Najjednostavnija baza potprostora

PostPoslato: Četvrtak, 30. Novembar 2017, 22:33
od ffilipovicc98
Zadatak: Neka su [inlmath]U[/inlmath] i [inlmath]W[/inlmath] potprostori vektorskog prostora [inlmath]\mathbb{R}^4[/inlmath] generisani redom vektorima:
[dispmath]u_1=(1,2,3,4)\quad u_2=(4,3,2,1)\quad u_3=(1,1,1,2)\\
w_1=(1,1,1,1)\quad w_2=(2,2,4,3)\quad w_3=(1,1,5,4)[/dispmath] Odrediti bar jednu bazu kao i dimenziju prostora [inlmath]U[/inlmath], [inlmath]W[/inlmath], [inlmath]U+W[/inlmath] i [inlmath]U\cap W[/inlmath].

Došao sam u nedoumicu kod baze za [inlmath]W[/inlmath]:
Od vektora [inlmath]w_1[/inlmath], [inlmath]w_2[/inlmath] i [inlmath]w_3[/inlmath] sam formirao matricu na sledeći način i standardno je elementarnim transformacijama sveo na stepenastu formu:
[dispmath]\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 5 & 4\\ 2 & 2 & 4 & 3 \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 4 & 3\\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}[/dispmath] I odatle zaključujem da su ova tri vektora linearno nezavisna i da bazu od [inlmath]W[/inlmath] čine [inlmath](1,1,1,1),(0,0,2,1),(0,0,0,1)[/inlmath].
Da li mogu sad da ovu matricu još malo sredim pa dobijem još "jednostavnije" vektore za bazu. Na primer:
[dispmath]\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}[/dispmath] Da li sad vektori [inlmath](1,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)[/inlmath] čine bazu?
Vrlo jednostavno pitanje, ali kod linearne me i najlakše stvari nekad dovode u totalnu zabunu :unsure:

Re: Najjednostavnija baza potprostora

PostPoslato: Petak, 01. Decembar 2017, 06:24
od Subject
Po definiciji, Baza vektorskog prostora [inlmath]X[/inlmath] nad poljem [inlmath]K[/inlmath] je skup linearno nezavisnih ne-nula vektora. Dakle vektori [inlmath](1,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)[/inlmath] ce ciniti bazu ako su linearno nezavisni. Sto se jasno vidi.

Inace, najjednostavnija vektorska baza je: [inlmath]B=\{(1,0,\ldots,0),(0,1,0,\ldots,0),\ldots,(0,0,\ldots,0,1)\}[/inlmath].

Re: Najjednostavnija baza potprostora

PostPoslato: Petak, 01. Decembar 2017, 11:40
od ubavic
Subject je napisao:Po definiciji, Baza vektorskog prostora [inlmath]X[/inlmath] nad poljem [inlmath]K[/inlmath] je skup linearno nezavisnih ne-nula vektora.

Ovde si zaboravio da napišeš da je baza linearno nezavisna generatrisa prostora.

Subject je napisao:Dakle vektori [inlmath](1,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)[/inlmath] ce ciniti bazu ako su linearno nezavisni. Sto se jasno vidi.

Ti vektori čine bazu svog linearnog omotača. Potrebno je pokazati da je taj linearni omotač baš jednak polaznom potprostoru [inlmath]W[/inlmath].



@ffilipovicc98: Jeste, taj poslednje navedeni sistem vektora čini bazu potprostora [inlmath]W[/inlmath]. Sve dok vršiš elementarne transformacije sistema vektora (matrice) linearni omotač tog sistema se neće promeniti. Naime elementarne transformacije su invertibilne, pa od "krajnjih" vektora možeš dobiti "početne".

Nevezano za ovaj zadatak: Videćeš u nekim zadacima da se vektori jednostavno izgube primenom elementarnih transformacija. To je zbog toga zato što su na samom početku neki vektori bili suvišni (tj. dati sistem je bio linearno zavisan), i to ne znači da si pogrešio. Veći je problem ako na kraju imaš više vektora nego na početku (tad si sigurno napravio grešku) :)

Re: Najjednostavnija baza potprostora

PostPoslato: Petak, 01. Decembar 2017, 18:45
od Daniel
Pa, koliko sam ja razumeo ovaj zadatak, dovoljno je bilo dokazati da su zadati vektori [inlmath]w_1[/inlmath], [inlmath]w_2[/inlmath] i [inlmath]w_3[/inlmath] linearno nezavisni, čime će već taj zadati skup [inlmath]\{w_1,w_2,w_3\}[/inlmath] činiti jednu bazu potprostora [inlmath]W[/inlmath], pri čemu je [inlmath]\dim(W)=3[/inlmath]. Time je taj deo zadatka urađen i nije ni potrebno tražiti neku drugu bazu, samo zato da bi nama izgledala „lepše“ zbog većeg broja nultih komponenata njenih vektora.
Da smo, kojim slučajem, dobili da je jedan od ta tri vektora linearno zavisan od preostala dva (a da su ta preostala dva linearno nezavisna), onda to već ne bi bila baza, jer bi taj skup od tri vektora generisao potprostor [inlmath]\mathbb{R}^2[/inlmath], te bi jedan vektor bio suvišan.

