Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Potprostor matrica

Matrice, determinante...

Moderator: Corba248

Potprostor matrica

Postod Ilija Varvarin » Četvrtak, 30. Avgust 2018, 18:17

Neka data matrica [inlmath]A\in M_n[/inlmath] ima [inlmath]n[/inlmath] različitih sopstvenih vrijednosti [inlmath]\lambda_1,\lambda_2, ... ,\lambda_n[/inlmath] i neka je
[dispmath]U=\{M\in M_n : AM=MD\}[/dispmath]
gdje je [inlmath]D=diag(\lambda_1,\lambda_2, ... ,\lambda_n)[/inlmath].
a) Dokazati da je [inlmath]U[/inlmath] vektorski potprostor prostora [inlmath]V=M_n[/inlmath] pa mu odrediti bazu i dimenziju.
b)Provjeriti da li je neka od matrica iz dobijene baze invertibilna pa reći da li se u tom poptprostoru nalazi neka invertibilna matrica.

Pošto matrice [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath] imaju iste sopstvene vrijednosti onda moraju biti slične, što znači da postoji matrica prelaska sa baze na bazu. Pretpostavio sam da matrica [inlmath]M[/inlmath] mora biti invertibilna jer bi onda ona bila matrica prelaska tj. [inlmath]M^{-1}AM=D[/inlmath], ali možda neka druga matrica može biti matrica prelaska, tako da nisam siguran u ovo što pišem.
Ali ako jeste onda nastaje problem, ne znam kako dokazati da je skup svih matrica prelaska potprostor, ako uopšte jeste.
 
Postovi: 24
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 3 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Potprostor matrica

Postod Igor » Petak, 31. Avgust 2018, 20:27

[inlmath]U[/inlmath] je vektorski potprostor od [inlmath]V[/inlmath] ako je [inlmath]\emptyset \ne U \subseteq V[/inlmath] i ako važi:
[dispmath]1)\;(\forall M, N \in U)\:(M + N) \in U[/dispmath][dispmath]2)\;(\forall p \in \mathbb{R})\:(\forall M \in U)\: p\cdot M \in U[/dispmath] Pokaži navedeno i dokazaćeš da je [inlmath]U[/inlmath] vektorski potprostor od [inlmath]V[/inlmath].
Korisnikov avatar
Igor  OFFLINE
Hiljaditi član foruma
 
Postovi: 86
Lokacija: Aranđelovac
Zahvalio se: 28 puta
Pohvaljen: 71 puta

Re: Potprostor matrica

Postod Corba248 » Subota, 01. Septembar 2018, 00:21

Najčešće se kod dokazivanja da je neka struktura vektorski potprostor nekog datog vektorskog prostora dva uslova koje je Igor naveo "sažimaju" u jedan. Dakle, samo jednostavnosti radi bi za nijansu lakše bilo odmah pokazivati da važi [inlmath](\forall M, N \in U)(\forall p, q \in \mathbb{R})\:pM + qN \in U[/inlmath].

Kako je [inlmath]A[/inlmath] kvadratna matrica reda [inlmath]n[/inlmath] koja ima [inlmath]n[/inlmath] različitih sopstvenih vrednosti ona je dijagonalizabilna, tj. postoji regularna matrica [inlmath]M[/inlmath] takva da je matrica [inlmath]D=M^{-1}\cdot A\cdot M[/inlmath] dijagonalna. Da li si na ovo mislio u svom postu?
Moderator
 
Postovi: 304
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 338 puta

Re: Potprostor matrica

Postod Ilija Varvarin » Subota, 01. Septembar 2018, 01:30

Da, na to sam mislio, loše sam se izrazio, nisam uopšte trebao koristiti termin prelaska sa baze na bazu.
I naravno da znam da trebam dokazati te dvije osobine da bi moj skup bio potprostor, ali ne znam kako dokazati da ako saberem dvije matrice iz skupa [inlmath]U[/inlmath] da ostajem u tom skupu.
 
Postovi: 24
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 3 puta

Re: Potprostor matrica

Postod Corba248 » Subota, 01. Septembar 2018, 02:26

Moguće da ja pravim neki previd.
[dispmath]A(pM+qN)=pAM+qAN=pMD+qND=(pM+qN)D\Longrightarrow pM+qN\in U[/dispmath]
Jer je [inlmath]AM=MD[/inlmath] i [inlmath]AN=ND[/inlmath] zato što [inlmath]M,N\in U[/inlmath].
Moderator
 
Postovi: 304
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 338 puta

Re: Potprostor matrica

Postod Ilija Varvarin » Subota, 01. Septembar 2018, 12:06

Ali zar ne postoji samo jedna matrica [inlmath]M[/inlmath] koja je sastavljena od sopstvenih vektora matrice [inlmath]A[/inlmath] kao kolona?
Ja sam mislio da bi matrica [inlmath]N[/inlmath] morala biti vezana za neku drugu matricu koja se može dijagonalizovati npr. [inlmath]A_2[/inlmath].
I sad da trebam dokazati da [inlmath]M+N \in U[/inlmath], ako je [inlmath]AM=MD[/inlmath] i [inlmath]A_2N=ND_2[/inlmath]
Možete li mi objasniti zašto je moje razmišljanje bilo pogrešno?
 
