Dokazati da je grupa

PostPoslato: Petak, 15. Septembar 2017, 17:32
od wolf11
Dokazati da je [inlmath]\Bigl(\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right),\ast\Bigr)[/inlmath] grupa, gdje je [inlmath]\ast[/inlmath] definisana sa:
[dispmath]a\ast b=\text{arctg}\left(\text{tg }a+\text{tg }b\right)[/dispmath]
Nisam siguran u rjesenje zadatka, po meni je ovo grupa jer kad ispitujem:

[inlmath]1^\circ[/inlmath] zatvorenost
[dispmath]a\ast b=\text{arctg}\left(\text{tg }a+\text{tg }b\right)\in\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)[/dispmath] mislim da je ovo ispunjeno jer funkcija tangens ima kodomen [inlmath]\left(-\infty,\infty\right)[/inlmath], pa ta dva tangensa kad se saberu daju opet nesto sto spada u [inlmath]\left(-\infty,\infty\right)[/inlmath], a to je domen funkcije [inlmath]\text{arctg}[/inlmath] i na kraju njen kodomen opet je unutar intervala [inlmath]\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)[/inlmath]. Ako sam ja ovo dobro razumio sve.

[inlmath]2^\circ[/inlmath] asocijativnost
[dispmath]\left(a\ast b\right)\ast c=a\ast\left(b\ast c\right)\\
\bigl(\text{arctg}\left(\text{tg }a+\text{tg }b\right)\bigr)\ast c=a\ast\bigl(\text{arctg}\left(\text{tg }b+\text{tg }c\right)\bigr)\\
\text{arctg}\Bigl(\text{tg}\bigl(\text{arctg}\left(\text{tg }a+\text{tg }b\right)\bigr)+\text{tg }c\Bigr)=\text{arctg}\Bigl(\text{tg }a+\text{tg }\bigl(\text{arctg}\left(\text{tg }b+\text{tg }c\right)\bigr)\Bigr)\\
\text{arctg}\left(\text{tg }a+\text{tg }b+\text{tg }c\right)=\text{arctg}\left(\text{tg }a+\text{tg }b+\text{tg }c\right)[/dispmath] Odavde se vidi da asocijativnost vrijedi.

[inlmath]3^\circ[/inlmath] neutralni element
[dispmath]a\ast e=e\ast a=a\\
\text{arctg}\left(\text{tg }a+\text{tg }e\right)=a\\
\text{tg }a+\text{tg }e=\text{tg }a\\
\text{tg }e=0\\
e=0[/dispmath] Dakle, [inlmath]e=0[/inlmath] bi bio neutralni element.

[inlmath]4^\circ[/inlmath] inverzni element
[dispmath]a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=e\\
\text{arctg}\left(\text{tg }a+\text{tg }a^{-1}\right)=0\\
\text{tg }a+\text{tg }a^{-1}=0\\
\text{tg }a^{-1}=-\text{tg }a\\
a^{-1}=-a[/dispmath] Odavde je neutralni element [inlmath]a^{-1}=-a[/inlmath]. Ako su ispunjena ova 4 uslova data algebarska struktura bi onda trebala da bude grupa i ovo bi bio dokaz koji to pokazuje.

Napisao sam ja ovde dosta toga, da li neko moze pogledati da li je ovo tacno i ukoliko nije da mi ukaze na greske gdje sam pogrijesio.

Re: Dokazati da je grupa

PostPoslato: Subota, 16. Septembar 2017, 16:45
od Daniel
Da, sve je ovo u redu, čak možeš odmah primetiti i bez računanja da važi i komutativnost, što znači da je ovo i Abelova grupa.

Re: Dokazati da je grupa

PostPoslato: Subota, 16. Septembar 2017, 17:35
od Ilija
Zar ne bi trebalo pokazati da postoje i levi neutralni i inverzni element, pa zakljuciti da su jednaki? Posto komutativnost nije pokazana da se iz nje zakljucuje.

Re: Dokazati da je grupa

PostPoslato: Subota, 16. Septembar 2017, 18:31
od wolf11
Mislim da bi svakako trebalo i to da se dokaze, mada nama je dovoljno pokazati i ovako za slucaj kao sto je ovaj kad se dobije zaista neutralni i inverzni element.

Re: Dokazati da je grupa

PostPoslato: Nedelja, 17. Septembar 2017, 09:13
od Daniel
wolf11 je napisao:za slucaj kao sto je ovaj kad se dobije zaista neutralni i inverzni element.

Nisam razumeo ovaj slučaj – šta znači zaista neutralni i inverzni element?
Ali, svakako da je ovde, iz izraza za operaciju [inlmath]a\ast b=\text{arctg}\left(\text{tg }a+\text{tg }b\right )[/inlmath] sasvim jasno da komutativnost važi (naravno, to je u rešavanju potrebno naglasiti), pa je samim tim dovoljno dokazivanje samo levog neutrala i samo levog inverza.

U principu, i kad ne važi komutativnost, a dokazano je da važi asocijativnost, tada iz postojanja levog neutrala i postojanja levog inverza sledi postojanje i desnog neutrala i desnog inverza. To je tzv. minimizacija aksioma grupe i pominjana je ovde. Mada, moram da se ogradim da sam dosad video da se to koristi jedino na ETF-u i nigde više, a i tamo je potrebno izričito naglasiti da postojanje desnog neutrala i desnog inverza sledi na osnovu minimizovanih aksioma grupe.

Re: Dokazati da je grupa

PostPoslato: Nedelja, 17. Septembar 2017, 11:21
od wolf11
Mislio sam da se ovde u ovom zadatku ispitivanjem samo jednog inverza dobija inverzni element, kao i ispitivanjem samo jednog neutralnog elementa dobija neutralni element

Re: Dokazati da je grupa

PostPoslato: Nedelja, 17. Septembar 2017, 13:48
od Ilija
Da, zaboravio sam tu minimizaciju aksioma grupe, jer je nesto nisam ni koristio u resavanju zadataka iskreno. :D

Svakako, mislim da, ako je ovo neki zadatak sa testa, trebalo bi naglasiti ili da vazi komutativnost ili da se ide preko ove minimizacije aksioma. Siguran sam da bi kod mene skinuli bar trecinu poena za tu "sitnicu".