da nađeš sve vektore [inlmath]x\in\mathbb{R}^2[/inlmath] za koje važi [inlmath]\langle x,s\rangle=0[/inlmath] (I u opštem slučaju, za traženje ortogonalnog komplementa potprostora [inlmath]A[/inlmath] dovoljno je naći vektore koji su ortogonalni na svaki od vektora baze potprostora [inlmath]A[/inlmath]).
Ti si pogrešio na samom početku. Naime poistovetio si parametar [inlmath]a[/inlmath] iz definicije proizvoda [inlmath]\langle x,y\rangle=x_1y_1-ax_2y_1-ax_1y_2+bx_2y_2[/inlmath] i iz definicije potprostora [inlmath]S=\left\{a(1,2):a\in\mathrm{R}\right\}[/inlmath]. Ali kao što rekoh, drugi parametar nije ni potreban. Dovoljno je odrediti sve vektore koji su ortogonalni na vektor sa koordinatama [inlmath](1,2)[/inlmath].
Ako ti je lakše, posmatraj problem za svaki par [inlmath](a,b)[/inlmath] posebno. Tj. fiksiraj ih i posmatraj kao konstante. Time dobijaš [inlmath]S^{\bot}[/inlmath] u zavisnosti od [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath], tj. neko rešenje oblika [inlmath]S^{\bot}_{a,b}=\left\{\dots\right\}[/inlmath]
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 529
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 348 puta
Pohvaljen: 515 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 19. Avgust 2019, 09:36 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs