Stepenovanje proizvoda dvije matrice

PostPoslato: Ponedeljak, 20. Januar 2020, 21:04
od Mladjo
Dakle imam stepen proizvoda dvije matrice. U mom slucaju stepen je [inlmath]-1[/inlmath] (matrica puta matrica pa sve na [inlmath]-1[/inlmath]). Sada me interesuje, kada se oslobodim tog stepena, tj. kada stepenujem te matrice, da li one u stvari zamijene mjesta, posto znamo da kod njih komutativnost ne vazi pa nije isti rezultat ako zamijene i ako ne zamijene mjesta. I interesuje me jos, ako zamijene mjesta, da li je to zbog toga sto je stepen [inlmath]-1[/inlmath], ili je to u stvari kod svakog [inlmath]N[/inlmath]-tog stepena. Hvala puno!

Nadam se da razumijete poentu sta pitam, napisao bih ovde cijeli zadatak ali sam nov tako da ne znam bas kako to da napisem :unsure:

Re: Stepenovanje proizvoda dvije matrice

PostPoslato: Utorak, 21. Januar 2020, 02:41
od Daniel
Mladjo je napisao:kada se oslobodim tog stepena, tj. kada stepenujem te matrice, da li one u stvari zamijene mjesta, posto znamo da kod njih komutativnost ne vazi pa nije isti rezultat ako zamijene i ako ne zamijene mjesta.

Da, kod stepenovanja na [inlmath]-1[/inlmath] menjaju mesta, tj. važi [inlmath](AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}[/inlmath], što se lako i dokazuje:
Zbog toga što je [inlmath](AB)^{-1}[/inlmath] inverzna matrica matrice [inlmath]AB[/inlmath], njihov proizvod biće jednak jediničnoj matrici [inlmath]I[/inlmath],
[dispmath](AB)(AB)^{-1}=I[/dispmath] Pomnožimo obe strane sleva matricom [inlmath]A^{-1}[/inlmath]:
[dispmath]A^{-1}(AB)(AB)^{-1}=A^{-1}I[/dispmath] Primenimo asocijativnost:
[dispmath]\underbrace{\left(A^{-1}A\right)}_IB(AB)^{-1}=A^{-1}\\
B(AB)^{-1}=A^{-1}[/dispmath] Zatim na sličan način pomnožimo obe strane sleva matricom [inlmath]B^{-1}[/inlmath]:
[dispmath]\underbrace{B^{-1}B}_I(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\\
\enclose{box}{(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}[/dispmath]
Mladjo je napisao:I interesuje me jos, ako zamijene mjesta, da li je to zbog toga sto je stepen [inlmath]-1[/inlmath], ili je to u stvari kod svakog [inlmath]N[/inlmath]-tog stepena.

To ne važi za bilo koji broj. Recimo, u opštem slučaju ne važi [inlmath](AB)^2=B^2A^2[/inlmath]. Može se i pokazati:
[dispmath](AB)^2=ABAB\\
B^2A^2=BBAA[/dispmath] Pošto je u opštem slučaju [inlmath]ABAB\ne BBAA[/inlmath], sledi da je i [inlmath](AB)^2\ne B^2A^2[/inlmath].

Mladjo je napisao:Nadam se da razumijete poentu sta pitam, napisao bih ovde cijeli zadatak ali sam nov tako da ne znam bas kako to da napisem :unsure:

Objašnjeno je u tački 13. Pravilnika, tu je i uputstvo, a ako nešto treba dodatno pojasniti – tu smo.