Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Vektorski potprostor, baza i dimenzija

Matrice, determinante...

Moderator: Corba248

Vektorski potprostor, baza i dimenzija

Postod Shorty44 » Utorak, 29. Avgust 2017, 11:08

Neka je [inlmath]S\in M_3[/inlmath] invertibilna matrica i neka je [inlmath]U[/inlmath] skup svih matrica [inlmath]A\in M_3[/inlmath] za koje je [inlmath]S^{-1}AS[/inlmath] dijagonalna matrica. Dokazati da je [inlmath]U[/inlmath] potprostor od [inlmath]M_3[/inlmath], a onda odrediti jednu bazu i dimenziju tog potprostora. (Ako za neki skup tvrdite da je baza, to morate i dokazati.)

Imam problem oko ovog zadatka, nije mi jasno da li misli da je ta matrica [inlmath]S[/inlmath] fiksna, ili za svaku matricu iz tog skupa postoji neka druga matrica koja pravi od nje dijagonalnu.
Pretpostavljam da bi se pokazalo da je vektorski potprostor treba da pokazem one dvije osobine, ili da preko lineala pokusam (posto je svaki lineal vektorski potprostor). Ne mogu nikako da nadodjem na neku pocetnu ideju, jer mi se sve cine pogresne...
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Vektorski potprostor, baza i dimenzija

Postod ubavic » Utorak, 29. Avgust 2017, 13:47

Shorty44 je napisao:Imam problem oko ovog zadatka, nije mi jasno da li misli da je ta matrica [inlmath]S[/inlmath] fiksna, ili za svaku matricu iz tog skupa postoji neka druga matrica koja pravi od nje dijagonalnu.

Verovatno je u pitanju prvi slučaj.
U drugom slučaju zadatak bi se sveo na pitanje da li je skup svih dijagonalizabilnih matrica i potprostor. Nisam siguran da li je to tačno (čak i da jeste, verovatno bi bilo potrebno da se radnja dešava nad algebarski zatvorenim poljem, ali to sada nagađam). Pokušaću da nađem neki kontraprimer kasnije.

Dobro, neka je [inlmath]S[/inlmath] fiksna matrica iz [inlmath]M_3[/inlmath]. Neka su date dve matrice [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] iz skupa [inlmath]U[/inlmath]. Možeš li dokazati da [inlmath]A+B[/inlmath] i [inlmath]\alpha A[/inlmath] takođe pripadaju [inlmath]U[/inlmath]? Pritom će ti biti potrebna činjenica da je i skup dijagonalnih matrica jedan potprostor — dokaži prvo to ako nisi ubeđen.

Kada dokažeš da je [inlmath]U[/inlmath] zaista potprostor, njegovu bazu možeš naći tako što ćeš prvo naći bazu potprostora dijagonalnih matrica, a zatim odrediti odnos između te baze i tražene baze (hint: upravo [inlmath]S[/inlmath] je matrica prelaska). Dimenzija se zatim lako nalazi (dimenzije ta dva potprostora su jednake jer je [inlmath]S[/inlmath] invertibilna).
Korisnikov avatar
ubavic   ONLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 531
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 348 puta
Pohvaljen: 519 puta

Re: Vektorski potprostor, baza i dimenzija

Postod ubavic » Sreda, 30. Avgust 2017, 22:35

ubavic je napisao:hint: upravo [inlmath]S[/inlmath] je matrica prelaska

Ovde sam veliku glupost napisao. Izvinjavam se. Matrica [inlmath]S[/inlmath] nije matrica prelaska....
Ali ideja jeste ta. Možda neko od ostalih članova ima još neku ideju?..
Korisnikov avatar
ubavic   ONLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 531
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 348 puta
Pohvaljen: 519 puta

  • +1

Re: Vektorski potprostor, baza i dimenzija

Postod ubavic » Četvrtak, 21. Septembar 2017, 10:44

ubavic je napisao:Pokušaću da nađem neki kontraprimer kasnije.

Evo jednog kontraprimera (nisam ga ja našao):
Neka je
[dispmath]A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\qquad\text{i}\qquad B=\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}[/dispmath] Tada je [inlmath]B[/inlmath] već dijagonalna, a za [inlmath]A[/inlmath] važi [inlmath]P^{-1}AP=D[/inlmath] gde je
[dispmath]P=\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\qquad\text{i}\qquad D=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}[/dispmath] Međutim, [inlmath]A+B[/inlmath] je nilpotentna.
Korisnikov avatar
ubavic   ONLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 531
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 348 puta
Pohvaljen: 519 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 12. Novembar 2019, 12:27 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs