Dokazati zapis matrice
Poslato: Subota, 29. Septembar 2018, 14:51
Neka su [inlmath]\lambda\tiny 1[/inlmath] i [inlmath]\lambda\tiny 2[/inlmath] ([inlmath]\lambda\tiny 1
\small \ne \lambda\tiny 2[/inlmath]) sopstvene vrijednosti kvadratne matrice A drugog reda. Dokazati da se matrica A moze zapisati u obliku [dispmath]A = \lambda\tiny 1 \small \cdot R \tiny 1 \small + \lambda \tiny 2 \small \cdot R \tiny 2[/dispmath], gdje matrice [inlmath]\small R \tiny 1 , \small R \tiny 2[/inlmath] zadovoljavaju uslove [dispmath]\small R\tiny 1\small ^2 = \small R\tiny 1[/dispmath] [dispmath]\small R\tiny 2\small ^2 = \small R\tiny 2[/dispmath] [dispmath]\small R\tiny 1 \small \cdot R\tiny 2 \small = 0[/dispmath] [dispmath]\small R \tiny 1 \small + R\tiny 2 \small = I[/dispmath] . Moze mi neko pomoci sa pocetnom idejom rjesavanja zadatka. Znamo da se na osnovu izracunatih sopstvenih vrijednosti matrica [inlmath]A^n[/inlmath] moze zapisati u obliku [inlmath]A^n = ( \small C\tiny 1 \small + C \tiny 2 \small ) \cdot \lambda ^n[/inlmath] za [inlmath]\small \lambda \tiny 1 \small = \lambda \tiny 2[/inlmath] i [inlmath]A^n =\small C \tiny 1 \small \cdot \lambda^n \tiny 1 \small + C\tiny2 \small \cdot \lambda^n \tiny 2[/inlmath] za [inlmath]\small \lambda \tiny 1 \small \ne \lambda \tiny 2[/inlmath].
Ako krenem sa formulom [inlmath]A^n =\small C \tiny 1 \small \cdot \lambda^n \tiny 1 \small + C\tiny2 \small \cdot \lambda^n \tiny 2[/inlmath] za [inlmath]\small \lambda \tiny 1 \small \ne \lambda \tiny 2[/inlmath] , jer mi u zadatku kaze da su razlicite sopstvene vrijednosti, rjesavam na sljedeci nacin.
Za n=1, [dispmath]\small A = C \tiny 1 \small \cdot \lambda \tiny 1 \small + C\tiny2 \small \cdot \lambda \tiny 2[/dispmath] ,iz cega slijedi [dispmath]\small C \tiny 1 \small = \frac{A - C\tiny2 \small \cdot \lambda \tiny2}{\lambda \tiny1} \small \wedge \lambda \tiny 1 \small \ne 0[/dispmath]. Nadalje, za n=2, i ubacivanjem [inlmath]\small C \tiny1[/inlmath] u ovu jednacinu, dobijamo [dispmath]\small A ^2 = C \tiny 1 \small \cdot \lambda^2 \tiny 1 \small + C\tiny2 \small \cdot \lambda^2 \tiny 2 \small \Rightarrow \small C \tiny 2 \small =\frac{A^2 -A}{\lambda^2 \tiny 2 \small - \lambda \tiny 2}[/dispmath] Vracanjem [inlmath]\small C \tiny 2[/inlmath] u izraz za [inlmath]\small C \tiny1[/inlmath] i izracunavanjem, dobijam da je [inlmath]\small C \tiny1\small = 0[/inlmath]. Nisam iskoristila nijednu osobinu matrica koja mi je data gore. Mozda imam pogresan pristup zadatku. Ako neko ima neku drugu ideju, za rjeavanje zadatka, bila bih zahvalna.
\small \ne \lambda\tiny 2[/inlmath]) sopstvene vrijednosti kvadratne matrice A drugog reda. Dokazati da se matrica A moze zapisati u obliku [dispmath]A = \lambda\tiny 1 \small \cdot R \tiny 1 \small + \lambda \tiny 2 \small \cdot R \tiny 2[/dispmath], gdje matrice [inlmath]\small R \tiny 1 , \small R \tiny 2[/inlmath] zadovoljavaju uslove [dispmath]\small R\tiny 1\small ^2 = \small R\tiny 1[/dispmath] [dispmath]\small R\tiny 2\small ^2 = \small R\tiny 2[/dispmath] [dispmath]\small R\tiny 1 \small \cdot R\tiny 2 \small = 0[/dispmath] [dispmath]\small R \tiny 1 \small + R\tiny 2 \small = I[/dispmath] . Moze mi neko pomoci sa pocetnom idejom rjesavanja zadatka. Znamo da se na osnovu izracunatih sopstvenih vrijednosti matrica [inlmath]A^n[/inlmath] moze zapisati u obliku [inlmath]A^n = ( \small C\tiny 1 \small + C \tiny 2 \small ) \cdot \lambda ^n[/inlmath] za [inlmath]\small \lambda \tiny 1 \small = \lambda \tiny 2[/inlmath] i [inlmath]A^n =\small C \tiny 1 \small \cdot \lambda^n \tiny 1 \small + C\tiny2 \small \cdot \lambda^n \tiny 2[/inlmath] za [inlmath]\small \lambda \tiny 1 \small \ne \lambda \tiny 2[/inlmath].
Ako krenem sa formulom [inlmath]A^n =\small C \tiny 1 \small \cdot \lambda^n \tiny 1 \small + C\tiny2 \small \cdot \lambda^n \tiny 2[/inlmath] za [inlmath]\small \lambda \tiny 1 \small \ne \lambda \tiny 2[/inlmath] , jer mi u zadatku kaze da su razlicite sopstvene vrijednosti, rjesavam na sljedeci nacin.
Za n=1, [dispmath]\small A = C \tiny 1 \small \cdot \lambda \tiny 1 \small + C\tiny2 \small \cdot \lambda \tiny 2[/dispmath] ,iz cega slijedi [dispmath]\small C \tiny 1 \small = \frac{A - C\tiny2 \small \cdot \lambda \tiny2}{\lambda \tiny1} \small \wedge \lambda \tiny 1 \small \ne 0[/dispmath]. Nadalje, za n=2, i ubacivanjem [inlmath]\small C \tiny1[/inlmath] u ovu jednacinu, dobijamo [dispmath]\small A ^2 = C \tiny 1 \small \cdot \lambda^2 \tiny 1 \small + C\tiny2 \small \cdot \lambda^2 \tiny 2 \small \Rightarrow \small C \tiny 2 \small =\frac{A^2 -A}{\lambda^2 \tiny 2 \small - \lambda \tiny 2}[/dispmath] Vracanjem [inlmath]\small C \tiny 2[/inlmath] u izraz za [inlmath]\small C \tiny1[/inlmath] i izracunavanjem, dobijam da je [inlmath]\small C \tiny1\small = 0[/inlmath]. Nisam iskoristila nijednu osobinu matrica koja mi je data gore. Mozda imam pogresan pristup zadatku. Ako neko ima neku drugu ideju, za rjeavanje zadatka, bila bih zahvalna.