Potprostor matrica

PostPoslato: Četvrtak, 30. Avgust 2018, 18:17
od Ilija Varvarin
Neka data matrica [inlmath]A\in M_n[/inlmath] ima [inlmath]n[/inlmath] različitih sopstvenih vrijednosti [inlmath]\lambda_1,\lambda_2, ... ,\lambda_n[/inlmath] i neka je
[dispmath]U=\{M\in M_n : AM=MD\}[/dispmath]
gdje je [inlmath]D=diag(\lambda_1,\lambda_2, ... ,\lambda_n)[/inlmath].
a) Dokazati da je [inlmath]U[/inlmath] vektorski potprostor prostora [inlmath]V=M_n[/inlmath] pa mu odrediti bazu i dimenziju.
b)Provjeriti da li je neka od matrica iz dobijene baze invertibilna pa reći da li se u tom poptprostoru nalazi neka invertibilna matrica.

Pošto matrice [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath] imaju iste sopstvene vrijednosti onda moraju biti slične, što znači da postoji matrica prelaska sa baze na bazu. Pretpostavio sam da matrica [inlmath]M[/inlmath] mora biti invertibilna jer bi onda ona bila matrica prelaska tj. [inlmath]M^{-1}AM=D[/inlmath], ali možda neka druga matrica može biti matrica prelaska, tako da nisam siguran u ovo što pišem.
Ali ako jeste onda nastaje problem, ne znam kako dokazati da je skup svih matrica prelaska potprostor, ako uopšte jeste.

Re: Potprostor matrica

PostPoslato: Petak, 31. Avgust 2018, 20:27
od Igor
[inlmath]U[/inlmath] je vektorski potprostor od [inlmath]V[/inlmath] ako je [inlmath]\emptyset \ne U \subseteq V[/inlmath] i ako važi:
[dispmath]1)\;(\forall M, N \in U)\:(M + N) \in U[/dispmath][dispmath]2)\;(\forall p \in \mathbb{R})\:(\forall M \in U)\: p\cdot M \in U[/dispmath] Pokaži navedeno i dokazaćeš da je [inlmath]U[/inlmath] vektorski potprostor od [inlmath]V[/inlmath].

Re: Potprostor matrica

PostPoslato: Subota, 01. Septembar 2018, 00:21
od Corba248
Najčešće se kod dokazivanja da je neka struktura vektorski potprostor nekog datog vektorskog prostora dva uslova koje je Igor naveo "sažimaju" u jedan. Dakle, samo jednostavnosti radi bi za nijansu lakše bilo odmah pokazivati da važi [inlmath](\forall M, N \in U)(\forall p, q \in \mathbb{R})\:pM + qN \in U[/inlmath].

Kako je [inlmath]A[/inlmath] kvadratna matrica reda [inlmath]n[/inlmath] koja ima [inlmath]n[/inlmath] različitih sopstvenih vrednosti ona je dijagonalizabilna, tj. postoji regularna matrica [inlmath]M[/inlmath] takva da je matrica [inlmath]D=M^{-1}\cdot A\cdot M[/inlmath] dijagonalna. Da li si na ovo mislio u svom postu?

Re: Potprostor matrica

PostPoslato: Subota, 01. Septembar 2018, 01:30
od Ilija Varvarin
Da, na to sam mislio, loše sam se izrazio, nisam uopšte trebao koristiti termin prelaska sa baze na bazu.
I naravno da znam da trebam dokazati te dvije osobine da bi moj skup bio potprostor, ali ne znam kako dokazati da ako saberem dvije matrice iz skupa [inlmath]U[/inlmath] da ostajem u tom skupu.

Re: Potprostor matrica

PostPoslato: Subota, 01. Septembar 2018, 02:26
od Corba248
Moguće da ja pravim neki previd.
[dispmath]A(pM+qN)=pAM+qAN=pMD+qND=(pM+qN)D\Longrightarrow pM+qN\in U[/dispmath]
Jer je [inlmath]AM=MD[/inlmath] i [inlmath]AN=ND[/inlmath] zato što [inlmath]M,N\in U[/inlmath].

