Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Prsteni, polja, grupe

Matrice, determinante...

Moderator: Corba248

Prsteni, polja, grupe

Postod Milovan » Četvrtak, 29. Avgust 2013, 18:44

Grupa je uređeni par [inlmath](G, *)[/inlmath] nepraznog skupa [inlmath]G[/inlmath] i binarne operacije [inlmath]*[/inlmath] pri čemu su zadovoljene sledeće četiri stavke:
1) Zatvorenost binarne operacije, tj. da za svako [inlmath]a, b[/inlmath] iz [inlmath]G[/inlmath] važi [inlmath]a * b \in G[/inlmath]
2) Asocijativnost [inlmath](a*b)*c = a* (b*c)[/inlmath]
3) Postojanje jedinstvenog neutralnog elementa [inlmath]e[/inlmath] takvog da: [inlmath]a * e = e * a = a[/inlmath] za svako [inlmath]a[/inlmath] iz [inlmath]G[/inlmath]
4) Postojanje jedinstvenog inverznog elementa [inlmath]a^{-1}[/inlmath] iz [inlmath]G[/inlmath] takvog da je [inlmath]a^{-1} * a = a * {a^{-1}} = e[/inlmath]

Strukture kod kojih je zadovoljen prvi uslov nazivamo grupoidima.
Za one kod kojih važi 1) i 2) kažemo da su polugrupe.
Ako su zadovoljeni uslovi 1), 2) i 3) strukturu nazivamo monoid.

Broj elemenata grupe se naziva redom grupe, i obeležava sa [inlmath]|G|[/inlmath]. U zavisnosti od toga da li je broj elemenata konačan ili ne, razlikujemo konačne i beskonačne grupe.

Ako grupa, pored navedena četiri svojstva, poseduje i svojstvo komutativnosti: [inlmath]a*b = b*a[/inlmath], onda je zovemo Abelovom grupom.

Primer: grupa gde je binarna operacija sabiranje je, recimo, [inlmath](R, +)[/inlmath].

Primer: grupa gde je binarna operacija množenje je, recimo, ([inlmath]R^*, \cdot[/inlmath]) (gde je [inlmath]R^* = R \setminus \{0\}[/inlmath]. Uopšteno, nijedan skup koji sadrži nulu ne može biti grupa u odnosu na množenje. Sa druge strane, mora da sadrži jedinicu).

Ako se operacija u grupi [inlmath]G[/inlmath] označava kao množenje, kažemo da je zapisana multiplikativno, a jedinični element označavamo sa [inlmath]1[/inlmath].

Ako se operacija u grupi [inlmath]G[/inlmath] označava kao sabiranje, kažemo da je zapisana aditivno, jedinični element nazivamo nulom, a inverzni element obeležavamo sa [inlmath]-a[/inlmath] i zovemo ga suprotnim elementom.

Neka je [inlmath]A[/inlmath] skup sa dve operacije od kojih će jedna biti beležena aditivno, a druga multiplikativno:
[inlmath](a, b) \to a+ b[/inlmath]
[inlmath](a, b) \to ab[/inlmath]

Moguće osobine tih operacija, koje one mogu (ali ne moraju) da poseduju:
1) za svako [inlmath]a, b, c[/inlmath] iz [inlmath]A[/inlmath] važi [inlmath]a+(b+c) = (a+b) + c[/inlmath]
2) postoji element [inlmath]0 \in A[/inlmath] takav da je za svako [inlmath]a[/inlmath] ispunjeno [inlmath]a+0 = 0+a =a[/inlmath]
3) za svako [inlmath]a[/inlmath] iz ovog skupa postoji [inlmath]b[/inlmath] takvo da je [inlmath]a+b = b+a = 0[/inlmath]
4) za svaka dva elementa [inlmath]a, b[/inlmath] važi [inlmath]a+b = b+a[/inlmath]
5) za svako [inlmath]a, b, c[/inlmath] iz [inlmath]A[/inlmath] važi [inlmath]a(bc) = (ab) c[/inlmath]
6) postoji element [inlmath]1 \in A[/inlmath] takav da je za svako [inlmath]a[/inlmath] ispunjeno [inlmath]a1 = 1a =a[/inlmath]
7) za svako nenulto [inlmath]a[/inlmath] iz ovog skupa postoji [inlmath]b[/inlmath] takvo da je [inlmath]ab = ba = 1[/inlmath]
8) za svaka dva elementa [inlmath]a, b[/inlmath] važi [inlmath]ab = ba[/inlmath]
9) za svaka tri elementa [inlmath]a, b, c[/inlmath] važi [inlmath](a+b)c = ac + bc[/inlmath] i [inlmath]a(b+c) =ab + ac[/inlmath]

1) i 5) opisuju asocijativnost, 2) i 6) postojanje neutralnog elementa, 3) i 7) inverznog elementa, 4) i 8) se odnose na komutativnost, sve to i za množenje i za sabiranje.
U poslednjoj, stavci 9, ove operacije su povezane preko distributivnosti.

Ako je od navedenih uslova zadovoljeno prvih 5 i 9-i, onda za strukturu [inlmath](A, +, \cdot)[/inlmath] kažemo da je prsten.
Prsten koji zadovoljava uslov 6) je prsten sa jedinicom.
Prsten koji zadovoljava uslov 8) je komutativan prsten.

Ako struktura ispunjava sve uslove osim 8-og, nazivamo je telom.
Ako je ispunjeno svih 9 uslova, onda struktura predstavlja polje (komutativno telo).

Nešto kraće zapisano, polje možemo definisati na sledeći način:
Strukturu [inlmath](A, +, \cdot)[/inlmath] nazivamo poljem ako su zadovoljeni sledeći aksiomi:
1) Par [inlmath](A, +)[/inlmath] je Abelova grupa čiji je neutralni element [inlmath]0[/inlmath]
2) Par [inlmath](A, \cdot)[/inlmath] je Abelova grupa čiji je neutralni element [inlmath]1[/inlmath]
3) Za svako [inlmath]a, b, c \in A[/inlmath] važi zakon distribucije [inlmath]a \cdot (b+ c) = a \cdot b + a \cdot c[/inlmath]

Primer: skup realnih brojeva sa operacijama sabiranja i množenja čini polje.
Korisnikov avatar
Milovan  OFFLINE
 
Postovi: 568
Zahvalio se: 356 puta
Pohvaljen: 697 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Prsteni, polja, grupe

Postod Onomatopeja » Petak, 21. Avgust 2015, 19:26

Zao mi je sto moram da ispravljam ovakav post, gde se neko svojski potrudio, ali ipak savest mi ne daje da predjem preko nekih stvari. Naime, na kraju postoji jedna mala izmena. Uslov 2) bi trebalo da glasi: 2) Par [inlmath](A\setminus\{0\},⋅)[/inlmath] je Abelova grupa čiji je neutralni element [inlmath]1[/inlmath]. Takodje, obicno (da ne kazem uvek) se zahteva da je [inlmath]1\neq0[/inlmath] (odnosno, da je neutral za mnozenje razlicit od neutrala za sabiranje). Ovo ne sledi iz datih aksioma polja, ali ukoliko bi se desio slucaj [inlmath]1=0[/inlmath], onda bismo za svaki element [inlmath]a\in A[/inlmath] imali [inlmath]a=a\cdot1=a\cdot0=0[/inlmath], odnosno [inlmath]A[/inlmath] kao skup bi bilo samo [inlmath]\{0\}[/inlmath], sto je poprilicno trivijalan primer polja. Da se neko ne bi pobunio, [inlmath]a\cdot0=0[/inlmath] sledi iz aksioma polja, jer je [inlmath]a\cdot0=a\cdot(1-1)=a\cdot1-a\cdot1=a-a=0[/inlmath].
Poslednji put menjao desideri dana Petak, 21. Avgust 2015, 23:55, izmenjena samo jedanput
Razlog: ispravka slovne greške u kucanju.
 
Postovi: 595
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 563 puta

Re: Prsteni, polja, grupe

Postod Daniel » Petak, 21. Avgust 2015, 23:56

Da, definitivno je to izostavio, budući da je prethodno, pod tačkom 7, ispravno naveo postojanje inverznog elementa u odnosu na množenje za sve elemente osim za nulu,
Milovan je napisao:7) za svako nenulto [inlmath]a[/inlmath] iz ovog skupa postoji [inlmath]b[/inlmath] takvo da je [inlmath]ab = ba = 1[/inlmath]

a kada bi važilo ovo što je kasnije napisao pod 2), da je [inlmath]\left(A,\cdot\right)[/inlmath] Abelova grupa, to bi značilo da svaki element skupa [inlmath]A[/inlmath], uključujući i nulu (koja takođe pripada tom skupu), mora imati svoj inverzni element u odnosu na množenje. Znači, time je, da se tako izrazim, „pooštrio“ uslov da bi struktura bila polje.



Nego, ako može malo detaljnije ovaj deo:
Onomatopeja je napisao:Da se neko ne bi pobunio, [inlmath]a\cdot0=0[/inlmath] sledi iz aksioma polja, jer je [inlmath]a\cdot0=a\cdot(1-1)=a\cdot1-a\cdot1=a-a=0[/inlmath].

Operacija „[inlmath]-[/inlmath]“ se ne pominje u aksiomama polja. Mi možemo reći da jedinica ima svoj inverzni element u odnosu na sabiranje koji ćemo obeležiti sa [inlmath]-1[/inlmath], tj. [inlmath]0=1+\left(-1\right)[/inlmath], i tada je
[dispmath]a\cdot0=a\cdot\big(1+\left(-1\right)\big)=a\cdot1+a\cdot\left(-1\right)=a+a\cdot\left(-1\right)[/dispmath]
Međutim, na osnovu čega zaključujemo da je [inlmath]a\cdot\left(-1\right)[/inlmath] jednako [inlmath]-a[/inlmath], gde je [inlmath]-a[/inlmath] inverzni element elementa [inlmath]a[/inlmath] u odnosu na sabiranje?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7735
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4060 puta
Pohvaljen: 4122 puta

Re: Prsteni, polja, grupe

Postod Onomatopeja » Subota, 22. Avgust 2015, 09:19

Slazem se da je prethodno bila samo greska u kucanju, tj. nisam ja dovoljno dobro obratio paznju. I da, to je razlog zbog cega ne zelimo nulu u multiplikativnoj grupi.

Takodje, da, po defaultu mi nemamo unapred definisanu unarnu opereciju „[inlmath]-[/inlmath]“, ali kao sto si i rekao, mozemo se dogovoriti da sa njom obelezavamo operaciju nalazenja inverza datog elementa grupe. Isto tako, vidim da koristis zagrade (tj. da zelis da budes formalan), te tako i kad sam ja pisao [inlmath]1-1[/inlmath] ja sam pod ovim podrazumevao [inlmath]1+(-1)[/inlmath]. Ali jednostavno u jednom trenutku napravimo "dogovor" o brisanju zagrada da bismo skratili zapise.

Da vazi [inlmath]a\cdot(-1)=-a[/inlmath] se izvodi iz aksioma polja. Distributivnost tu ima najvecu ulogu. Naime, iz [inlmath]\big(1+(-1)\big)\cdot x=0\cdot x=0[/inlmath] dobijamo [inlmath]x+(-1)x=0[/inlmath], pa je [inlmath](-1)x[/inlmath] inverz u odnosu na sabiranje za [inlmath]x[/inlmath], tj. vazi [inlmath](-1)x=-x[/inlmath]. Takodje, ako smo jos vece cepidlake (a uvek bi trebali da tezimo ka tome, bar u matematici), neko ce reci otkud nam [inlmath]0\cdot x=0[/inlmath]? Pa hajde da to ostavimo za vezbu (hint: distributivni zakon, [inlmath]0=0+0[/inlmath]).
 
Postovi: 595
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 563 puta

  • +1

Re: Prsteni, polja, grupe

Postod Onomatopeja » Subota, 22. Avgust 2015, 09:31

Sad vidim da sam se malo zavrteo u krug, jer sam u svom prvom postu pokazivao [inlmath]a\cdot0=0[/inlmath] koristeci [inlmath](-1)a=-a[/inlmath], a u prethodnom sam pokazao [inlmath](-1)a=-a[/inlmath] koristeci [inlmath]a\cdot0[/inlmath]. Meni je bar smesno. Kako god, hajde da utvrdim pravi put: pokazuje se prvo [inlmath]a\cdot0=0[/inlmath], a onda [inlmath](-1)a=-a[/inlmath]. Mada mi onda ovo [inlmath](-1)a=-a[/inlmath] i nije potrebno, ali dobro. Zakomplikovao sam, al sve je to igrarija.

Ajde Jovo nanovo, da ne bismo imali sumnjicave (sto podrzavam). Prvo, [inlmath]a\cdot0=0[/inlmath] sledi iz [inlmath]a\cdot0=a\cdot(0+0)=a\cdot0+a\cdot0[/inlmath], pa je i [inlmath]0=a\cdot0+\big(-(a\cdot0)\big)=a\cdot0+a\cdot0+\big(-(a\cdot0)\big)[/inlmath], tj. [inlmath]0=a\cdot0[/inlmath]. Zato ako imamo [inlmath]1=0[/inlmath] dobijamo [inlmath]a=a\cdot1=a\cdot0=0[/inlmath].

A sada odavde (tj. [inlmath]a\cdot0=0[/inlmath]) mozemo izvesti [inlmath](-1)\cdot a=-a[/inlmath]. Ende.
 
Postovi: 595
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 563 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 21. Oktobar 2019, 17:28 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs