Zadatak: Neka su [inlmath]U[/inlmath] i [inlmath]W[/inlmath] potprostori vektorskog prostora [inlmath]\mathbb{R}^4[/inlmath] generisani redom vektorima:
[dispmath]u_1=(1,2,3,4)\quad u_2=(4,3,2,1)\quad u_3=(1,1,1,2)\\
w_1=(1,1,1,1)\quad w_2=(2,2,4,3)\quad w_3=(1,1,5,4)[/dispmath] Odrediti bar jednu bazu kao i dimenziju prostora [inlmath]U[/inlmath], [inlmath]W[/inlmath], [inlmath]U+W[/inlmath] i [inlmath]U\cap W[/inlmath].
Došao sam u nedoumicu kod baze za [inlmath]W[/inlmath]:
Od vektora [inlmath]w_1[/inlmath], [inlmath]w_2[/inlmath] i [inlmath]w_3[/inlmath] sam formirao matricu na sledeći način i standardno je elementarnim transformacijama sveo na stepenastu formu:
[dispmath]\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 5 & 4\\ 2 & 2 & 4 & 3 \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 4 & 3\\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}[/dispmath] I odatle zaključujem da su ova tri vektora linearno nezavisna i da bazu od [inlmath]W[/inlmath] čine [inlmath](1,1,1,1),(0,0,2,1),(0,0,0,1)[/inlmath].
Da li mogu sad da ovu matricu još malo sredim pa dobijem još "jednostavnije" vektore za bazu. Na primer:
[dispmath]\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}[/dispmath] Da li sad vektori [inlmath](1,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)[/inlmath] čine bazu?
Vrlo jednostavno pitanje, ali kod linearne me i najlakše stvari nekad dovode u totalnu zabunu