Inverz matrica – elementarne transformacije

PostPoslato: Subota, 12. Oktobar 2013, 09:14
od eseper
Može li se i kako odrediti inverz sljedeće matrice koristeći elementarne transformacije?
[dispmath]A=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 2\\
0 & 2 & 0\\
4 & 0 & 2
\end{bmatrix}[/dispmath]
- postoji li neki način kako najlakše prepoznati mogu li se uopće primjeniti elementarne transformacije?

Zadatak sam rješio, ali mi je u krajnju ruku sumnjiv. Evo što sam dobio:
[dispmath]A^{-1}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{4} & 0 & -\frac{1}{4}\\
0 & -\frac{1}{2} & 0\\
-\frac{1}{2} & 0 & 0
\end{bmatrix}[/dispmath]

Re: Inverz matrica – elementarne transformacije

PostPoslato: Subota, 12. Oktobar 2013, 10:18
od eseper
Da se nadopunim, determinanta ove matrice je [inlmath]0[/inlmath], stoga se valjda ne može izračunati inverz?

Re: Inverz matrica – elementarne transformacije

PostPoslato: Nedelja, 13. Oktobar 2013, 00:16
od Daniel
eseper je napisao:Zadatak sam rješio, ali mi je u krajnju ruku sumnjiv. Evo što sam dobio:
[dispmath]A^{-1}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{4} & 0 & -\frac{1}{4}\\
0 & -\frac{1}{2} & 0\\
-\frac{1}{2} & 0 & 0
\end{bmatrix}[/dispmath]

Pa evo, možeš i sam to proveriti, :) tako što pomnožiš [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]A^{-1}[/inlmath] koje si dobio i, ako si dobro izračunao [inlmath]A^{-1}[/inlmath], rezultat treba da bude jedinična matrica:
[dispmath]AA^{-1}=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 2\\
0 & 2 & 0\\
4 & 0 & 2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\frac{1}{4} & 0 & -\frac{1}{4}\\
0 & -\frac{1}{2} & 0\\
-\frac{1}{2} & 0 & 0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0\\
0 & 0 & -1
\end{bmatrix}[/dispmath]
Znači, nešto ne valja. :techie-error:

Ispravan rezultat bi trebalo da bude
[dispmath]A^{-1}=\begin{bmatrix}
-\frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{4}\\
0 & \frac{1}{2} & 0\\
\frac{1}{2} & 0 & 0
\end{bmatrix}[/dispmath]
što je, zapravo, ovaj tvoj rezultat pomnožen sa [inlmath]\left(-1\right)[/inlmath].

eseper je napisao:- postoji li neki način kako najlakše prepoznati mogu li se uopće primjeniti elementarne transformacije?

Elementarne transformacije se uvek mogu primeniti, samo je pitanje da li se njihovom primenom postiže željeni cilj, pretpostavljam da je to bilo tvoje pitanje. :) Ako primenom elementarnih transformacija matricu možeš svesti na stepenastu formu, koja, uz to, ne sadrži nula-vrstu, onda se željeni cilj postiže, tj. moguće je na taj način naći njoj inverznu matricu.

eseper je napisao:Da se nadopunim, determinanta ove matrice je [inlmath]0[/inlmath], stoga se valjda ne može izračunati inverz?

Ne, determinanta matrice [inlmath]A[/inlmath] nije [inlmath]0[/inlmath], već [inlmath]-16[/inlmath].

Re: Inverz matrica – elementarne transformacije

PostPoslato: Ponedeljak, 14. Oktobar 2013, 10:47
od eseper
Evo, kako bismo pomoću elem. transformacija izračunali inverz matrice
[dispmath]A=\begin{bmatrix}
3 & -4 & 5\\
2 & -3 & 1\\
3 & -5 & -1
\end{bmatrix}[/dispmath]
Uvijek krenem namještati jedinice po dijagonali, tako da što prije ova matrica postane jedinična, a jedinična koju desno dopišem, inverz koji tražim. Je li tako najbolje? Postoji li neki način kojim se treba voditi, jer ovakvi zadaci čini mi se mogu trajati jako dugo...

Re: Inverz matrica – elementarne transformacije

PostPoslato: Ponedeljak, 14. Oktobar 2013, 23:34
od Daniel
[dispmath]\left[\begin{array}{ccc|ccc}
\enclose{box}{3} & -4 & 5 & 1 & 0 & 0\\
2 & -3 & 1 & 0 & 1 & 0\\
3 & -5 & -1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]\sim\left[\begin{array}{ccc|ccc}
3 & -4 & 5 & 1 & 0 & 0\\
2 & -3 & 1 & 0 & 1 & 0\\
0 & -1 & -6 & -1 & 0 & 1
\end{array}\right]\sim\left[\begin{array}{ccc|ccc}
\enclose{box}{6} & -8 & 10 & 2 & 0 & 0\\
6 & -9 & 3 & 0 & 3 & 0\\
0 & -1 & -6 & -1 & 0 & 1
\end{array}\right]\sim[/dispmath]
[dispmath]\sim\left[\begin{array}{ccc|ccc}
6 & -8 & 10 & 2 & 0 & 0\\
0 & \enclose{box}{-1} & -7 & -2 & 3 & 0\\
0 & -1 & -6 & -1 & 0 & 1
\end{array}\right]\sim\left[\begin{array}{ccc|ccc}
6 & -8 & 10 & 2 & 0 & 0\\
0 & -1 & -7 & -2 & 3 & 0\\
0 & 0 & \enclose{box}{1} & 1 & -3 & 1
\end{array}\right]\sim[/dispmath]
[dispmath]\sim\left[\begin{array}{ccc|ccc}
6 & -8 & 10 & 2 & 0 & 0\\
0 & \enclose{box}{-1} & 0 & 5 & -18 & 7\\
0 & 0 & 1 & 1 & -3 & 1
\end{array}\right]\sim\left[\begin{array}{ccc|ccc}
6 & 0 & 10 & -38 & 144 & -56\\
0 & -1 & 0 & 5 & -18 & 7\\
0 & 0 & \enclose{box}{1} & 1 & -3 & 1
\end{array}\right]\sim[/dispmath]
[dispmath]\sim\left[\begin{array}{ccc|ccc}
6 & 0 & 0 & -48 & 174 & -66\\
0 & -1 & 0 & 5 & -18 & 7\\
0 & 0 & 1 & 1 & -3 & 1
\end{array}\right]\sim\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & -8 & 29 & -11\\
0 & 1 & 0 & -5 & 18 & -7\\
0 & 0 & 1 & 1 & -3 & 1
\end{array}\right][/dispmath]
pa je
[dispmath]A^{-1}=\begin{bmatrix}
-8 & 29 & -11\\
-5 & 18 & -7\\
1 & -3 & 1
\end{bmatrix}[/dispmath]
Ja se, kao što vidiš, baš i ne trudim da pri svođenju na stepenastu formu dobijem jedinice po dijagonali, jer bih u tom slučaju imao posla s napornim sabiranjem i oduzimanjem razlomaka. Nekako preferiram cele brojeve. :D Znači, prvo svedem na stepenastu formu, zatim na dijagonalnu matricu s proizvoljnim brojevima na glavnoj dijagonali, pa tek na samom kraju dijagonalnu matricu svedem na jediničnu.