Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Inverz matrica – elementarne transformacije

Matrice, determinante...

Moderator: Corba248

Inverz matrica – elementarne transformacije

Postod eseper » Subota, 12. Oktobar 2013, 09:14

Može li se i kako odrediti inverz sljedeće matrice koristeći elementarne transformacije?
[dispmath]A=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 2\\
0 & 2 & 0\\
4 & 0 & 2
\end{bmatrix}[/dispmath]
- postoji li neki način kako najlakše prepoznati mogu li se uopće primjeniti elementarne transformacije?

Zadatak sam rješio, ali mi je u krajnju ruku sumnjiv. Evo što sam dobio:
[dispmath]A^{-1}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{4} & 0 & -\frac{1}{4}\\
0 & -\frac{1}{2} & 0\\
-\frac{1}{2} & 0 & 0
\end{bmatrix}[/dispmath]
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Inverz matrica – elementarne transformacije

Postod eseper » Subota, 12. Oktobar 2013, 10:18

Da se nadopunim, determinanta ove matrice je [inlmath]0[/inlmath], stoga se valjda ne može izračunati inverz?
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

  • +1

Re: Inverz matrica – elementarne transformacije

Postod Daniel » Nedelja, 13. Oktobar 2013, 00:16

eseper je napisao:Zadatak sam rješio, ali mi je u krajnju ruku sumnjiv. Evo što sam dobio:
[dispmath]A^{-1}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{4} & 0 & -\frac{1}{4}\\
0 & -\frac{1}{2} & 0\\
-\frac{1}{2} & 0 & 0
\end{bmatrix}[/dispmath]

Pa evo, možeš i sam to proveriti, :) tako što pomnožiš [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]A^{-1}[/inlmath] koje si dobio i, ako si dobro izračunao [inlmath]A^{-1}[/inlmath], rezultat treba da bude jedinična matrica:
[dispmath]AA^{-1}=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 2\\
0 & 2 & 0\\
4 & 0 & 2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\frac{1}{4} & 0 & -\frac{1}{4}\\
0 & -\frac{1}{2} & 0\\
-\frac{1}{2} & 0 & 0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0\\
0 & 0 & -1
\end{bmatrix}[/dispmath]
Znači, nešto ne valja. :techie-error:

Ispravan rezultat bi trebalo da bude
[dispmath]A^{-1}=\begin{bmatrix}
-\frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{4}\\
0 & \frac{1}{2} & 0\\
\frac{1}{2} & 0 & 0
\end{bmatrix}[/dispmath]
što je, zapravo, ovaj tvoj rezultat pomnožen sa [inlmath]\left(-1\right)[/inlmath].

eseper je napisao:- postoji li neki način kako najlakše prepoznati mogu li se uopće primjeniti elementarne transformacije?

Elementarne transformacije se uvek mogu primeniti, samo je pitanje da li se njihovom primenom postiže željeni cilj, pretpostavljam da je to bilo tvoje pitanje. :) Ako primenom elementarnih transformacija matricu možeš svesti na stepenastu formu, koja, uz to, ne sadrži nula-vrstu, onda se željeni cilj postiže, tj. moguće je na taj način naći njoj inverznu matricu.

eseper je napisao:Da se nadopunim, determinanta ove matrice je [inlmath]0[/inlmath], stoga se valjda ne može izračunati inverz?

Ne, determinanta matrice [inlmath]A[/inlmath] nije [inlmath]0[/inlmath], već [inlmath]-16[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7772
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4142 puta

Re: Inverz matrica – elementarne transformacije

Postod eseper » Ponedeljak, 14. Oktobar 2013, 10:47

Evo, kako bismo pomoću elem. transformacija izračunali inverz matrice
[dispmath]A=\begin{bmatrix}
3 & -4 & 5\\
2 & -3 & 1\\
3 & -5 & -1
\end{bmatrix}[/dispmath]
Uvijek krenem namještati jedinice po dijagonali, tako da što prije ova matrica postane jedinična, a jedinična koju desno dopišem, inverz koji tražim. Je li tako najbolje? Postoji li neki način kojim se treba voditi, jer ovakvi zadaci čini mi se mogu trajati jako dugo...
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

  • +1

Re: Inverz matrica – elementarne transformacije

Postod Daniel » Ponedeljak, 14. Oktobar 2013, 23:34

[dispmath]\left[\begin{array}{ccc|ccc}
\enclose{box}{3} & -4 & 5 & 1 & 0 & 0\\
2 & -3 & 1 & 0 & 1 & 0\\
3 & -5 & -1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]\sim\left[\begin{array}{ccc|ccc}
3 & -4 & 5 & 1 & 0 & 0\\
2 & -3 & 1 & 0 & 1 & 0\\
0 & -1 & -6 & -1 & 0 & 1
\end{array}\right]\sim\left[\begin{array}{ccc|ccc}
\enclose{box}{6} & -8 & 10 & 2 & 0 & 0\\
6 & -9 & 3 & 0 & 3 & 0\\
0 & -1 & -6 & -1 & 0 & 1
\end{array}\right]\sim[/dispmath]
[dispmath]\sim\left[\begin{array}{ccc|ccc}
6 & -8 & 10 & 2 & 0 & 0\\
0 & \enclose{box}{-1} & -7 & -2 & 3 & 0\\
0 & -1 & -6 & -1 & 0 & 1
\end{array}\right]\sim\left[\begin{array}{ccc|ccc}
6 & -8 & 10 & 2 & 0 & 0\\
0 & -1 & -7 & -2 & 3 & 0\\
0 & 0 & \enclose{box}{1} & 1 & -3 & 1
\end{array}\right]\sim[/dispmath]
[dispmath]\sim\left[\begin{array}{ccc|ccc}
6 & -8 & 10 & 2 & 0 & 0\\
0 & \enclose{box}{-1} & 0 & 5 & -18 & 7\\
0 & 0 & 1 & 1 & -3 & 1
\end{array}\right]\sim\left[\begin{array}{ccc|ccc}
6 & 0 & 10 & -38 & 144 & -56\\
0 & -1 & 0 & 5 & -18 & 7\\
0 & 0 & \enclose{box}{1} & 1 & -3 & 1
\end{array}\right]\sim[/dispmath]
[dispmath]\sim\left[\begin{array}{ccc|ccc}
6 & 0 & 0 & -48 & 174 & -66\\
0 & -1 & 0 & 5 & -18 & 7\\
0 & 0 & 1 & 1 & -3 & 1
\end{array}\right]\sim\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & -8 & 29 & -11\\
0 & 1 & 0 & -5 & 18 & -7\\
0 & 0 & 1 & 1 & -3 & 1
\end{array}\right][/dispmath]
pa je
[dispmath]A^{-1}=\begin{bmatrix}
-8 & 29 & -11\\
-5 & 18 & -7\\
1 & -3 & 1
\end{bmatrix}[/dispmath]
Ja se, kao što vidiš, baš i ne trudim da pri svođenju na stepenastu formu dobijem jedinice po dijagonali, jer bih u tom slučaju imao posla s napornim sabiranjem i oduzimanjem razlomaka. Nekako preferiram cele brojeve. :D Znači, prvo svedem na stepenastu formu, zatim na dijagonalnu matricu s proizvoljnim brojevima na glavnoj dijagonali, pa tek na samom kraju dijagonalnu matricu svedem na jediničnu.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7772
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4142 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 08. Decembar 2019, 03:22 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs