Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Matrične jednadžbe

Matrice, determinante...

Moderator: Corba248

Matrične jednadžbe

Postod eseper » Četvrtak, 10. Oktobar 2013, 19:23

Odredite rješenje matrične jednadžbe
[dispmath]AXB=C[/dispmath]
ako je[dispmath]A=\left[\begin{matrix}
1 & 3 \\
-3 & 1
\end{matrix}\right],\;B=\left[\begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & 5
\end{matrix}\right],\;C=\left[\begin{matrix}
3 & 2 \\
0 & 5
\end{matrix}\right][/dispmath]


Nako sređivanja, jednadžba izgleda ovako: [dispmath]X=A^{-1}\cdot B^{-1}\cdot C[/dispmath]
Sada treba izračunati inverz matrica [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] te potom sve to uvrstiti i izmnožiti. Radio sam preko determinanti i dobio sljedeće:
[dispmath]A^{-1}=\frac{1}{10}\left[\begin{matrix}
1 & -3 \\
3 & 1
\end{matrix}\right][/dispmath]
[dispmath]B^{-1}=\frac{1}{5}\left[\begin{matrix}
5 & 0 \\
0 & 1
\end{matrix}\right][/dispmath]
To uvrstim u sređeni izraz jednadžbe i imam ovo:
[dispmath]X=\frac{1}{50}\left[\begin{matrix}1 & -3 \\ 3 & 1 \end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}5 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}
3 & 2 \\
0 & 5
\end{matrix}\right][/dispmath]
Potom sam izmnožio prvu i drugu matricu
[dispmath]X=\frac{1}{50}\left[\begin{matrix}1\cdot 5+(-3)\cdot 0 & 1\cdot 0 +(-3)\cdot 1 \\ 3\cdot 5+1\cdot 0 & 3\cdot 0+1\cdot 1 \end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}
3 & 2 \\
0 & 5
\end{matrix}\right][/dispmath]
pa je to
[dispmath]X=\frac{1}{50}\left[\begin{matrix}5 & -3 \\ 15 & 1 \end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}
3 & 2 \\
0 & 5
\end{matrix}\right][/dispmath]
i njih izmnožim po istom principu.

Kao rezultat dobio sam
[dispmath]X=\frac{1}{50}\left[\begin{matrix}15 & -5 \\ 45 & 35 \end{matrix}\right][/dispmath]
ali to nije točno. Ispravno bi bilo
[dispmath]X=\frac{1}{50}\left[\begin{matrix}15 & -13 \\ 45 & 11 \end{matrix}\right][/dispmath]
Gdje grješim? Sam ne mogu otkriti :)
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Matrične jednadžbe

Postod Milovan » Četvrtak, 10. Oktobar 2013, 19:58

Nije svejedno sa koje strane množiš, matrice nisu komutativne u opštem slučaju. Svakako, celu jednačinu množiš sa [inlmath]A^{-1}[/inlmath] i [inlmath]B^{-1}[/inlmath], ali prvim sa leve, a drugim sa desne strane.

Otuda je [inlmath]X= A^{-1} C B^{-1}[/inlmath]
Korisnikov avatar
Milovan  OFFLINE
 
Postovi: 568
Zahvalio se: 356 puta
Pohvaljen: 697 puta

Re: Matrične jednadžbe

Postod eseper » Četvrtak, 10. Oktobar 2013, 20:39

Milovan je napisao:Nije svejedno sa koje strane množiš, matrice nisu komutativne u opštem slučaju.

S ovim sam se još ranije upoznao, ali nije mi jasno zašto baš
[dispmath]X=A^{-1}CB^{-1}[/dispmath]
a ne
[dispmath]X=A^{-1}\cdot B^{-1}\cdot C[/dispmath]
Zbog toga što je u početnoj jednadžbi [inlmath]X[/inlmath] u sredini, pa onda mora biti i [inlmath]C[/inlmath] ili?
Može li malo detaljnije objašnjenje da ne bih ubuduće grješio na ovome ;)
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

  • +1

Re: Matrične jednadžbe

Postod Daniel » Četvrtak, 10. Oktobar 2013, 20:52

Početna jednačina ti je, dakle, glasila
[dispmath]AXB=C[/dispmath]
Kako bi prvo eliminisao [inlmath]A[/inlmath] na levoj strani, moraš [inlmath]A^{-1}[/inlmath] pomnožiti levom stranom, a da ne bi narušio jednakost, moraš takođe [inlmath]A^{-1}[/inlmath] pomnožiti i desnom stranom:
[dispmath]\cancel{A^{-1}}\cancel AXB=A^{-1}C[/dispmath]
[dispmath]XB=A^{-1}C[/dispmath]
Vrlo je bitan redosled množenja, zbog toga što ne važi komutativnost. Znači, da si levu stranu jednačine množio sa [inlmath]A^{-1}[/inlmath], dobio bi na levoj strani [inlmath]AXBA^{-1}[/inlmath] i s time ništa ne bi mogao da uradiš.
Pošto si eliminisao [inlmath]A[/inlmath], sada treba eliminisati i [inlmath]B[/inlmath]. Da bi to postigao, pošto je [inlmath]B[/inlmath] krajnji desni činilac, ovaj put radiš obrnuto u odnosu na slučaj eliminacije [inlmath]A[/inlmath] – sada množiš levu stranu jednačine sa [inlmath]B^{-1}[/inlmath], a istovremeno i desnu:
[dispmath]X\cancel B\cancel{B^{-1}}=A^{-1}CB^{-1}[/dispmath]
i ostaje
[dispmath]X=A^{-1}CB^{-1}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel   ONLINE
Administrator
 
