Determinanta sa sinusima i kosinusima

PostPoslato: Utorak, 26. Decembar 2017, 17:43
od nikolina
Zdravo! Spremam se za takmicenje i treba mi pomoc oko jednog zadatka. Znam kako se resava determinanta ali u ovom slucaju ne znam sta da radim. Molim vas pomozitee
[dispmath]\begin{vmatrix}
\sin(x) & \cos(x) & \sin(x+t)\\
\sin(y) & \cos(y) & \sin(y+t)\\
\sin(z) & \cos(z) & \sin(z+t)
\end{vmatrix}[/dispmath]

Re: Determinanta sa sinusima i kosinusima

PostPoslato: Utorak, 26. Decembar 2017, 21:32
od Ilija
Razvij determinantu po trecoj koloni na primer, i onda primeni formulu za proizvod dva sinusa. Sve se pokrati i dobije se [inlmath]0[/inlmath]. Za ovakav zadatak postoji rubrika Linearna algebra. Takodje, i Latex kod uokviri sa tagovima da bi se lepo videlo.

Re: Determinanta sa sinusima i kosinusima

PostPoslato: Utorak, 26. Decembar 2017, 22:14
od nikolina
Vazii, hvalaa. Sto se tice formule za proizvod 2 sinusa ne znam je pa cu morati da je potrazim na internetu ali svakako hvala punooo :D :D :D

Re: Determinanta sa sinusima i kosinusima

PostPoslato: Utorak, 26. Decembar 2017, 22:18
od nikolina
Nasla sam na netu ovu formulu paa samo da pitam je l tacna:
[dispmath]\sin(x)\cdot\sin(y)=\frac{1}{2}\bigl(\cos(a-b)-\cos(a+b)\bigr)[/dispmath]

Re: Determinanta sa sinusima i kosinusima

PostPoslato: Utorak, 26. Decembar 2017, 22:32
od Ilija
Tako je. To je ta formula. A sve ostale trigonometrijske identitete i formule (kao i ovu) mozes pronaci i na samom forumu - ovde. I opet, Latex kod pisi izmedju inlinemath ili equation tagova.

Re: Determinanta sa sinusima i kosinusima

PostPoslato: Nedelja, 18. Februar 2018, 01:48
od Corba248
Malo se kasnije uključujem u ovu temu, ali evo još jednog načina za rešavanje ovog zadatka (pomoću osobina determinanti).
[dispmath]\begin{vmatrix}
\sin(x) & \cos(x) & \sin(x+t)\\
\sin(y) & \cos(y) & \sin(y+t)\\
\sin(z) & \cos(z) & \sin(z+t)
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
\sin(x) & \cos(x) & \sin x\cos t+\sin t\cos x\\
\sin(y) & \cos(y) & \sin y\cos t+\sin t\cos y\\
\sin(z) & \cos(z) & \sin z\cos t+\sin t\cos z
\end{vmatrix}=[/dispmath][dispmath]=\begin{vmatrix}
\sin(x) & \cos(x) & \sin x\cos t\\
\sin(y) & \cos(y) & \sin y\cos t\\
\sin(z) & \cos(z) & \sin z\cos t
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
\sin(x) & \cos(x) & \sin t\cos x\\
\sin(y) & \cos(y) & \sin t\cos y\\
\sin(z) & \cos(z) & \sin t\cos z
\end{vmatrix}=[/dispmath][dispmath]=\cos t\begin{vmatrix}
\sin(x) & \cos(x) & \sin x\\
\sin(y) & \cos(y) & \sin y\\
\sin(z) & \cos(z) & \sin z
\end{vmatrix}+\sin t\begin{vmatrix}
\sin(x) & \cos(x) & \cos x\\
\sin(y) & \cos(y) & \cos y\\
\sin(z) & \cos(z) & \cos z
\end{vmatrix}=0[/dispmath] Determinantu smo mogli razdvojiti na dve determinante na način na koji smo to i učinili zato što se one razlikuju samo po elementima jedne kolone i važi [inlmath]\sin x\cos t+\sin t\cos x=(\sin x\cos t)+(\sin t\cos x)[/inlmath]. Poslednje dve determinante su obe jednake nuli jer imaju dve iste kolone (ako je ovo uopšte trebalo napominjati).

Re: Determinanta sa sinusima i kosinusima

PostPoslato: Subota, 24. Februar 2018, 01:53
od Daniel
Čak smo već i iz oblika [inlmath]\begin{vmatrix}
\sin(x) & \cos(x) & \sin x\cos t+\sin t\cos x\\
\sin(y) & \cos(y) & \sin y\cos t+\sin t\cos y\\
\sin(z) & \cos(z) & \sin z\cos t+\sin t\cos z
\end{vmatrix}[/inlmath] mogli videti da je determinanta jednaka nuli, jer joj je treća kolona linearna kombinacija prve dve (dobije se kao zbir prve kolone pomnožene sa [inlmath]\cos t[/inlmath] i druge kolone pomnožene sa [inlmath]\sin t[/inlmath])...