Grupa je uređeni par [inlmath](G, *)[/inlmath] nepraznog skupa [inlmath]G[/inlmath] i binarne operacije [inlmath]*[/inlmath] pri čemu su zadovoljene sledeće četiri stavke:
1) Zatvorenost binarne operacije, tj. da za svako [inlmath]a, b[/inlmath] iz [inlmath]G[/inlmath] važi [inlmath]a * b \in G[/inlmath]
2) Asocijativnost [inlmath](a*b)*c = a* (b*c)[/inlmath]
3) Postojanje jedinstvenog neutralnog elementa [inlmath]e[/inlmath] takvog da: [inlmath]a * e = e * a = a[/inlmath] za svako [inlmath]a[/inlmath] iz [inlmath]G[/inlmath]
4) Postojanje jedinstvenog inverznog elementa [inlmath]a^{-1}[/inlmath] iz [inlmath]G[/inlmath] takvog da je [inlmath]a^{-1} * a = a * {a^{-1}} = e[/inlmath]
Strukture kod kojih je zadovoljen prvi uslov nazivamo grupoidima.
Za one kod kojih važi 1) i 2) kažemo da su polugrupe.
Ako su zadovoljeni uslovi 1), 2) i 3) strukturu nazivamo monoid.
Broj elemenata grupe se naziva redom grupe, i obeležava sa [inlmath]|G|[/inlmath]. U zavisnosti od toga da li je broj elemenata konačan ili ne, razlikujemo konačne i beskonačne grupe.
Ako grupa, pored navedena četiri svojstva, poseduje i svojstvo komutativnosti: [inlmath]a*b = b*a[/inlmath], onda je zovemo Abelovom grupom.
Primer: grupa gde je binarna operacija sabiranje je, recimo, [inlmath](R, +)[/inlmath].
Primer: grupa gde je binarna operacija množenje je, recimo, ([inlmath]R^*, \cdot[/inlmath]) (gde je [inlmath]R^* = R \setminus \{0\}[/inlmath]. Uopšteno, nijedan skup koji sadrži nulu ne može biti grupa u odnosu na množenje. Sa druge strane, mora da sadrži jedinicu).
Ako se operacija u grupi [inlmath]G[/inlmath] označava kao množenje, kažemo da je zapisana multiplikativno, a jedinični element označavamo sa [inlmath]1[/inlmath].
Ako se operacija u grupi [inlmath]G[/inlmath] označava kao sabiranje, kažemo da je zapisana aditivno, jedinični element nazivamo nulom, a inverzni element obeležavamo sa [inlmath]-a[/inlmath] i zovemo ga suprotnim elementom.
Neka je [inlmath]A[/inlmath] skup sa dve operacije od kojih će jedna biti beležena aditivno, a druga multiplikativno:
[inlmath](a, b) \to a+ b[/inlmath]
[inlmath](a, b) \to ab[/inlmath]
Moguće osobine tih operacija, koje one mogu (ali ne moraju) da poseduju:
1) za svako [inlmath]a, b, c[/inlmath] iz [inlmath]A[/inlmath] važi [inlmath]a+(b+c) = (a+b) + c[/inlmath]
2) postoji element [inlmath]0 \in A[/inlmath] takav da je za svako [inlmath]a[/inlmath] ispunjeno [inlmath]a+0 = 0+a =a[/inlmath]
3) za svako [inlmath]a[/inlmath] iz ovog skupa postoji [inlmath]b[/inlmath] takvo da je [inlmath]a+b = b+a = 0[/inlmath]
4) za svaka dva elementa [inlmath]a, b[/inlmath] važi [inlmath]a+b = b+a[/inlmath]
5) za svako [inlmath]a, b, c[/inlmath] iz [inlmath]A[/inlmath] važi [inlmath]a(bc) = (ab) c[/inlmath]
6) postoji element [inlmath]1 \in A[/inlmath] takav da je za svako [inlmath]a[/inlmath] ispunjeno [inlmath]a1 = 1a =a[/inlmath]
7) za svako nenulto [inlmath]a[/inlmath] iz ovog skupa postoji [inlmath]b[/inlmath] takvo da je [inlmath]ab = ba = 1[/inlmath]
8) za svaka dva elementa [inlmath]a, b[/inlmath] važi [inlmath]ab = ba[/inlmath]
9) za svaka tri elementa [inlmath]a, b, c[/inlmath] važi [inlmath](a+b)c = ac + bc[/inlmath] i [inlmath]a(b+c) =ab + ac[/inlmath]
1) i 5) opisuju asocijativnost, 2) i 6) postojanje neutralnog elementa, 3) i 7) inverznog elementa, 4) i 8) se odnose na komutativnost, sve to i za množenje i za sabiranje.
U poslednjoj, stavci 9, ove operacije su povezane preko distributivnosti.
Ako je od navedenih uslova zadovoljeno prvih 5 i 9-i, onda za strukturu [inlmath](A, +, \cdot)[/inlmath] kažemo da je prsten.
Prsten koji zadovoljava uslov 6) je prsten sa jedinicom.
Prsten koji zadovoljava uslov 8) je komutativan prsten.
Ako struktura ispunjava sve uslove osim 8-og, nazivamo je telom.
Ako je ispunjeno svih 9 uslova, onda struktura predstavlja polje (komutativno telo).
Nešto kraće zapisano, polje možemo definisati na sledeći način:
Strukturu [inlmath](A, +, \cdot)[/inlmath] nazivamo poljem ako su zadovoljeni sledeći aksiomi:
1) Par [inlmath](A, +)[/inlmath] je Abelova grupa čiji je neutralni element [inlmath]0[/inlmath]
2) Par [inlmath](A, \cdot)[/inlmath] je Abelova grupa čiji je neutralni element [inlmath]1[/inlmath]
3) Za svako [inlmath]a, b, c \in A[/inlmath] važi zakon distribucije [inlmath]a \cdot (b+ c) = a \cdot b + a \cdot c[/inlmath]
Primer: skup realnih brojeva sa operacijama sabiranja i množenja čini polje.