Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Najjednostavnija baza potprostora

Matrice, determinante...

Moderator: Corba248

Najjednostavnija baza potprostora

Postod ffilipovicc98 » Četvrtak, 30. Novembar 2017, 23:33

Zadatak: Neka su [inlmath]U[/inlmath] i [inlmath]W[/inlmath] potprostori vektorskog prostora [inlmath]\mathbb{R}^4[/inlmath] generisani redom vektorima:
[dispmath]u_1=(1,2,3,4)\quad u_2=(4,3,2,1)\quad u_3=(1,1,1,2)\\
w_1=(1,1,1,1)\quad w_2=(2,2,4,3)\quad w_3=(1,1,5,4)[/dispmath] Odrediti bar jednu bazu kao i dimenziju prostora [inlmath]U[/inlmath], [inlmath]W[/inlmath], [inlmath]U+W[/inlmath] i [inlmath]U\cap W[/inlmath].

Došao sam u nedoumicu kod baze za [inlmath]W[/inlmath]:
Od vektora [inlmath]w_1[/inlmath], [inlmath]w_2[/inlmath] i [inlmath]w_3[/inlmath] sam formirao matricu na sledeći način i standardno je elementarnim transformacijama sveo na stepenastu formu:
[dispmath]\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 5 & 4\\ 2 & 2 & 4 & 3 \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 4 & 3\\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}[/dispmath] I odatle zaključujem da su ova tri vektora linearno nezavisna i da bazu od [inlmath]W[/inlmath] čine [inlmath](1,1,1,1),(0,0,2,1),(0,0,0,1)[/inlmath].
Da li mogu sad da ovu matricu još malo sredim pa dobijem još "jednostavnije" vektore za bazu. Na primer:
[dispmath]\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}[/dispmath] Da li sad vektori [inlmath](1,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)[/inlmath] čine bazu?
Vrlo jednostavno pitanje, ali kod linearne me i najlakše stvari nekad dovode u totalnu zabunu :unsure:
 
Postovi: 26
Zahvalio se: 40 puta
Pohvaljen: 12 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Najjednostavnija baza potprostora

Postod Subject » Petak, 01. Decembar 2017, 07:24

Po definiciji, Baza vektorskog prostora [inlmath]X[/inlmath] nad poljem [inlmath]K[/inlmath] je skup linearno nezavisnih ne-nula vektora. Dakle vektori [inlmath](1,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)[/inlmath] ce ciniti bazu ako su linearno nezavisni. Sto se jasno vidi.

Inace, najjednostavnija vektorska baza je: [inlmath]B=\{(1,0,\ldots,0),(0,1,0,\ldots,0),\ldots,(0,0,\ldots,0,1)\}[/inlmath].
"All we have to decide is what to do with the time that is given to us." - J.R.R.Tolkien
"Zivot nije vazniji od obraza." - Milorad Golijan
Korisnikov avatar
Subject  OFFLINE
 
Postovi: 59
Zahvalio se: 38 puta
Pohvaljen: 25 puta

Re: Najjednostavnija baza potprostora

Postod ubavic » Petak, 01. Decembar 2017, 12:40

Subject je napisao:Po definiciji, Baza vektorskog prostora [inlmath]X[/inlmath] nad poljem [inlmath]K[/inlmath] je skup linearno nezavisnih ne-nula vektora.

Ovde si zaboravio da napišeš da je baza linearno nezavisna generatrisa prostora.

Subject je napisao:Dakle vektori [inlmath](1,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)[/inlmath] ce ciniti bazu ako su linearno nezavisni. Sto se jasno vidi.

Ti vektori čine bazu svog linearnog omotača. Potrebno je pokazati da je taj linearni omotač baš jednak polaznom potprostoru [inlmath]W[/inlmath].



@ffilipovicc98: Jeste, taj poslednje navedeni sistem vektora čini bazu potprostora [inlmath]W[/inlmath]. Sve dok vršiš elementarne transformacije sistema vektora (matrice) linearni omotač tog sistema se neće promeniti. Naime elementarne transformacije su invertibilne, pa od "krajnjih" vektora možeš dobiti "početne".

Nevezano za ovaj zadatak: Videćeš u nekim zadacima da se vektori jednostavno izgube primenom elementarnih transformacija. To je zbog toga zato što su na samom početku neki vektori bili suvišni (tj. dati sistem je bio linearno zavisan), i to ne znači da si pogrešio. Veći je problem ako na kraju imaš više vektora nego na početku (tad si sigurno napravio grešku) :)
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 529
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 348 puta
Pohvaljen: 515 puta

Re: Najjednostavnija baza potprostora

Postod Daniel » Petak, 01. Decembar 2017, 19:45

Pa, koliko sam ja razumeo ovaj zadatak, dovoljno je bilo dokazati da su zadati vektori [inlmath]w_1[/inlmath], [inlmath]w_2[/inlmath] i [inlmath]w_3[/inlmath] linearno nezavisni, čime će već taj zadati skup [inlmath]\{w_1,w_2,w_3\}[/inlmath] činiti jednu bazu potprostora [inlmath]W[/inlmath], pri čemu je [inlmath]\dim(W)=3[/inlmath]. Time je taj deo zadatka urađen i nije ni potrebno tražiti neku drugu bazu, samo zato da bi nama izgledala „lepše“ zbog većeg broja nultih komponenata njenih vektora.
Da smo, kojim slučajem, dobili da je jedan od ta tri vektora linearno zavisan od preostala dva (a da su ta preostala dva linearno nezavisna), onda to već ne bi bila baza, jer bi taj skup od tri vektora generisao potprostor [inlmath]\mathbb{R}^2[/inlmath], te bi jedan vektor bio suvišan.