Postovi: 24
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 3 puta

Re: Potprostor matrica

Postod rix345 » Subota, 01. Septembar 2018, 14:02

Moje misljenje je da u skupu [inlmath]U[/inlmath] mora postojati matrica [inlmath]S[/inlmath] koja je odgovorna za prelazak sa standardne kanonske baze na bazu sopstvenih vektora. [inlmath]S[/inlmath] matrica je samim tim invertibilna. Ali imam osjecaj da se u ovom skupu nalazi i mnostvo singularnih matrica koje zadovoljavaju dati uslov skupa. Interesuje me kako izraziti matricu [inlmath]M[/inlmath] pomocu nekih vektora u obliku lineala da bi dosli do baze i dimenzije.
rix345  OFFLINE
 
Postovi: 7
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Potprostor matrica

Postod ubavic » Subota, 01. Septembar 2018, 21:10

Što se tiče ovoga što je Čorba napisao, dobro je sve, ali je potrebno dokazati još i da je skup [inlmath]U[/inlmath] neprazan. Međutim to je trivijalno, jer nula matrica pripada skupu [inlmath]U[/inlmath].

E sad, iz [inlmath]AM=MD[/inlmath] sledi da je [inlmath]A m_i = \lambda_i m_i[/inlmath] gde je [inlmath]m_i[/inlmath] kolona vektor matrice [inlmath]M[/inlmath]. Odavde sledi da je [inlmath]m_i[/inlmath] ili sopstveni vektor koji odgovara sopstvenoj vrednosti [inlmath]\lambda_i[/inlmath] ili nula vektor. Dakle potprostor [inlmath]U[/inlmath] je generisan matricama:
[dispmath]U_1 = \left[\begin{matrix} v_1 && 0 && 0 && \dots && 0 \end{matrix}\right]\\
U_2= \left[\begin{matrix} 0 && v_2 && 0 && \dots && 0\end{matrix}\right]\\ \\ \vdots\hspace{12em} \\
U_n = \left[\begin{matrix} 0 && 0 && \dots && 0 && v_n \end{matrix}\right][/dispmath]
gde je [inlmath]v_i[/inlmath] [inlmath]i[/inlmath]-ti sopstveni vektor matrice [inlmath]A[/inlmath]. Prema tome, [inlmath]\dim(U)=n[/inlmath].

rix345 je bio u pravu kada je napisao da se u prostoru [inlmath]U[/inlmath] nalazi mnoštvo singularnih matrica. Razlog ovome je, kao što vidite, činjenica da iz jednakosti [inlmath]AM=MD[/inlmath] ne sledi jednakost [inlmath]M^{-1}AM=D[/inlmath]. Naravno u prostoru [inlmath]U[/inlmath] će se naći i invertibilne matrice [inlmath]P[/inlmath] za koje važi [inlmath]P^{-1}AP=D[/inlmath].

Ilija, tebe je bunilo što si mislio da postoji jedinstvena matrica [inlmath]P[/inlmath] za koju važi [inlmath]P^{-1}AP=D[/inlmath] gde je [inlmath]D[/inlmath] fiksirana dijagonalna matrica sa sopstvenim vrednostima matrice [inlmath]A[/inlmath] na dijagonali. Međutim, ovo nije tačno, jer ni sopstveni vektori nisu u potpunosti određeni, već ih određujemo do na neku multiplikativnu konstantu različitu od nule (prostim rečima rečeno, ako je [inlmath]v_i[/inlmath] sopstveni vektor koji odgovara sopstvenoj vrednosti [inlmath]\lambda_i[/inlmath], tada je i [inlmath]av_i[/inlmath] takođe sopstveni vektor koji odgovara sopstvenoj vrednosti [inlmath]\lambda_i[/inlmath] za [inlmath]a\neq 0[/inlmath]).

@rix245: Nije mi jasno na šta misliš kad kažeš kanonska baza. Obično onu bazu u kojoj operator ima dijagonalnu (ili barem trougaonu) matricu nazivamo kanonska.

Lep zadatak.
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 529
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 348 puta
Pohvaljen: 515 puta

Re: Potprostor matrica

Postod rix345 » Nedelja, 02. Septembar 2018, 10:43

ubavic cestitam na razrjesenju zadatka veoma elegantno odradjeno i lijepo zapisano. Kada sam rekao kanonska baza mislio sam (recimo ako pricamo o bazi u [inlmath]R^3[/inlmath]) na vektore:[dispmath]\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}[/dispmath]
Moze se reci kanonska ili standardna, ona je po definiciji i ortonormirana
rix345  OFFLINE
 
Postovi: 7
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Potprostor matrica

Postod ubavic » Nedelja, 02. Septembar 2018, 11:26

Hvala :)

Za ovu bazu možda bismo mogli reći da je standardna, ali ne i ortonormirana. Baza koju si naveo nije ni ortogonalna, a ni normirana. Ovo je česta greška koja se pravi na forumu. E sad ti razmisli zašto je to tako.

Pretpostavio sam da ćeš ovo da napišeš, zato sam ti i postavio pitanje u prošlom odgovoru.
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 529
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 348 puta
Pohvaljen: 515 puta

Sledeća

Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 18. Avgust 2019, 21:20 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs