Izracunati determinantu
Poslato: Nedelja, 05. Novembar 2017, 12:59
Data je:
[dispmath]\begin{vmatrix}
x_0+x_1 & x_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
x_1 & x_1+x_2 & x_2 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
0 & x_2 & x_2+x_3 & x_3 & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots &\vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & x_{n-1} & x_{n-1}+x_n\\
\end{vmatrix}[/dispmath] Razvijanjem po prvoj koloni:
[dispmath]D_n=(x_0+x_1)D_{n-1}-x_1\begin{vmatrix}
x_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
x_2 & x_2+x_3 & x_3 & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & x_{n-1} & x_{n-1}+x_n\\
\end{vmatrix}[/dispmath] Razvijanjem po prvoj vrsti dobija se: [inlmath]D_n=(x_0+x_1)D_{n-1}-x_1^2D_{n-2}[/inlmath] sto je isuvise komplikovano da se radi kao neko [inlmath]\lambda_{1,2}[/inlmath] gde je [inlmath]D_n=\lambda^2[/inlmath], [inlmath]D_{n-1}=\lambda[/inlmath], [inlmath]D_{n-2}=\text{const}[/inlmath], a resenje je dato u obliku [inlmath]D_n=\sum\limits_{a=0}^n\prod\limits_{b=0}^nx_b[/inlmath] gde vazi [inlmath]a\ne b[/inlmath]. Da li moze neko da objasni kako se doslo do ovog resenja?
[dispmath]\begin{vmatrix}
x_0+x_1 & x_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
x_1 & x_1+x_2 & x_2 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
0 & x_2 & x_2+x_3 & x_3 & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots &\vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & x_{n-1} & x_{n-1}+x_n\\
\end{vmatrix}[/dispmath] Razvijanjem po prvoj koloni:
[dispmath]D_n=(x_0+x_1)D_{n-1}-x_1\begin{vmatrix}
x_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
x_2 & x_2+x_3 & x_3 & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & x_{n-1} & x_{n-1}+x_n\\
\end{vmatrix}[/dispmath] Razvijanjem po prvoj vrsti dobija se: [inlmath]D_n=(x_0+x_1)D_{n-1}-x_1^2D_{n-2}[/inlmath] sto je isuvise komplikovano da se radi kao neko [inlmath]\lambda_{1,2}[/inlmath] gde je [inlmath]D_n=\lambda^2[/inlmath], [inlmath]D_{n-1}=\lambda[/inlmath], [inlmath]D_{n-2}=\text{const}[/inlmath], a resenje je dato u obliku [inlmath]D_n=\sum\limits_{a=0}^n\prod\limits_{b=0}^nx_b[/inlmath] gde vazi [inlmath]a\ne b[/inlmath]. Da li moze neko da objasni kako se doslo do ovog resenja?