Postovi: 7681
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Re: Matrične jednadžbe

Postod eseper » Četvrtak, 10. Oktobar 2013, 21:00

Hvala, sada mi je (nadam se) jasno :)
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Re: Matrične jednadžbe

Postod eseper » Subota, 12. Oktobar 2013, 12:10

Da li je matrična jednadžba
[dispmath](AXB)^{-1}=B^{-1}\left(X^{-1}+B\right)[/dispmath]
ispravno sređena:
[dispmath]X=B^{-1}\left(A^{-1}-I\right)[/dispmath]
:?:
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Re: Matrične jednadžbe

Postod eseper » Subota, 12. Oktobar 2013, 15:08

Kako bismo sredili ovu:
[dispmath](AXB)^{-1}+A^TB^2+B^{-1}X^{-1}=0[/dispmath]
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

  • +1

Re: Matrične jednadžbe

Postod Daniel » Nedelja, 13. Oktobar 2013, 13:51

eseper je napisao:Da li je matrična jednadžba
[dispmath](AXB)^{-1}=B^{-1}\left(X^{-1}+B\right)[/dispmath]
ispravno sređena:
[dispmath]X=B^{-1}\left(A^{-1}-I\right)[/dispmath]

:techie-error: Tačno rešenje je [inlmath]X=\left(A^{-1}-I\right)B^{-1}[/inlmath], pa, kada bi za množenje matrica važila komutativnost, onda bi i tvoje rešenje bilo tačno; ali, komutativnost za množenje ne važi.

Evo postupka:[dispmath]\left(AXB\right)^{-1}=B^{-1}\left(X^{-1}+B\right)[/dispmath][dispmath]\cancelto{I}{\left(AXB\right)\left(AXB\right)^{-1}}=\left(AXB\right)B^{-1}\left(X^{-1}+B\right)[/dispmath][dispmath]I=AX\cancelto{I}{\left(BB^{-1}\right)}\left(X^{-1}+B\right)[/dispmath][dispmath]I=A\cancelto{I}{XX^{-1}}+AXB[/dispmath][dispmath]AXB=I-A[/dispmath][dispmath]\cancelto{I}{A^{-1}A}XB=A^{-1}\left(I-A\right)[/dispmath][dispmath]XB=A^{-1}-\cancelto{I}{A^{-1}A}[/dispmath][dispmath]XB=A^{-1}-I[/dispmath][dispmath]X\cancelto{I}{BB^{-1}}=\left(A^{-1}-I\right)B^{-1}[/dispmath][dispmath]X=\left(A^{-1}-I\right)B^{-1}[/dispmath]


Drugi način:[dispmath]\left(AXB\right)^{-1}=B^{-1}\left(X^{-1}+B\right)[/dispmath][inlmath]\left(AXB\right)^{-1}=B^{-1}\left(AX\right)^{-1}=B^{-1}\left(X^{-1}A^{-1}\right)=B^{-1}X^{-1}A^{-1}[/inlmath][dispmath]\cancel{B^{-1}}X^{-1}A^{-1}=\cancel{B^{-1}}\left(X^{-1}+B\right)[/dispmath][dispmath]X^{-1}A^{-1}=X^{-1}+B[/dispmath][dispmath]X^{-1}A^{-1}-X^{-1}=B[/dispmath][dispmath]X^{-1}\left(A^{-1}-I\right)=B[/dispmath][dispmath]\cancelto{I}{XX^{-1}}\left(A^{-1}-I\right)=XB[/dispmath][dispmath]A^{-1}-I=XB[/dispmath][dispmath]\left(A^{-1}-I\right)B^{-1}=X\cancelto{I}{BB^{-1}}[/dispmath][dispmath]X=\left(A^{-1}-I\right)B^{-1}[/dispmath]


Provera:[dispmath]\left(AXB\right)^{-1}=B^{-1}\left(X^{-1}+B\right)[/dispmath][dispmath]\left\{A\left[\left(A^{-1}-I\right)B^{-1}\right]B\right\}^{-1}=B^{-1}\left\{\left[\left(A^{-1}-I\right)B^{-1}\right]^{-1}+B\right\}[/dispmath][dispmath]\left[A\left(A^{-1}-I\right)\cancelto{I}{\left(B^{-1}B\right)}\right]^{-1}=B^{-1}\left[B\left(A^{-1}-I\right)^{-1}+B\right][/dispmath][dispmath]\left[A\left(A^{-1}-I\right)\right]^{-1}=\cancelto{I}{B^{-1}B}\left[\left(A^{-1}-I\right)^{-1}+I\right][/dispmath][dispmath]\left(A^{-1}-I\right)^{-1}A^{-1}=\left(A^{-1}-I\right)^{-1}+I[/dispmath][dispmath]\left(A^{-1}-I\right)^{-1}A^{-1}-\left(A^{-1}-I\right)^{-1}=I[/dispmath][dispmath]\cancelto{I}{\left(A^{-1}-I\right)^{-1}\left(A^{-1}-I\right)}=I[/dispmath][dispmath]I=I[/dispmath]
eseper je napisao:Kako bismo sredili ovu:
[dispmath](AXB)^{-1}+A^TB^2+B^{-1}X^{-1}=0[/dispmath]

[dispmath]\left(AXB\right)\left[\left(AXB\right)^{-1}+A^TB^2+B^{-1}X^{-1}\right]=\cancelto{0}{\left(AXB\right)0}[/dispmath][dispmath]\cancelto{I}{\left(AXB\right)\left(AXB\right)^{-1}}+AXBA^TB^2+AX\cancelto{I}{\left(BB^{-1}\right)}X^{-1}=0[/dispmath][dispmath]I+AXBA^TB^2+A\cancelto{I}{XX^{-1}}=0[/dispmath][dispmath]I+AXBA^TB^2+A=0[/dispmath][dispmath]AXBA^TB^2=-A-I[/dispmath][dispmath]\cancelto{I}{A^{-1}A}XBA^TB^2=A^{-1}\left(-A-I\right)[/dispmath][dispmath]XBA^TB^2=-\cancelto{I}{A^{-1}A}-A^{-1}[/dispmath][dispmath]XBA^TB^2=-I-A^{-1}[/dispmath][dispmath]X\cancelto{I}{BA^TB^2\left(BA^TB^2\right)^{-1}}=\left(-I-A^{-1}\right)\left(BA^TB^2\right)^{-1}[/dispmath][dispmath]X=\left(-I-A^{-1}\right)\left(BA^TB^2\right)^{-1}[/dispmath]


Drugi način:[dispmath]\left(AXB\right)^{-1}+A^TB^2+B^{-1}X^{-1}=0[/dispmath][inlmath]\left(AXB\right)^{-1}=B^{-1}\left(AX\right)^{-1}=B^{-1}\left(X^{-1}A^{-1}\right)=B^{-1}X^{-1}A^{-1}[/inlmath][dispmath]B^{-1}X^{-1}A^{-1}+A^TB^2+B^{-1}X^{-1}=0[/dispmath][dispmath]B^{-1}X^{-1}A^{-1}+B^{-1}X^{-1}=-A^TB^2[/dispmath][dispmath]B^{-1}X^{-1}\left(A^{-1}+I\right)=-A^TB^2[/dispmath][dispmath]\cancelto{I}{BB^{-1}}X^{-1}\left(A^{-1}+I\right)=-BA^TB^2[/dispmath][dispmath]\cancelto{I}{XX^{-1}}\left(A^{-1}+I\right)=-XBA^TB^2[/dispmath][dispmath]XBA^TB^2=-A^{-1}-I[/dispmath][dispmath]X\cancelto{I}{BA^TB^2\left(BA^TB^2\right)^{-1}}=\left(-A^{-1}-I\right)\left(BA^TB^2\right)^{-1}[/dispmath][dispmath]X=\left(-A^{-1}-I\right)\left(BA^TB^2\right)^{-1}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel   ONLINE
Administrator
 
Postovi: 7681
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Re: Matrične jednadžbe

Postod eseper » Utorak, 22. Oktobar 2013, 09:18

[dispmath]X^{-1}A-BX^{-1}A=C^2+B^T[/dispmath]
Dobro sređena?
[dispmath]X=\left(C^2A^{-1}+B^TA^{-1}\right)^{-1}(I-B)[/dispmath]
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

  • +1

Re: Matrične jednadžbe

Postod Daniel » Utorak, 22. Oktobar 2013, 11:36

Jeste, samo, ja bih to još malo doterao:[dispmath]X=\left[\left(C^2+B^T\right)A^{-1}\right]^{-1}\left(I-B\right)[/dispmath][dispmath]X=\left[\left(A^{-1}\right)^{-1}\left(C^2+B^T\right)^{-1}\right]\left(I-B\right)[/dispmath][dispmath]X=A\left(C^2+B^T\right)^{-1}\left(I-B\right)[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel   ONLINE
Administrator
 
Postovi: 7681
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Sledeća

Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 20. Avgust 2019, 01:21 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs