Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Skupovi funkcija i podgrupe

Matrice, determinante...

Moderator: Corba248

Skupovi funkcija i podgrupe

Postod m_p_prijedor » Ponedeljak, 16. Jul 2018, 14:22

Neka je [inlmath]F[/inlmath] skup svih funkcija sa realnim vrijednostima i domenom [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] i neka je [inlmath]F'[/inlmath] podskup [inlmath]F[/inlmath] koji se sastoji iz svih funkcija koje imaju vrijednost različitu od [inlmath]0[/inlmath] za svaku vrijednost [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath]. Odluči, da li su dati podskupovi [inlmath]F[/inlmath]: (a) podgrupa [inlmath]F[/inlmath] pri sabiranju, odn. (b) podgrupa [inlmath]F'[/inlmath] pri množenju.
Dati su podskupovi: 1) podskup svih [inlmath]f\in F[/inlmath] takvih da [inlmath]f(1)=0[/inlmath]; i 2) podskup [inlmath]f\in F'[/inlmath] takvih da [inlmath]f(1)=1[/inlmath].
Iz udžbenika Johb B. Fraleigh -- A first course in abstract algebra str. 65 u mom izdanju, 15. i 16. zadatake u oblasi Subgroups.
Riješenja su za prvo pitanje a) da, b) ne; a za drugo je obrnuto; a) ne, b) da.

Znam da utvrđujem da li je nešto podgrupa grupe ako imaju isti neutralni element [inlmath]e[/inlmath], ako postoji inverz [inlmath]a[/inlmath], ako je ista binarna operacija. Međutim, svakako me zbunjuje poimanje funkcija kao grupa, jer što se grupa kao nekih [inlmath]\langle G,٭\rangle[/inlmath] tiče, tu nemam problema.

Ikakva pomoć bi dobro došla! Nadam se da nisam pogriješio mjesto temi.
 
Postovi: 5
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 2 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Skupovi funkcija i podgrupe

Postod Daniel » Utorak, 17. Jul 2018, 15:34

Potpuno ista pravila pri ispitivanju da li neka struktura predstavlja grupu važe i u ovom slučaju s funkcijama. Jednostavno, funkcije posmatraš kao elemente te strukture.
Pri tome, sabiranjem dveju funkcija [inlmath]f_1(x)[/inlmath] i [inlmath]f_2(x)[/inlmath] dobijaš novu funkciju [inlmath]f_3(x)[/inlmath], koja svaki element [inlmath]x[/inlmath] iz svog domena slika u vrednost [inlmath]f_1(x)+f_2(x)[/inlmath]. Npr. sabiranjem funkcija [inlmath]f_1(x)=\sin x[/inlmath] i [inlmath]f_2(x)=5x[/inlmath] dobija se [inlmath]f_3(x)=5x+\sin x[/inlmath]. Ovo je, ja mislim, čak i intuitivno jasno.
Slično i za množenje funkcija.

Podskup svih [inlmath]f\in F[/inlmath] takvih da je [inlmath]f(1)=0[/inlmath] jeste podgrupa grupe [inlmath](F,+)[/inlmath], jer:
  • važi zatvorenost u odnosu na sabiranje, [inlmath]\bigl(\forall f_1(x),f_2(x)\in F\bigr)\bigl(f_1(x)+f_2(x)\in F\;\land\;f_1(1)+f_2(1)=0\bigr)[/inlmath];
  • važi asocijativnost, [inlmath]\bigl(\forall f_1(x),f_2(x),f_3(x)\in F\bigr)\Bigl(f_1(x)+\bigl(f_2(x)+f_3(x)\bigl)=\bigl(f_1(x)+f_2(x)\bigl)+f_3(x)\Bigr)[/inlmath]:
  • postoji neutralni element, to je funkcija čija je vrednost na celom domenu jednaka nuli (što znači da i za jedinicu daje vrednost nula, što je uslov pripadnosti posmatranom podskupu);
  • postoji inverzni element za svaki element [inlmath]f(x)[/inlmath], to je funkcija [inlmath]-f(x)[/inlmath] (koja takođe za jedinicu daje vrednost nula).

Podskup svih [inlmath]f\in F[/inlmath] takvih da je [inlmath]f(1)=0[/inlmath] ne može imati elemente koji pripadaju skupu [inlmath]F'[/inlmath], jer [inlmath]F'[/inlmath] sadrži samo one funkcije koje ni za jednu vrednost [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] nemaju vrednost nula. Samim tim, podskup svih [inlmath]f\in F[/inlmath] takvih da je [inlmath]f(1)=0[/inlmath] ne može biti podgrupa od [inlmath]F'[/inlmath] pri bilo kojoj operaciji.

To je što se tiče dela zadatka pod 1). Da li bi sad umeo, sličnom logikom, da odgovoriš na pitanja pod 2)?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7693
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4049 puta
Pohvaljen: 4113 puta

Re: Skupovi funkcija i podgrupe

Postod m_p_prijedor » Utorak, 17. Jul 2018, 18:19

To je upravo ono što sam očekivao! Svakako da bih mogao riješiti zadatak pod 2.)
(Izvinite za kopiranje odgovora, ali je mnogo praktičnije nego li ispisivati ga cijelog :D ) Valjda je razmišljanje tačno! :lol:

Podskup svih [inlmath]f∈F'[/inlmath] takvih da je [inlmath]f(1)=1[/inlmath] jeste podgrupa grupe [inlmath]⟨F',\cdot⟩[/inlmath], jer:

---važi zatvorenost u odnosu na množenje, [inlmath](∀f_1(x),f_2(x)∈F')(f_1(x)\cdot f_2(x)∈F'∧f_1(1)⋅f_2(1)=1)[/inlmath];
---važi asocijativnost (ovo svakako mogu preuzeti i iz toga da je [inlmath]F'[/inlmath] asocijativno, po definiciji grupe);
---postoji neutralni element, to je funkcija čija je vrijednost na cijelom domenu jednaka jedinici (što znači da i za jedinicu daje vrijednost jedan, što je uslov pripadnosti posmatranom podskupu);
---postoji inverzni element za svaki element [inlmath]f(x)[/inlmath], to je funkcija [inlmath]f(x)^{-1}=\frac{1}{f(x)}[/inlmath] (koja je svakako definisana, jer ni u jednom slučaju [inlmath]f(x)[/inlmath] nije jednako [inlmath]0[/inlmath]).

Dok bi bilo sasvim dovoljno potvrditi da ne postoji neutralni element grupe [inlmath]⟨F,+⟩[/inlmath] u grupi definisanoj gore, pa da ona i nije podgrupa te grupe.
 
Postovi: 5
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 2 puta

Re: Skupovi funkcija i podgrupe

Postod Daniel » Utorak, 17. Jul 2018, 18:58

Upravo tako. :correct:
S tim, da sam ja napravio jednu grešku pri obeležavanju, a ti si je kopiranjem preneo i u svoj odgovor, ne primetivši je. :) Da kažem gde je greška, ili bi da pokušaš da je pronađeš?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7693
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4049 puta
Pohvaljen: 4113 puta

Re: Skupovi funkcija i podgrupe

Postod m_p_prijedor » Utorak, 17. Jul 2018, 19:11

Hmm, jedino ako nije stavljanje [inlmath]f_1(x)⋅f_2(x)∈F′∧f_1(1)⋅f_2(1)=1[/inlmath] u zagrade? A ako je nešto drugo, nek mi odbrana, što nisam primjetio, bude iznenađenost i nesusretanje s ovakvom vrstom matematikom :lol:
 
Postovi: 5
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 2 puta

Re: Skupovi funkcija i podgrupe

Postod Daniel » Sreda, 18. Jul 2018, 01:57

Odbrana uvažena. :mrgreen:
Nema mnogo veze sa zagradama, al' ima veze s time da umesto [inlmath]F'[/inlmath] treba zapravo da stoji onaj podskup od [inlmath]F'[/inlmath] u kojem za sve funkcije važi da je [inlmath]f(1)=1[/inlmath] (u samom skupu [inlmath]F'[/inlmath] ne mora važiti [inlmath]f_1(1)\cdot f_2(1)=1[/inlmath]).
Znači, ako bismo sa [inlmath]F'_1[/inlmath] obeležili taj podskup od [inlmath]F'[/inlmath] u kojem su sve funkcije takve da je [inlmath]f(1)=1[/inlmath], tada važi [inlmath]\bigl(\forall f_1(x),f_2(x)\in F'_1\bigr)\bigl(f_1(x)\cdot f_2(x)\in F'\;\land \;f_1(1)\cdot f_2(1)=1\bigr)[/inlmath], pri čemu je konjunkcija zapravo ekvivalentna sa [inlmath]f_1(x)\cdot f_2(x)\in F'_1[/inlmath]. Ovime je dokazana zatvorenost unutar [inlmath]F'_1[/inlmath], što je potrebno kako bi [inlmath](F'_1,\cdot)[/inlmath] bila grupa, a što je, opet, preduslov da bi ista mogla biti podgrupa od [inlmath](F',\cdot)[/inlmath].

Analogno i za [inlmath](F,+)[/inlmath], gde se za podskup [inlmath]F[/inlmath] u kojem za sve funkcije važi [inlmath]f(1)=0[/inlmath] može koristiti oznaka, recimo, [inlmath]F_0[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7693
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4049 puta
Pohvaljen: 4113 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 17. Septembar 2019, 13:15 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs