Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Izracunati determinantu

Matrice, determinante...

Moderator: Corba248

Izracunati determinantu

Postod Subject » Nedelja, 05. Novembar 2017, 12:59

Data je:
[dispmath]\begin{vmatrix}
x_0+x_1 & x_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
x_1 & x_1+x_2 & x_2 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
0 & x_2 & x_2+x_3 & x_3 & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots &\vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & x_{n-1} & x_{n-1}+x_n\\
\end{vmatrix}[/dispmath] Razvijanjem po prvoj koloni:
[dispmath]D_n=(x_0+x_1)D_{n-1}-x_1\begin{vmatrix}
x_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
x_2 & x_2+x_3 & x_3 & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & x_{n-1} & x_{n-1}+x_n\\
\end{vmatrix}[/dispmath] Razvijanjem po prvoj vrsti dobija se: [inlmath]D_n=(x_0+x_1)D_{n-1}-x_1^2D_{n-2}[/inlmath] sto je isuvise komplikovano da se radi kao neko [inlmath]\lambda_{1,2}[/inlmath] gde je [inlmath]D_n=\lambda^2[/inlmath], [inlmath]D_{n-1}=\lambda[/inlmath], [inlmath]D_{n-2}=\text{const}[/inlmath], a resenje je dato u obliku [inlmath]D_n=\sum\limits_{a=0}^n\prod\limits_{b=0}^nx_b[/inlmath] gde vazi [inlmath]a\ne b[/inlmath]. Da li moze neko da objasni kako se doslo do ovog resenja?
"All we have to decide is what to do with the time that is given to us." - J.R.R.Tolkien
"Zivot nije vazniji od obraza." - Milorad Golijan
Korisnikov avatar
Subject  OFFLINE
 
Postovi: 59
Zahvalio se: 38 puta
Pohvaljen: 25 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Izracunati determinantu

Postod Daniel » Ponedeljak, 06. Novembar 2017, 02:25

Greška ti je što si sa [inlmath]D_{n-1}[/inlmath] označio determinantu [inlmath]\begin{vmatrix} x_1+x_2 & x_2 & \cdots & 0\\ x_2 & x_2+x_3 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & x_{n-1}+x_n \end{vmatrix}[/inlmath], a sa [inlmath]D_{n-2}[/inlmath] determinantu [inlmath]\begin{vmatrix} x_2+x_3 & x_3 & \cdots & 0\\ x_3 & x_3+x_4 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & x_{n-1}+x_n \end{vmatrix}[/inlmath].
Ako se u prvoj koloni prve vrste determinante [inlmath]D_n[/inlmath] nalazi element [inlmath]x_0+x_1[/inlmath] (tj. element „gore levo“), onda se isti taj element mora nalaziti u prvoj koloni prve vrste i kod determinante [inlmath]D_{n-1}[/inlmath], i kod determinante [inlmath]D_{n-2}[/inlmath], i kod bilo koje determinante [inlmath]D_k[/inlmath], [inlmath]k\in\mathbb{N}[/inlmath].
Za razliku od njega, element u poslednjoj vrsti poslednje kolone („dole desno“) biće promenljiv, tj. zavisiće od [inlmath]n[/inlmath]. Kod determinante [inlmath]D_1[/inlmath] taj element će biti [inlmath]x_0+x_1[/inlmath] (to će ujedno biti i jedini element), kod determinante [inlmath]D_2[/inlmath] taj element će biti [inlmath]x_1+x_2[/inlmath] itd.
Dakle, determinanta [inlmath]D_{n-1}[/inlmath] treba da glasi [inlmath]\begin{vmatrix} x_0+x_1 & x_1 & \cdots & 0\\ x_1 & x_1+x_2 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & x_{n-2}+x_{n-1} \end{vmatrix}[/inlmath], a determinanta [inlmath]D_{n-2}[/inlmath] treba da glasi [inlmath]\begin{vmatrix} x_0+x_1 & x_1 & \cdots & 0\\ x_1 & x_1+x_2 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & x_{n-3}+x_{n-2} \end{vmatrix}[/inlmath].

Da bi izrazio determinantu [inlmath]D_n[/inlmath] preko determinanti [inlmath]D_{n-1}[/inlmath] i [inlmath]D_{n-2}[/inlmath], potrebno je primeniti razvoj po poslednjoj koloni, a zatim po poslednjoj vrsti, čime se dolazi do formule [inlmath]D_n=(x_{n-1}+x_n)D_{n-1}-x_{n-1}^2D_{n-2}[/inlmath]. Međutim, ovo nije linearna rekurzivna jednačina, budući da [inlmath]x_{n-1}[/inlmath] i [inlmath]x_n[/inlmath] nisu konstante, već zavise od [inlmath]n[/inlmath], tako da ovde ne možemo primeniti postupak s linearnom diferencnom jednačinom.
Ono što možemo, to je da napišemo izraze za determinante za prvih nekoliko vrednosti [inlmath]n[/inlmath] (tj. izraze za [inlmath]D_1[/inlmath], [inlmath]D_2[/inlmath] i [inlmath]D_3[/inlmath]) i već na osnovu ta prva tri izraza moći ćemo sasvim osnovano pretpostaviti da izraz za determinatnu [inlmath]D_n[/inlmath] glasi [inlmath]\sum\limits_{a=0}^n\prod\limits_{\begin{matrix} b=0\\[-0.8mm] (b\ne a) \end{matrix}}^nx_b[/inlmath]. Zatim primenimo indukciju kako bismo to i dokazali.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7749
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4073 puta
Pohvaljen: 4128 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 12. Novembar 2019, 11:43 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs