Tačno je rešenje.
Primetićeš da koeficijenti [inlmath]k_1[/inlmath] i [inlmath]k_2[/inlmath] čine konjugovano-kompleksni par, a pošto su brojevi kojima se oni množe ([inlmath]\lambda_1[/inlmath] i [inlmath]\lambda_2[/inlmath]) takođe konjugovano-kompleksni, rezultat koji si dobio biće realan za svako [inlmath]n[/inlmath] (i to ne samo za [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath], već i kad bi bilo [inlmath]n\in\mathbb{R}[/inlmath]).
Ovo je zapravo slučaj uvek kad određujemo koeficijente uz [inlmath]\lambda_1[/inlmath] i [inlmath]\lambda_2[/inlmath] pri čemu su [inlmath]\lambda_1[/inlmath] i [inlmath]\lambda_2[/inlmath] konjugovano-kompleksni. Ukoliko želiš malo da se igraš, možeš pokušati da izvedeš formulu i za opšti slučaj, gde će ti biti [inlmath]\lambda_1=\mu-i\nu[/inlmath] i [inlmath]\lambda_2=\mu+i\nu[/inlmath]. Postavljanjem početnih uslova, pri čemu ti je poznato [inlmath]D_1[/inlmath] i [inlmath]D_2[/inlmath], dobićeš sistem dve jednačine s dve nepoznate, čijim se rešavanjem dobiju koeficijenti [inlmath]k_1[/inlmath] i [inlmath]k_2[/inlmath] i na kraju, njihovim uvrštavanjem u [inlmath]D_n=k_1\lambda_1+k_2\lambda_2[/inlmath], konačno se dobije [inlmath]D_n=\frac{\nu D_1+i(D_2-\mu D_1)}{2\nu}(\mu-i\nu)^{n-1}+\frac{\nu D_1-i(D_2-\mu D_1)}{2\nu}(\mu+i\nu)^{n-1}[/inlmath].
(Ne znam da li je to ta formula za slučaj kompleksnih korena na koju je asistent mislio, ali ja se lično ne bih trudio da je zapamtim, već bih radio na „standardan“ način, na koji si ti upravo odradio.)
E, iz ovog opšteg oblika upravo se vidi da i koeficijenti, isto kao i rešenja, predstavljaju konjugovano-kompleksni par, pa će ovaj zbir proizvoda (koji je oblika [inlmath]z_1\cdot z_2+\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}[/inlmath]) uvek biti realan.
Što se tiče rešenja koja si dobio, da, može se još malo uprostiti ukoliko lambde predstaviš preko trigonometrijskog oblika, a zatim unakrsno izmnožiš, nakon čega će se štošta pokratiti. Treba da se dobije [inlmath]D_n=\cos\frac{n\pi}{3}+\frac{\sqrt3}{3}\sin\frac{n\pi}{3}[/inlmath], odakle se odmah može uočiti periodičnost s periodom [inlmath]6[/inlmath], što znači da se rezultat može predstaviti i na sledeći način:
[dispmath]D_n=\begin{cases}
1, & n=6k+1\;\lor\;n=6k+6\\
0, & n=6k+2\;\lor\;n=6k+5\\
-1, & n=6k+3\;\lor\;n=6k+4
\end{cases}\quad(k\in\mathbb{N_0})[/dispmath]