Re: Potprostor matrica

PostPoslato: Subota, 01. Septembar 2018, 12:06
od Ilija Varvarin
Ali zar ne postoji samo jedna matrica [inlmath]M[/inlmath] koja je sastavljena od sopstvenih vektora matrice [inlmath]A[/inlmath] kao kolona?
Ja sam mislio da bi matrica [inlmath]N[/inlmath] morala biti vezana za neku drugu matricu koja se može dijagonalizovati npr. [inlmath]A_2[/inlmath].
I sad da trebam dokazati da [inlmath]M+N \in U[/inlmath], ako je [inlmath]AM=MD[/inlmath] i [inlmath]A_2N=ND_2[/inlmath]
Možete li mi objasniti zašto je moje razmišljanje bilo pogrešno?

Re: Potprostor matrica

PostPoslato: Subota, 01. Septembar 2018, 14:02
od rix345
Moje misljenje je da u skupu [inlmath]U[/inlmath] mora postojati matrica [inlmath]S[/inlmath] koja je odgovorna za prelazak sa standardne kanonske baze na bazu sopstvenih vektora. [inlmath]S[/inlmath] matrica je samim tim invertibilna. Ali imam osjecaj da se u ovom skupu nalazi i mnostvo singularnih matrica koje zadovoljavaju dati uslov skupa. Interesuje me kako izraziti matricu [inlmath]M[/inlmath] pomocu nekih vektora u obliku lineala da bi dosli do baze i dimenzije.

Re: Potprostor matrica

PostPoslato: Subota, 01. Septembar 2018, 21:10
od ubavic
Što se tiče ovoga što je Čorba napisao, dobro je sve, ali je potrebno dokazati još i da je skup [inlmath]U[/inlmath] neprazan. Međutim to je trivijalno, jer nula matrica pripada skupu [inlmath]U[/inlmath].

E sad, iz [inlmath]AM=MD[/inlmath] sledi da je [inlmath]A m_i = \lambda_i m_i[/inlmath] gde je [inlmath]m_i[/inlmath] kolona vektor matrice [inlmath]M[/inlmath]. Odavde sledi da je [inlmath]m_i[/inlmath] ili sopstveni vektor koji odgovara sopstvenoj vrednosti [inlmath]\lambda_i[/inlmath] ili nula vektor. Dakle potprostor [inlmath]U[/inlmath] je generisan matricama:
[dispmath]U_1 = \left[\begin{matrix} v_1 && 0 && 0 && \dots && 0 \end{matrix}\right]\\
U_2= \left[\begin{matrix} 0 && v_2 && 0 && \dots && 0\end{matrix}\right]\\ \\ \vdots\hspace{12em} \\
U_n = \left[\begin{matrix} 0 && 0 && \dots && 0 && v_n \end{matrix}\right][/dispmath]
gde je [inlmath]v_i[/inlmath] [inlmath]i[/inlmath]-ti sopstveni vektor matrice [inlmath]A[/inlmath]. Prema tome, [inlmath]\dim(U)=n[/inlmath].

rix345 je bio u pravu kada je napisao da se u prostoru [inlmath]U[/inlmath] nalazi mnoštvo singularnih matrica. Razlog ovome je, kao što vidite, činjenica da iz jednakosti [inlmath]AM=MD[/inlmath] ne sledi jednakost [inlmath]M^{-1}AM=D[/inlmath]. Naravno u prostoru [inlmath]U[/inlmath] će se naći i invertibilne matrice [inlmath]P[/inlmath] za koje važi [inlmath]P^{-1}AP=D[/inlmath].

Ilija, tebe je bunilo što si mislio da postoji jedinstvena matrica [inlmath]P[/inlmath] za koju važi [inlmath]P^{-1}AP=D[/inlmath] gde je [inlmath]D[/inlmath] fiksirana dijagonalna matrica sa sopstvenim vrednostima matrice [inlmath]A[/inlmath] na dijagonali. Međutim, ovo nije tačno, jer ni sopstveni vektori nisu u potpunosti određeni, već ih određujemo do na neku multiplikativnu konstantu različitu od nule (prostim rečima rečeno, ako je [inlmath]v_i[/inlmath] sopstveni vektor koji odgovara sopstvenoj vrednosti [inlmath]\lambda_i[/inlmath], tada je i [inlmath]av_i[/inlmath] takođe sopstveni vektor koji odgovara sopstvenoj vrednosti [inlmath]\lambda_i[/inlmath] za [inlmath]a\neq 0[/inlmath]).

@rix245: Nije mi jasno na šta misliš kad kažeš kanonska baza. Obično onu bazu u kojoj operator ima dijagonalnu (ili barem trougaonu) matricu nazivamo kanonska.

Lep zadatak.

Re: Potprostor matrica

PostPoslato: Nedelja, 02. Septembar 2018, 10:43
od rix345
ubavic cestitam na razrjesenju zadatka veoma elegantno odradjeno i lijepo zapisano. Kada sam rekao kanonska baza mislio sam (recimo ako pricamo o bazi u [inlmath]R^3[/inlmath]) na vektore:[dispmath]\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}[/dispmath]
Moze se reci kanonska ili standardna, ona je po definiciji i ortonormirana

Re: Potprostor matrica

PostPoslato: Nedelja, 02. Septembar 2018, 11:26
od ubavic
Hvala :)

Za ovu bazu možda bismo mogli reći da je standardna, ali ne i ortonormirana. Baza koju si naveo nije ni ortogonalna, a ni normirana. Ovo je česta greška koja se pravi na forumu. E sad ti razmisli zašto je to tako.

Pretpostavio sam da ćeš ovo da napišeš, zato sam ti i postavio pitanje u prošlom odgovoru.

Re: Potprostor matrica

PostPoslato: Nedelja, 02. Septembar 2018, 13:36
od rix345
Ne razumijem, norma svih vektora u bazi je [inlmath]1[/inlmath]. A svi medjusobni skalarni proizvodi izmedju razlicitih vektora u bazi su jednaki [inlmath]0[/inlmath]. To bi trebalo da garantuje ortogonalnost, a duzina(norma) vektora bi trebala da garantuje ortonormiranost, zar ne?

Re: Potprostor matrica

PostPoslato: Nedelja, 02. Septembar 2018, 20:20
od ubavic
Da bi govorio u normi i o uglovima, potrebno je da definišeš skalarni proizvod. Vektorski prostori bez obzira na to da li imaju ili nemaju skalarni proizvod, imaju bazu. Prema tome, da bi govorio o ortonormiranoj bazi, potrebno je da naglasiš u odnosu na koji proizvod je ta baza ortonormirana. Skalarni proizvod nije jedinstven, i često se, u zavisnosti od problema, uzimaju različiti skalarni proizvodi. Naravno, u osnovnim razmatranjima uvek se u vektorskom prostoru [inlmath]\mathbb{R}^n[/inlmath] uzima skalarni proizvod takav da baza sačinjena od vektora
[dispmath]e_1=(1,0,\ldots,0)\\e_2=(0,1,\ldots,0)\\ \vdots\hspace{6em}\\e_n=(0,0,\ldots,1)[/dispmath] čini ortonormiranu bazu. Ali tu nastaje jedan problem, jer studenti često počinju da poistovećuju koordinate sa samim vektorima. Naime, vektori prostora [inlmath]\mathbb{R}^n[/inlmath] su uređene [inlmath]n[/inlmath]-torke realnih brojeva, baš kao i koordinate vektora. Skalarno množenje tih [inlmath]n[/inlmath]-torki nema smisla bez prethodno definisanog skalarnog proizvoda, ali gotovo uvek studenti skalarno množe komponente samih vektora misleći da su to njihove koordinate.

Možda sam te sada zbunio sa ovom pričom, ali suština je u dve stvari: ne postoji "prirodan" skalarni proizvod, i vektori nisu isto što i koordinate.
Ovo ćeš možda i sam uočiti kada počneš da koristiš malo egzotičnije skalarne proizvode (na primer proizvode u prostoru integrabilnih funkcija).

Re: Potprostor matrica

PostPoslato: Nedelja, 02. Septembar 2018, 22:47
od rix345
Vidim u cemu je problem, nismo strogo definisali euklidov prostor i onda nismo imali temelj na osnovu koga cemo zakljuciti da li je baza ortonormirana, cak nismo sem skalarnog proizvoda definisali ni normu vektora koja moze biti definisana na razne nacine. Mislim da shvatam sustinu, tj sta si htio reci.