Zdravo! Imam problem sa sledećim zadatkom i nadam se da ću moći da dobijem neku pomoć:
Zadatak:
Odrediti parametre [inlmath]a,b\in\mathrm{R}[/inlmath], takve da je sa:
[dispmath]\langle x,y\rangle=x_1y_1-ax_2y_1-ax_1y_2+bx_2y_2,[/dispmath] definisan unutrašnji proizvod na vektorskom prostoru [inlmath]\mathrm{R}^2[/inlmath]. Za takve vrednosti [inlmath]a,b\in\mathrm{R}[/inlmath] odrediti ortogonalni komplement potprostora [inlmath]S=\left\{a(1,2):a\in\mathrm{R}\right\}[/inlmath] vektorskog prostora [inlmath]\mathrm{R}^2[/inlmath].
Moje rešenje:
1) [inlmath]\langle x,y\rangle=x_1y_1-ax_2y_1-ax_1y_2+bx_2y_2=y_1x_1-ay_2x_1-ay_1x_2+by_2x_2=\\
=\overline{y_1x_1}-\overline{ay_2x_1}-\overline{ay_1x_2}+\overline{by_2x_2}=\overline{\langle y,x\rangle}.[/inlmath]
2) [inlmath]\langle x+y,z\rangle=\langle(x_1+y_1,x_2+y_2),(z_1,z_2)\rangle=(x_1+y_1)z_1-a(x_2+y_2)z_1-a(x_1+y_1)z_2+b(x_2+y_2)z_2=\\
=(x_1z_1-ax_2z_1-ax_1z_2+bx_2z_2)+(y_1z_1-ay_2z_1-ay_1z_2+by_2z_2)=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle.[/inlmath]
3) [inlmath]\langle\alpha x,y\rangle=\langle(\alpha x_1,\alpha x_2),(y_1,y_2)\rangle=\alpha x_1y_1-a\alpha x_2y_1-a\alpha x_1y_2+b\alpha x_2y_2=\alpha\langle x,y\rangle[/inlmath].
4) Treba dokazati da je [inlmath](\forall x\in\mathrm{R}^2):\langle x,x\rangle\ge0[/inlmath].
[dispmath]\langle x,x\rangle=x_1^2-ax_2x_1-ax_1x_2+bx_2^2=x_1^2-2ax_1x_2+bx_2^2=\\
=x_1^2-\left(1-a^2\right)x_1^2+\left(1-a^2\right)x_1^2-2ax_1x_2+x_2^2-x_2^2+bx_2^2=\\
=\left(a^2x_1^2-2ax_1x_2+x_2^2\right)+\left(1-a^2\right)x_1^2+(b-1)x_2^2=(ax_1-x_2)^2+\left(1-a^2\right)x_1^2+(b-1)x_2^2\\
(ax_1-x_2)^2+\left(1-a^2\right)x_1^2+(b-1)x_2^2\ge0\;\Longrightarrow\;\enclose{box}{1-a^2\ge0}\,,\,\enclose{box}{b-1\ge0}\;\Longrightarrow\;\enclose{box}{a\in[-1,1]}\,,\,\enclose{box}{b\ge1}[/dispmath] 5) Treba dokazati da [inlmath]\langle x,x\rangle=0\iff x=0[/inlmath].
[dispmath]\left.\langle x,x\rangle=0\iff x_1^2-2ax_1x_2+bx_2^2=0\;\right/:x_2^2\iff\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^2-2a\frac{x_1}{x_2}+b=0[/dispmath] Ako stavimo da je [inlmath]z=\frac{x_1}{x_2}[/inlmath], dobijamo da je [inlmath]z_{1,2}=a^2\pm\sqrt{a^2-b}[/inlmath].
Sada, iz [inlmath]z_1=a+\sqrt{a^2-b}[/inlmath] dobijamo da mora biti [inlmath]a^2-b\ge0[/inlmath], pa je [inlmath]a^2\ge b[/inlmath], odakle sledi da je [inlmath]a^2\ge1[/inlmath], što je moguće za [inlmath]\enclose{box}{a=\pm1}[/inlmath]. Odatle sledi da je [inlmath]\enclose{box}{b=1}[/inlmath], pa je [inlmath]\enclose{box}{z_1=\pm1}[/inlmath].
Slično, iz [inlmath]z_2=a-\sqrt{a^2-b}[/inlmath] dobijamo da je [inlmath]\enclose{box}{z_2=\pm1}[/inlmath].
Dakle, dobio sam da je [inlmath]\frac{x_1}{x_2}=\pm1[/inlmath], odakle se kvadriranjem dobija da je [inlmath]\frac{x_1^2}{x_2^2}=1[/inlmath], pa je [inlmath]x_1^2=x_2^2[/inlmath] (Sme li se kvadrirati izraz sa plus-minus?). Sledi da peti uslov nije ispunjen, pa unutrašnji proizvod nije definisan. Mislim da negde grešim., jer postoji i drugi deo zadatka.
Molim vas, recite mi gde sam pogrešio.