Stranica 1 od 1

Determinanta sa binomnim koficientima

PostPoslato: Sreda, 21. Novembar 2018, 10:07
od ss_123
Treba da izracunam determinantu:
[dispmath]D_n=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & 1\\
1\choose1 & 2\choose1 & 3\choose1 & \cdots & n-2\choose1 & n-1\choose1 & n\choose1\\
0 & 2\choose2 & 3\choose2 & \cdots & n-2\choose2 & n-1\choose2 & n\choose2\\
0 & 0 & 3\choose3 & \cdots & n-2\choose3 & n-1\choose3 & n\choose3\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots& \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & n-2\choose n-2 & n-1\choose n-2 & n\choose n-2\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & n-1\choose n-1 & n\choose n-1\\
\end{vmatrix}_{n\times n}[/dispmath] Ali nemam ideju kako... Pokusavao sam da dobijem gornju trougaonu, ali nisam uspio, jer kad razvijem po prvoj koloni opet ne dobijem gornju trougaonu.

Re: Determinanta sa binomnim koficientima

PostPoslato: Subota, 24. Novembar 2018, 16:36
od Daniel
Da li ti je poznat identitet [inlmath]{n\choose n}-{n\choose n-1}+{n\choose n-2}-\cdots+(-1)^n{n\choose0}=0[/inlmath]? Taj identitet direktno sledi iz razvoja kvadrata binoma [inlmath]0=\bigl((-1)+1\bigr)^n[/inlmath].
To znači da ćeš, oduzimajući prvu vrstu od druge, nakon toga drugu od treće, nakon toga treću od četvrte itd. do poslednje, u svim [inlmath](k+1,\;k)[/inlmath] poljima (dijagonala tik ispod glavne) dobiti sve nule, tj. determinanta će biti svedena na trougaonu.
Da bi našao šta ćeš pritom dobiti na glavnoj dijagonali, opet primeni prethodni identitet, tj. [inlmath]{n\choose n-1}-{n\choose n-2}+\cdots+(-1)^{n-1}{n\choose0}={n\choose n}[/inlmath].
Dobije se vrlo lep rezultat. :)