od ubavic » Nedelja, 02. Septembar 2018, 19:20
Da bi govorio u normi i o uglovima, potrebno je da definišeš skalarni proizvod. Vektorski prostori bez obzira na to da li imaju ili nemaju skalarni proizvod, imaju bazu. Prema tome, da bi govorio o ortonormiranoj bazi, potrebno je da naglasiš u odnosu na koji proizvod je ta baza ortonormirana. Skalarni proizvod nije jedinstven, i često se, u zavisnosti od problema, uzimaju različiti skalarni proizvodi. Naravno, u osnovnim razmatranjima uvek se u vektorskom prostoru [inlmath]\mathbb{R}^n[/inlmath] uzima skalarni proizvod takav da baza sačinjena od vektora
[dispmath]e_1=(1,0,\ldots,0)\\e_2=(0,1,\ldots,0)\\ \vdots\hspace{6em}\\e_n=(0,0,\ldots,1)[/dispmath] čini ortonormiranu bazu. Ali tu nastaje jedan problem, jer studenti često počinju da poistovećuju koordinate sa samim vektorima. Naime, vektori prostora [inlmath]\mathbb{R}^n[/inlmath] su uređene [inlmath]n[/inlmath]-torke realnih brojeva, baš kao i koordinate vektora. Skalarno množenje tih [inlmath]n[/inlmath]-torki nema smisla bez prethodno definisanog skalarnog proizvoda, ali gotovo uvek studenti skalarno množe komponente samih vektora misleći da su to njihove koordinate.
Možda sam te sada zbunio sa ovom pričom, ali suština je u dve stvari: ne postoji "prirodan" skalarni proizvod, i vektori nisu isto što i koordinate.
Ovo ćeš možda i sam uočiti kada počneš da koristiš malo egzotičnije skalarne proizvode (na primer proizvode u prostoru integrabilnih funkcija).