Subject je napisao:Inace, najjednostavnija vektorska baza je: [inlmath]B=\{(1,0,\ldots,0),(0,1,0,\ldots,0),\ldots,(0,0,\ldots,0,1)\}[/inlmath].

Ova baza koju si naveo zove se ortonormirana baza (baza u kojoj su svi vektori jedinični i međusobno ortogonalni).

ubavic je napisao:Nevezano za ovaj zadatak: Videćeš u nekim zadacima da se vektori jednostavno izgube primenom elementarnih transformacija. To je zbog toga zato što su na samom početku neki vektori bili suvišni (tj. dati sistem je bio linearno zavisan), i to ne znači da si pogrešio.

„Izgube se“, u smislu da se dobiju nula-vektori. Ali, budući da su nula-vektori potpuno beskorisni sa stanovišta učešća u linearnim vektorskim kombinacijama, to možemo u slobodnijoj interpretaciji reći upravo to – da se izgube. :)

ffilipovicc98 je napisao:Da li sad vektori [inlmath](1,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)[/inlmath] čine bazu?

Kao što ti prethodnici već rekoše, čine. E sad, da pokušam da malo vizuelno dočaram kako ova tri vektora generišu [inlmath]\mathbb{R}^3[/inlmath] potprostor unutar [inlmath]\mathbb{R}^4[/inlmath] prostora. Naravno da ne možemo direktno zamisliti četvorodimenzionalni prostor i trodimenzionalni potprostor u njemu, ali možemo uočiti da bismo sličnu situaciju (i slično razmišljanje) imali ako bismo oduzeli po jednu dimenziju, i posmatrali [inlmath]\mathbb{R}^2[/inlmath] potprostor (tj. ravan) unutar [inlmath]\mathbb{R}^3[/inlmath] prostora – što je našim čulima i iskustvima već mnogo bliže. Ako bismo, primera radi, u prostoru [inlmath]\mathbb{R}^3[/inlmath] imali bazu [inlmath]\{\left<1,1,0\right>,\left<0,0,1\right>\}[/inlmath] (dakle, slična baza kao ova koju si dobio, samo s jednom dimenzijom, i jednim vektorom, manje), to bi izgledalo kao na sledećoj slici:

baza.png
baza.png (1.92 KiB) Pogledano 219 puta

Dakle, linearnom kombinacijom vektora [inlmath]\left<1,1,0\right>[/inlmath] i [inlmath]\left<0,0,1\right>[/inlmath] mogao bi se dobiti bilo koji vektor u ravni obeleženoj na slici zelenkasto (ali ne i van nje) – što znači da ta dva vektora predstavljaju generatrisu potprostora [inlmath]\mathbb{R}^2[/inlmath] (tj. generatrisu te ravni koja sadrži [inlmath]z[/inlmath]-osu, a s [inlmath]x[/inlmath]- i [inlmath]y[/inlmath]-osom zaklapa ugao od [inlmath]45^\circ[/inlmath]).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7683
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Re: Najjednostavnija baza potprostora

Postod ffilipovicc98 » Subota, 02. Decembar 2017, 11:44

Hvala svima na ovako detaljnim odgovorima, razumeo sam o čemu se radi. Upravo je ova vizuelizacija i taj neki osećaj šta se dešava u ovim zadacima najteži meni kao početniku. Preporučujem svim početnicima kojima ovo teže ide seriju klipova, koji su meni pomogli. Inače na ideju da dobijem bazu sa lakšim brojevima došao sam zbog toga što mi se u delu zadatka gde treba da odredim bazu preseka potprostora pojavljuje mnogo veliki sistem ako koristim onu prvu bazu do koje sam došao.
 
Postovi: 26
Zahvalio se: 40 puta
Pohvaljen: 12 puta

Re: Najjednostavnija baza potprostora

Postod Daniel » Subota, 02. Decembar 2017, 13:58

ffilipovicc98 je napisao:Inače na ideju da dobijem bazu sa lakšim brojevima došao sam zbog toga što mi se u delu zadatka gde treba da odredim bazu preseka potprostora pojavljuje mnogo veliki sistem ako koristim onu prvu bazu do koje sam došao.

Tačno, ne imah to u vidu, posmatrao sam samo taj deo zadatka koji se odnosi na [inlmath]W[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7683
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 25. Avgust 2019, 21:47 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs