Dokazati da je grupa
Poslato: Petak, 15. Septembar 2017, 17:32
Dokazati da je [inlmath]\Bigl(\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right),\ast\Bigr)[/inlmath] grupa, gdje je [inlmath]\ast[/inlmath] definisana sa:
[dispmath]a\ast b=\text{arctg}\left(\text{tg }a+\text{tg }b\right)[/dispmath]
Nisam siguran u rjesenje zadatka, po meni je ovo grupa jer kad ispitujem:
[inlmath]1^\circ[/inlmath] zatvorenost
[dispmath]a\ast b=\text{arctg}\left(\text{tg }a+\text{tg }b\right)\in\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)[/dispmath] mislim da je ovo ispunjeno jer funkcija tangens ima kodomen [inlmath]\left(-\infty,\infty\right)[/inlmath], pa ta dva tangensa kad se saberu daju opet nesto sto spada u [inlmath]\left(-\infty,\infty\right)[/inlmath], a to je domen funkcije [inlmath]\text{arctg}[/inlmath] i na kraju njen kodomen opet je unutar intervala [inlmath]\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)[/inlmath]. Ako sam ja ovo dobro razumio sve.
[inlmath]2^\circ[/inlmath] asocijativnost
[dispmath]\left(a\ast b\right)\ast c=a\ast\left(b\ast c\right)\\
\bigl(\text{arctg}\left(\text{tg }a+\text{tg }b\right)\bigr)\ast c=a\ast\bigl(\text{arctg}\left(\text{tg }b+\text{tg }c\right)\bigr)\\
\text{arctg}\Bigl(\text{tg}\bigl(\text{arctg}\left(\text{tg }a+\text{tg }b\right)\bigr)+\text{tg }c\Bigr)=\text{arctg}\Bigl(\text{tg }a+\text{tg }\bigl(\text{arctg}\left(\text{tg }b+\text{tg }c\right)\bigr)\Bigr)\\
\text{arctg}\left(\text{tg }a+\text{tg }b+\text{tg }c\right)=\text{arctg}\left(\text{tg }a+\text{tg }b+\text{tg }c\right)[/dispmath] Odavde se vidi da asocijativnost vrijedi.
[inlmath]3^\circ[/inlmath] neutralni element
[dispmath]a\ast e=e\ast a=a\\
\text{arctg}\left(\text{tg }a+\text{tg }e\right)=a\\
\text{tg }a+\text{tg }e=\text{tg }a\\
\text{tg }e=0\\
e=0[/dispmath] Dakle, [inlmath]e=0[/inlmath] bi bio neutralni element.
[inlmath]4^\circ[/inlmath] inverzni element
[dispmath]a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=e\\
\text{arctg}\left(\text{tg }a+\text{tg }a^{-1}\right)=0\\
\text{tg }a+\text{tg }a^{-1}=0\\
\text{tg }a^{-1}=-\text{tg }a\\
a^{-1}=-a[/dispmath] Odavde je neutralni element [inlmath]a^{-1}=-a[/inlmath]. Ako su ispunjena ova 4 uslova data algebarska struktura bi onda trebala da bude grupa i ovo bi bio dokaz koji to pokazuje.
Napisao sam ja ovde dosta toga, da li neko moze pogledati da li je ovo tacno i ukoliko nije da mi ukaze na greske gdje sam pogrijesio.
[dispmath]a\ast b=\text{arctg}\left(\text{tg }a+\text{tg }b\right)[/dispmath]
Nisam siguran u rjesenje zadatka, po meni je ovo grupa jer kad ispitujem:
[inlmath]1^\circ[/inlmath] zatvorenost
[dispmath]a\ast b=\text{arctg}\left(\text{tg }a+\text{tg }b\right)\in\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)[/dispmath] mislim da je ovo ispunjeno jer funkcija tangens ima kodomen [inlmath]\left(-\infty,\infty\right)[/inlmath], pa ta dva tangensa kad se saberu daju opet nesto sto spada u [inlmath]\left(-\infty,\infty\right)[/inlmath], a to je domen funkcije [inlmath]\text{arctg}[/inlmath] i na kraju njen kodomen opet je unutar intervala [inlmath]\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)[/inlmath]. Ako sam ja ovo dobro razumio sve.
[inlmath]2^\circ[/inlmath] asocijativnost
[dispmath]\left(a\ast b\right)\ast c=a\ast\left(b\ast c\right)\\
\bigl(\text{arctg}\left(\text{tg }a+\text{tg }b\right)\bigr)\ast c=a\ast\bigl(\text{arctg}\left(\text{tg }b+\text{tg }c\right)\bigr)\\
\text{arctg}\Bigl(\text{tg}\bigl(\text{arctg}\left(\text{tg }a+\text{tg }b\right)\bigr)+\text{tg }c\Bigr)=\text{arctg}\Bigl(\text{tg }a+\text{tg }\bigl(\text{arctg}\left(\text{tg }b+\text{tg }c\right)\bigr)\Bigr)\\
\text{arctg}\left(\text{tg }a+\text{tg }b+\text{tg }c\right)=\text{arctg}\left(\text{tg }a+\text{tg }b+\text{tg }c\right)[/dispmath] Odavde se vidi da asocijativnost vrijedi.
[inlmath]3^\circ[/inlmath] neutralni element
[dispmath]a\ast e=e\ast a=a\\
\text{arctg}\left(\text{tg }a+\text{tg }e\right)=a\\
\text{tg }a+\text{tg }e=\text{tg }a\\
\text{tg }e=0\\
e=0[/dispmath] Dakle, [inlmath]e=0[/inlmath] bi bio neutralni element.
[inlmath]4^\circ[/inlmath] inverzni element
[dispmath]a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=e\\
\text{arctg}\left(\text{tg }a+\text{tg }a^{-1}\right)=0\\
\text{tg }a+\text{tg }a^{-1}=0\\
\text{tg }a^{-1}=-\text{tg }a\\
a^{-1}=-a[/dispmath] Odavde je neutralni element [inlmath]a^{-1}=-a[/inlmath]. Ako su ispunjena ova 4 uslova data algebarska struktura bi onda trebala da bude grupa i ovo bi bio dokaz koji to pokazuje.
Napisao sam ja ovde dosta toga, da li neko moze pogledati da li je ovo tacno i ukoliko nije da mi ukaze na greske gdje sam pogrijesio.