Stranica 1 od 1

Potenciranje matrice

PostPoslato: Utorak, 14. Avgust 2018, 10:09
od dr.trovacek
Pozdrav!

Zadatak s kojim imam problem:

Izračunaj [inlmath]A=\begin{bmatrix} {17} & -6\\ 35 & -12 \end{bmatrix}^5[/inlmath] uporabljujući: [inlmath]\begin{bmatrix} 17 & -6\\ 35 & -12 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 3\\ 5 & 7 \end{bmatrix} \ \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 3 \end{bmatrix} \ \begin{bmatrix} -7 & 3\\ 5 & -2 \end{bmatrix}[/inlmath]

Rješenje: [inlmath]\begin{bmatrix} 3197 & -1266\\ 7385 & -2922 \end{bmatrix}[/inlmath]

Očito nije stvar u tome da se svaki od izraza pomnoži pet puta pa da se pojedinačno dobe izrazi na petu i onda međusobno pomnože, jer tako ne dobijem ekvivalentno rješenje.

Ne razumijem točno što se traži odnosno zašto bi uopće to koristio za izračun, jer jednostavno mogu pomnožiti matrice s desne strane jednadžbe da bi dobio izraz s lijeve (početnu matricu [inlmath]A[/inlmath] koju treba potencirati) te je onda na regularan način potencirati na petu. Čini mi se da je svrha zadatka ukazati na neko svojstvo matričnog množenja :kojik:

Svaki savjet dobrodošao, hvala ! :)

Re: Potenciranje matrice

PostPoslato: Utorak, 14. Avgust 2018, 20:14
od ubavic
Uputstvo koje si dobio kaže da važi [inlmath]M=PDP^{-1}[/inlmath], gde je [inlmath]D[/inlmath] dijagonalna matrica, a [inlmath]P[/inlmath] invertibilna matrica. Iz ovoga sledi da je [inlmath]A=M^5=PD^5P^{-1}[/inlmath]. Računanje [inlmath]n[/inlmath]-tog stepena dijagonalne matrice je trivijalno, pa računanje izraza [inlmath]PD^5P^{-1}[/inlmath] ne bi trebalo da pravi problem.

Svrha zadatka je da ilustruje jednu praktičnu upotrebu dijagonalizacije matrice.

Re: Potenciranje matrice

PostPoslato: Četvrtak, 16. Avgust 2018, 19:35
od dr.trovacek
Mislim da sam shvatio.

Ovako sam rješio:

[inlmath]A^5= PDP^{-1}PDP^{-1} PDP^{-1}PDP^{-1}PDP^{-1} = PD(P^{-1}P)D(P^{-1} P)D(P^{-1}P)D(P^{-1}P)DP^{-1}=PD(I)D(I)D(I)D(I)DP^{-1} = PDP^{-1}[/inlmath]

dalje je jasno.

Hvala :thumbup:

Re: Potenciranje matrice

PostPoslato: Petak, 17. Avgust 2018, 07:55
od Daniel
dr.trovacek je napisao:[inlmath]\cdots=PD(I)D(I)D(I)D(I)DP^{-1} = P{\color{red}D}P^{-1}[/inlmath]

Ovde, naravno, umesto [inlmath]D[/inlmath] treba [inlmath]D^5[/inlmath], verovatno si samo ispustio prilikom kucanja, ali ipak valja napomenuti.

Re: Potenciranje matrice

PostPoslato: Ponedeljak, 20. Avgust 2018, 17:37
od dr.trovacek
Da, moja greška :frown: