Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Dokazati da je grupa

Matrice, determinante...

Moderator: Corba248

Dokazati da je grupa

Postod wolf11 » Petak, 15. Septembar 2017, 17:32

Dokazati da je [inlmath]\Bigl(\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right),\ast\Bigr)[/inlmath] grupa, gdje je [inlmath]\ast[/inlmath] definisana sa:
[dispmath]a\ast b=\text{arctg}\left(\text{tg }a+\text{tg }b\right)[/dispmath]
Nisam siguran u rjesenje zadatka, po meni je ovo grupa jer kad ispitujem:

[inlmath]1^\circ[/inlmath] zatvorenost
[dispmath]a\ast b=\text{arctg}\left(\text{tg }a+\text{tg }b\right)\in\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)[/dispmath] mislim da je ovo ispunjeno jer funkcija tangens ima kodomen [inlmath]\left(-\infty,\infty\right)[/inlmath], pa ta dva tangensa kad se saberu daju opet nesto sto spada u [inlmath]\left(-\infty,\infty\right)[/inlmath], a to je domen funkcije [inlmath]\text{arctg}[/inlmath] i na kraju njen kodomen opet je unutar intervala [inlmath]\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)[/inlmath]. Ako sam ja ovo dobro razumio sve.

[inlmath]2^\circ[/inlmath] asocijativnost
[dispmath]\left(a\ast b\right)\ast c=a\ast\left(b\ast c\right)\\
\bigl(\text{arctg}\left(\text{tg }a+\text{tg }b\right)\bigr)\ast c=a\ast\bigl(\text{arctg}\left(\text{tg }b+\text{tg }c\right)\bigr)\\
\text{arctg}\Bigl(\text{tg}\bigl(\text{arctg}\left(\text{tg }a+\text{tg }b\right)\bigr)+\text{tg }c\Bigr)=\text{arctg}\Bigl(\text{tg }a+\text{tg }\bigl(\text{arctg}\left(\text{tg }b+\text{tg }c\right)\bigr)\Bigr)\\
\text{arctg}\left(\text{tg }a+\text{tg }b+\text{tg }c\right)=\text{arctg}\left(\text{tg }a+\text{tg }b+\text{tg }c\right)[/dispmath] Odavde se vidi da asocijativnost vrijedi.

[inlmath]3^\circ[/inlmath] neutralni element
[dispmath]a\ast e=e\ast a=a\\
\text{arctg}\left(\text{tg }a+\text{tg }e\right)=a\\
\text{tg }a+\text{tg }e=\text{tg }a\\
\text{tg }e=0\\
e=0[/dispmath] Dakle, [inlmath]e=0[/inlmath] bi bio neutralni element.

[inlmath]4^\circ[/inlmath] inverzni element
[dispmath]a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=e\\
\text{arctg}\left(\text{tg }a+\text{tg }a^{-1}\right)=0\\
\text{tg }a+\text{tg }a^{-1}=0\\
\text{tg }a^{-1}=-\text{tg }a\\
a^{-1}=-a[/dispmath] Odavde je neutralni element [inlmath]a^{-1}=-a[/inlmath]. Ako su ispunjena ova 4 uslova data algebarska struktura bi onda trebala da bude grupa i ovo bi bio dokaz koji to pokazuje.

Napisao sam ja ovde dosta toga, da li neko moze pogledati da li je ovo tacno i ukoliko nije da mi ukaze na greske gdje sam pogrijesio.
wolf11  OFFLINE
 
Postovi: 37
Zahvalio se: 31 puta
Pohvaljen: 3 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Dokazati da je grupa

Postod Daniel » Subota, 16. Septembar 2017, 16:45

Da, sve je ovo u redu, čak možeš odmah primetiti i bez računanja da važi i komutativnost, što znači da je ovo i Abelova grupa.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7760
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4080 puta
Pohvaljen: 4133 puta

  • +1

Re: Dokazati da je grupa

Postod Ilija » Subota, 16. Septembar 2017, 17:35

Zar ne bi trebalo pokazati da postoje i levi neutralni i inverzni element, pa zakljuciti da su jednaki? Posto komutativnost nije pokazana da se iz nje zakljucuje.
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 504
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 447 puta

Re: Dokazati da je grupa

Postod wolf11 » Subota, 16. Septembar 2017, 18:31

Mislim da bi svakako trebalo i to da se dokaze, mada nama je dovoljno pokazati i ovako za slucaj kao sto je ovaj kad se dobije zaista neutralni i inverzni element.
wolf11  OFFLINE
 
Postovi: 37
Zahvalio se: 31 puta
Pohvaljen: 3 puta

Re: Dokazati da je grupa

Postod Daniel » Nedelja, 17. Septembar 2017, 09:13

wolf11 je napisao:za slucaj kao sto je ovaj kad se dobije zaista neutralni i inverzni element.

Nisam razumeo ovaj slučaj – šta znači zaista neutralni i inverzni element?
Ali, svakako da je ovde, iz izraza za operaciju [inlmath]a\ast b=\text{arctg}\left(\text{tg }a+\text{tg }b\right )[/inlmath] sasvim jasno da komutativnost važi (naravno, to je u rešavanju potrebno naglasiti), pa je samim tim dovoljno dokazivanje samo levog neutrala i samo levog inverza.

U principu, i kad ne važi komutativnost, a dokazano je da važi asocijativnost, tada iz postojanja levog neutrala i postojanja levog inverza sledi postojanje i desnog neutrala i desnog inverza. To je tzv. minimizacija aksioma grupe i pominjana je ovde. Mada, moram da se ogradim da sam dosad video da se to koristi jedino na ETF-u i nigde više, a i tamo je potrebno izričito naglasiti da postojanje desnog neutrala i desnog inverza sledi na osnovu minimizovanih aksioma grupe.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7760
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4080 puta
Pohvaljen: 4133 puta

Re: Dokazati da je grupa

Postod wolf11 » Nedelja, 17. Septembar 2017, 11:21

Mislio sam da se ovde u ovom zadatku ispitivanjem samo jednog inverza dobija inverzni element, kao i ispitivanjem samo jednog neutralnog elementa dobija neutralni element
wolf11  OFFLINE
 
Postovi: 37
Zahvalio se: 31 puta
Pohvaljen: 3 puta

  • +1

Re: Dokazati da je grupa

Postod Ilija » Nedelja, 17. Septembar 2017, 13:48

Da, zaboravio sam tu minimizaciju aksioma grupe, jer je nesto nisam ni koristio u resavanju zadataka iskreno. :D

Svakako, mislim da, ako je ovo neki zadatak sa testa, trebalo bi naglasiti ili da vazi komutativnost ili da se ide preko ove minimizacije aksioma. Siguran sam da bi kod mene skinuli bar trecinu poena za tu "sitnicu".
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 504
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 447 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 8 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 20. Novembar 2019, 18:56 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs