Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Matrične jednadžbe

Matrice, determinante...

Moderator: Corba248

Re: Matrične jednadžbe

Postod eseper » Petak, 22. Novembar 2013, 12:12

Odrediti rješenje jednadžbe
[dispmath]AX^{-1}B+AX^{-1}=C^TB^2[/dispmath]
[dispmath]A=\left[\begin{matrix}
2 & 5 \\
1 & 3
\end{matrix}\right],\;B=\left[\begin{matrix}
1 & 2 \\
0 & 1
\end{matrix}\right],\;C=\left[\begin{matrix}
2 & -3 \\
1 & -2
\end{matrix}\right][/dispmath]
Nakon sređivanja dobijem [dispmath]X=(B+I)\left(A^{-1}C^TB^2\right)^{-1}[/dispmath]
[dispmath]B+I=\left[\begin{matrix}
2 & 2 \\
0 & 2
\end{matrix}\right][/dispmath]
[dispmath]C^T=\left[\begin{matrix}
2 & 1 \\
-3 & -2
\end{matrix}\right][/dispmath]
[dispmath]B^2=\left[\begin{matrix}
1 & 4 \\
0 & 1
\end{matrix}\right][/dispmath]
[dispmath]A^{-1}=\left[\begin{matrix}
3 & -5 \\
-1 & 2
\end{matrix}\right][/dispmath]
[dispmath]A^{-1}C^T=\left[\begin{matrix}
21 & 13 \\
-8 & -5
\end{matrix}\right][/dispmath]
[dispmath]A^{-1}C^TB^2=\left[\begin{matrix}
21 & 97 \\
-8 & -37
\end{matrix}\right][/dispmath]
[dispmath]\left(A^{-1}C^TB^2\right)^{-1}=\left[\begin{matrix}
37 & -97 \\
8 & 21
\end{matrix}\right][/dispmath]
[dispmath]X=\left[\begin{matrix}
2 & 1 \\
-3 & -2
\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}
37 & -97 \\
8 & 21
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
82 & -173 \\
-127 & 249
\end{matrix}\right][/dispmath]
Sumnjam da je točno rješenje :?
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Matrične jednadžbe

Postod Daniel » Petak, 22. Novembar 2013, 19:03

eseper je napisao:Nakon sređivanja dobijem [dispmath]X=(B+I)\left(A^{-1}C^TB^2\right)^{-1}[/dispmath]

Ja ne dobijem to. Evo kako sam ja radio:[dispmath]AX^{-1}B+AX^{-1}=C^T B^2[/dispmath][dispmath]AX^{-1}\left(B+I\right)=C^T B^2[/dispmath][dispmath]\underbrace{A^{-1}A}_IX^{-1}\left(B+I\right)=A^{-1}C^T B^2[/dispmath][dispmath]X^{-1}\left(B+I\right)=A^{-1}C^T B^2[/dispmath][dispmath]\underbrace{XX^{-1}}_I\left(B+I\right)=XA^{-1}C^T B^2[/dispmath][dispmath]B+I=XA^{-1}C^T B^2[/dispmath][dispmath]XA^{-1}C^T B^2=B+I[/dispmath][dispmath]X\underbrace{\left(A^{-1}C^T B^2\right)\left(A^{-1}C^T B^2\right)^{-1}}_I=\left(B+I\right)\left(A^{-1}C^T B^2\right)^{-1}[/dispmath][dispmath]X=\left(B+I\right)\left[A^{-1}\left(C^T B^2\right)\right]^{-1}[/dispmath][dispmath]X=\left(B+I\right)\left[\left(C^T B^2\right)^{-1}\left(A^{-1}\right)^{-1}\right][/dispmath][dispmath]X=\left(B+I\right)\left(C^T B^2\right)^{-1}A[/dispmath]
Dakle, nije potrebno ni računati [inlmath]A^{-1}[/inlmath].
Dobije se rezultat [inlmath]X=\left[\begin{matrix}
58 & 152 \\
-16 & -42
\end{matrix}\right][/inlmath] što, kad se uvrsti u polaznu jednačinu, daje ispravnu jednakost.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7680
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

  • +1

Re: Matrične jednadžbe

Postod eseper » Petak, 22. Novembar 2013, 21:46

Hm, pa nije li to isto? :roll:

Dobio sam iz trećeg pokušaja identično, grješio sam na gluposti (tražeći [inlmath]E^{-1}[/inlmath] nisam našao determinantu...);)
Evo mog postupka sređivanja.
[dispmath]A^{-1} / \;\; AX^{-1}B+AX^{-1}=C^TB^2[/dispmath]
[dispmath]X / \;\; X^{-1}B+X^{-1}=A^{-1}C^TB^2[/dispmath]
[dispmath]B+I=X\left(A^{-1}C^TB^2\right) \;\; /\left(A^{-1}C^TB^2\right)^{-1}[/dispmath]
[dispmath](B+I)\left(A^{-1}C^TB^2\right)^{-1}=X[/dispmath]
a to se, ako se ne varam, može još zapisati i kao
[dispmath]X=(B+I)\left(B^2\right)^{-1}\left(C^T\right)^{-1}A[/dispmath]
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

  • +1

Re: Matrične jednadžbe

Postod Daniel » Petak, 22. Novembar 2013, 22:10

eseper je napisao:Hm, pa nije li to isto? :roll:

:picard-facepalm:
Ovaj facepalm nisam uputio tebi, već samom sebi. :shock: Pojma nemam zašto mi se učinilo da nam se izrazi razlikuju. Da, naravno da smo isto dobili i ti i ja, izrazi su identični. Al' ako ništa drugo, bar sam ispisao postupak, možda će nekome biti od koristi.

Ti si radio manje-više isto kao i ja, samo je malo drugačiji redosled izvlačenja ispred zagrade i množenja radi dobijanja jedinične matrice.

eseper je napisao:a to se, ako se ne varam, može još zapisati i kao
[dispmath]X=(B+I)\left(B^2\right)^{-1}\left(C^T\right)^{-1}A[/dispmath]

Može, ali je manji posao prvo izmnožiti [inlmath]C^T[/inlmath] i [inlmath]B^2[/inlmath] pa naći inverz od toga, nego tražiti zasebno inverz i od [inlmath]B^2[/inlmath] i od [inlmath]C^T[/inlmath] pa ih onda množiti.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7680
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Re: Matrične jednadžbe

Postod eseper » Petak, 29. Novembar 2013, 10:36

Je li matrična jednadžba
[dispmath]A^2(BX)^{-1}+B^TA=X^{-1}B^{-1}+I[/dispmath]
dobro sređena?
[dispmath]X=\left(B-B^TAB\right)^{-1}\left(A^2-I\right)[/dispmath]
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

  • +1

Re: Matrične jednadžbe

Postod Daniel » Petak, 29. Novembar 2013, 12:37

Jeste.
Zbog onih koje bi možda interesovao postupak:
[dispmath]A^2\left(BX\right)^{-1}+B^T A=X^{-1}B^{-1}+I[/dispmath]
[dispmath]A^2\left(BX\right)^{-1}+B^T A=\left(BX\right)^{-1}+I[/dispmath]
[dispmath]A^2\left(BX\right)^{-1}-\left(BX\right)^{-1}=I-B^T A[/dispmath]
[dispmath]\left(A^2-I\right)\left(BX\right)^{-1}=I-B^T A[/dispmath]
[dispmath]\left(A^2-I\right)\underbrace{\left(BX\right)^{-1}\cdot\left(BX\right)}_I=\left(I-B^T A\right)\cdot\left(BX\right)[/dispmath]
[dispmath]\left(I-B^T A\right)BX=A^2-I[/dispmath]
[dispmath]\left(B-B^T AB\right)X=A^2-I[/dispmath]
[dispmath]\underbrace{\left(B-B^T AB\right)^{-1}\left(B-B^T AB\right)}_IX=\left(B-B^T AB\right)^{-1}\left(A^2-I\right)[/dispmath]
[dispmath]X=\left(B-B^T AB\right)^{-1}\left(A^2-I\right)[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7680
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

  • +1

Re: Matrične jednadžbe

Postod Daniel » Nedelja, 01. Decembar 2013, 07:51

eseper je napisao:Odrediti rješenje jednadžbe
[dispmath]AX^{-1}B+AX^{-1}=C^TB^2[/dispmath]
[dispmath]\cdots[/dispmath]
[dispmath]X=\left[\begin{matrix}
2 & 1 \\
-3 & -2
\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}
37 & -97 \\
8 & 21
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
82 & -173 \\
-127 & 249
\end{matrix}\right][/dispmath]
Sumnjam da je točno rješenje :?

Tek sad pogledah ponovo taj zadatak i videh da ti, zapravo, nisam odgovorio na ono što je bilo pitanje. Sorry. :( Pretpostavljam da ti zadatak nije više aktuelan, ali evo, da ne ostane bez odgovora.

Jedna greška je u ovom koraku:
eseper je napisao:[dispmath]A^{-1}C^TB^2=\left[\begin{matrix}
21 & 97 \\
-8 & -37
\end{matrix}\right][/dispmath]
[dispmath]\left(A^{-1}C^TB^2\right)^{-1}=\left[\begin{matrix}
37 & -97 \\
8 & 21
\end{matrix}\right][/dispmath]

Treba
[dispmath]\left(A^{-1}C^T B^2\right)^{-1}=\left[\begin{matrix}
37 & 97 \\
-8 & -21
\end{matrix}\right][/dispmath]
A druga greška je odmah u sledećem koraku:
eseper je napisao:[dispmath]X=\left[\begin{matrix}
2 & 1 \\
-3 & -2
\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}
37 & -97 \\
8 & 21
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
82 & -173 \\
-127 & 249
\end{matrix}\right][/dispmath]

Znači, [inlmath]X[/inlmath] si računao kao proizvod [inlmath]C^T[/inlmath] i [inlmath]\left(A^{-1}C^T B^2\right)^{-1}[/inlmath], umesto kao proizvod [inlmath]\left(B+I\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(A^{-1}C^T B^2\right)^{-1}[/inlmath].

Treba, dakle,
[dispmath]X=\left[\begin{matrix}
2 & 2 \\
0 & 2
\end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix}
37 & 97 \\
-8 & -21
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
58 & 152 \\
-16 & -42
\end{matrix}\right][/dispmath]
što bi bilo tačno rešenje.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7680
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Prethodna

Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 18. Avgust 2019, 10:37 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs