Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Determinanta n-tog reda

Matrice, determinante...

Moderator: Corba248

Determinanta n-tog reda

Postod wolf11 » Petak, 06. Oktobar 2017, 13:06

Izracunati:
[dispmath]\begin{vmatrix}
1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
1 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 0\\
0 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 1
\end{vmatrix}[/dispmath] Jasno mi je da je ovo rekurzivna determinanta, te da se razvojem po prvoj vrsti dobija [inlmath]D_n=D_{n-1}-D_{n-2}[/inlmath], i da onda trazim rjesenja jednacine [inlmath]\lambda^2-\lambda+1=0[/inlmath]. Tu nastaje problem, jer bi rjesenja ove jednacine bila kompleksna, pa sa tim ne mogu da primjenim one formule za rjesavanje determinante. Asistent mi rece da postoje te formule i da to nije problem mada nam ih nikad nije spominjao, kao i da se moze raditi preko onih uobicajenih formula iako bi tako bilo vise posla. Zna li neko te formule koje bi mi pomogle da dodjem do rjesenja?
wolf11  OFFLINE
 
Postovi: 37
Zahvalio se: 31 puta
Pohvaljen: 3 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Determinanta n-tog reda

Postod Daniel » Petak, 06. Oktobar 2017, 17:10

Poputno je isti postupak kao i kad su koreni karakteristične jednačine realni, jedino što ovde vodiš računa da će koeficijenti u izrazu za opšte rešenje takođe biti kompleksni. Uvrštavanjem [inlmath]D_1=1[/inlmath] i [inlmath]D_2=0[/inlmath] dobićeš sistem od dve jednačine od dve nepoznate, iz kojeg odrediš vrednosti tih kompleksnih koeficijenata, tj. nađeš partikularno rešenje.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7749
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4073 puta
Pohvaljen: 4128 puta

Re: Determinanta n-tog reda

Postod wolf11 » Petak, 06. Oktobar 2017, 21:19

Znaci, ako bi ja koristio standardni postupak i ako bi imao [inlmath]\lambda_1=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3\imath}{2}[/inlmath] i [inlmath]\lambda_2=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3\imath}{2}[/inlmath]. Dobio sam [inlmath]k_1=\frac{3-\sqrt3\imath}{6}[/inlmath] i [inlmath]k_2=\frac{3+\sqrt3\imath}{6}[/inlmath]. I onda koristeci formulu rjesenje determinante je
[dispmath]D_n=\frac{3-\sqrt3\imath}{6}\left(\frac{1+\sqrt3\imath}{2}\right)^n+\frac{3+\sqrt3\imath}{6}\left(\frac{1-\sqrt3\imath}{2}\right)^n[/dispmath] Mozda nije najljepse rjesenje, ali se bar nadam da nije pogresno.
wolf11  OFFLINE
 
Postovi: 37
Zahvalio se: 31 puta
Pohvaljen: 3 puta

  • +1

Re: Determinanta n-tog reda

Postod Daniel » Subota, 07. Oktobar 2017, 01:03

Tačno je rešenje. :mhm:
Primetićeš da koeficijenti [inlmath]k_1[/inlmath] i [inlmath]k_2[/inlmath] čine konjugovano-kompleksni par, a pošto su brojevi kojima se oni množe ([inlmath]\lambda_1[/inlmath] i [inlmath]\lambda_2[/inlmath]) takođe konjugovano-kompleksni, rezultat koji si dobio biće realan za svako [inlmath]n[/inlmath] (i to ne samo za [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath], već i kad bi bilo [inlmath]n\in\mathbb{R}[/inlmath]).

Ovo je zapravo slučaj uvek kad određujemo koeficijente uz [inlmath]\lambda_1[/inlmath] i [inlmath]\lambda_2[/inlmath] pri čemu su [inlmath]\lambda_1[/inlmath] i [inlmath]\lambda_2[/inlmath] konjugovano-kompleksni. Ukoliko želiš malo da se igraš, možeš pokušati da izvedeš formulu i za opšti slučaj, gde će ti biti [inlmath]\lambda_1=\mu-i\nu[/inlmath] i [inlmath]\lambda_2=\mu+i\nu[/inlmath]. Postavljanjem početnih uslova, pri čemu ti je poznato [inlmath]D_1[/inlmath] i [inlmath]D_2[/inlmath], dobićeš sistem dve jednačine s dve nepoznate, čijim se rešavanjem dobiju koeficijenti [inlmath]k_1[/inlmath] i [inlmath]k_2[/inlmath] i na kraju, njihovim uvrštavanjem u [inlmath]D_n=k_1\lambda_1+k_2\lambda_2[/inlmath], konačno se dobije [inlmath]D_n=\frac{\nu D_1+i(D_2-\mu D_1)}{2\nu}(\mu-i\nu)^{n-1}+\frac{\nu D_1-i(D_2-\mu D_1)}{2\nu}(\mu+i\nu)^{n-1}[/inlmath].
(Ne znam da li je to ta formula za slučaj kompleksnih korena na koju je asistent mislio, ali ja se lično ne bih trudio da je zapamtim, već bih radio na „standardan“ način, na koji si ti upravo odradio.)

E, iz ovog opšteg oblika upravo se vidi da i koeficijenti, isto kao i rešenja, predstavljaju konjugovano-kompleksni par, pa će ovaj zbir proizvoda (koji je oblika [inlmath]z_1\cdot z_2+\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}[/inlmath]) uvek biti realan.



Što se tiče rešenja koja si dobio, da, može se još malo uprostiti ukoliko lambde predstaviš preko trigonometrijskog oblika, a zatim unakrsno izmnožiš, nakon čega će se štošta pokratiti. Treba da se dobije [inlmath]D_n=\cos\frac{n\pi}{3}+\frac{\sqrt3}{3}\sin\frac{n\pi}{3}[/inlmath], odakle se odmah može uočiti periodičnost s periodom [inlmath]6[/inlmath], što znači da se rezultat može predstaviti i na sledeći način:
[dispmath]D_n=\begin{cases}
1, & n=6k+1\;\lor\;n=6k+6\\
0, & n=6k+2\;\lor\;n=6k+5\\
-1, & n=6k+3\;\lor\;n=6k+4
\end{cases}\quad(k\in\mathbb{N_0})[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7749
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4073 puta
Pohvaljen: 4128 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 12. Novembar 2019, 11:40 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs