Stranica 1 od 1

Ispitati prirodu strukture

PostPoslato: Ponedeljak, 07. Oktobar 2019, 18:24
od mihajloH
Pozdrav, u zadatku je potrebno ispitati prirodu strukture [inlmath](\mathbb{Z},\ast)[/inlmath], gde je operacija [inlmath]\ast[/inlmath] definisana sa:
[dispmath](\forall a,b\in\mathbb{R})a\ast b=a+b+ab[/dispmath] Koliko sam ja radio trebalo bi da je u pitanju komutativni monoid jer vazi: zatvorenost, asocijativnost, neutralni element i komutativnost a nema inverzni element (ili ja ne znam kako da ga pronadjem). Moze li neko da odredi inverzni element ukoliko postoji naravno, hvala mnogo unapred. Nadam se da nisam prekrsio neko pravilo. :?:

Re: Ispitati prirodu strukture

PostPoslato: Utorak, 08. Oktobar 2019, 00:33
od Daniel
Nisi, bez brige. :) Inverzni element (ako postoji) može se odrediti rešavajući jednačinu [inlmath]a\ast a^{-1}=0[/inlmath] po [inlmath]a^{-1}[/inlmath] (pošto smo, je li, prethodno pokazali da je [inlmath]0[/inlmath] neutralni element). Dakle,
[dispmath]a+a^{-1}+aa^{-1}=0\\
a^{-1}=-\frac{a}{a+1}[/dispmath] Odavde se vidi da neće za svako [inlmath]a\in\mathbb{Z}[/inlmath] važiti da [inlmath]a^{-1}\in\mathbb{Z}[/inlmath] (kontraprimer bi bio [inlmath]a=1\;\Longrightarrow\;a^{-1}=-\frac{1}{2}[/inlmath]). Pošto u opštem slučaju inverzni element ne pripada skupu [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath], sledi da data struktura nema inverzni element.

Da je kojim slučajem zadata struktura [inlmath](\mathbb{R},\ast)[/inlmath] (gde je [inlmath]\ast[/inlmath] definisana na isti način), ni tada ne bi postojao inverzni element, jer bi [inlmath]a=-1[/inlmath] bio bez svog inverznog elementa.
Međutim, struktura [inlmath](\mathbb{R}\setminus\{-1\},\ast)[/inlmath] imala bi inverzan element, jer bi tada svaki element datog skupa imao svoj inverzan element.