Subject je napisao:Inace, najjednostavnija vektorska baza je: [inlmath]B=\{(1,0,\ldots,0),(0,1,0,\ldots,0),\ldots,(0,0,\ldots,0,1)\}[/inlmath].

Ova baza koju si naveo zove se ortonormirana baza (baza u kojoj su svi vektori jedinični i međusobno ortogonalni).

ubavic je napisao:Nevezano za ovaj zadatak: Videćeš u nekim zadacima da se vektori jednostavno izgube primenom elementarnih transformacija. To je zbog toga zato što su na samom početku neki vektori bili suvišni (tj. dati sistem je bio linearno zavisan), i to ne znači da si pogrešio.

„Izgube se“, u smislu da se dobiju nula-vektori. Ali, budući da su nula-vektori potpuno beskorisni sa stanovišta učešća u linearnim vektorskim kombinacijama, to možemo u slobodnijoj interpretaciji reći upravo to – da se izgube. :)

ffilipovicc98 je napisao:Da li sad vektori [inlmath](1,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)[/inlmath] čine bazu?

Kao što ti prethodnici već rekoše, čine. E sad, da pokušam da malo vizuelno dočaram kako ova tri vektora generišu [inlmath]\mathbb{R}^3[/inlmath] potprostor unutar [inlmath]\mathbb{R}^4[/inlmath] prostora. Naravno da ne možemo direktno zamisliti četvorodimenzionalni prostor i trodimenzionalni potprostor u njemu, ali možemo uočiti da bismo sličnu situaciju (i slično razmišljanje) imali ako bismo oduzeli po jednu dimenziju, i posmatrali [inlmath]\mathbb{R}^2[/inlmath] potprostor (tj. ravan) unutar [inlmath]\mathbb{R}^3[/inlmath] prostora – što je našim čulima i iskustvima već mnogo bliže. Ako bismo, primera radi, u prostoru [inlmath]\mathbb{R}^3[/inlmath] imali bazu [inlmath]\{\left<1,1,0\right>,\left<0,0,1\right>\}[/inlmath] (dakle, slična baza kao ova koju si dobio, samo s jednom dimenzijom, i jednim vektorom, manje), to bi izgledalo kao na sledećoj slici:

baza.png
baza.png (1.92 KiB) Pogledano 239 puta

Dakle, linearnom kombinacijom vektora [inlmath]\left<1,1,0\right>[/inlmath] i [inlmath]\left<0,0,1\right>[/inlmath] mogao bi se dobiti bilo koji vektor u ravni obeleženoj na slici zelenkasto (ali ne i van nje) – što znači da ta dva vektora predstavljaju generatrisu potprostora [inlmath]\mathbb{R}^2[/inlmath] (tj. generatrisu te ravni koja sadrži [inlmath]z[/inlmath]-osu, a s [inlmath]x[/inlmath]- i [inlmath]y[/inlmath]-osom zaklapa ugao od [inlmath]45^\circ[/inlmath]).

Re: Najjednostavnija baza potprostora

PostPoslato: Subota, 02. Decembar 2017, 10:44
od ffilipovicc98
Hvala svima na ovako detaljnim odgovorima, razumeo sam o čemu se radi. Upravo je ova vizuelizacija i taj neki osećaj šta se dešava u ovim zadacima najteži meni kao početniku. Preporučujem svim početnicima kojima ovo teže ide seriju klipova, koji su meni pomogli. Inače na ideju da dobijem bazu sa lakšim brojevima došao sam zbog toga što mi se u delu zadatka gde treba da odredim bazu preseka potprostora pojavljuje mnogo veliki sistem ako koristim onu prvu bazu do koje sam došao.

Re: Najjednostavnija baza potprostora

PostPoslato: Subota, 02. Decembar 2017, 12:58
od Daniel
ffilipovicc98 je napisao:Inače na ideju da dobijem bazu sa lakšim brojevima došao sam zbog toga što mi se u delu zadatka gde treba da odredim bazu preseka potprostora pojavljuje mnogo veliki sistem ako koristim onu prvu bazu do koje sam došao.

Tačno, ne imah to u vidu, posmatrao sam samo taj deo zadatka koji se odnosi na [inlmath]W[/inlmath].