Linearna (ne)zavisnost vektora

PostPoslato: Ponedeljak, 14. Oktobar 2013, 11:20
od eseper
Jesu li vektori [dispmath]x^{(1)}=\left[\begin{matrix}
1 \\
-1 \\
5
\end{matrix}\right][/dispmath]
[dispmath]x^{(2)}=\left[\begin{matrix}
-2 \\
5 \\
4
\end{matrix}\right][/dispmath]
[dispmath]x^{(3)}=\left[\begin{matrix}
-1 \\
6 \\
5
\end{matrix}\right][/dispmath]
linearno zavisni ili nezavisni?

Ispravno rješenje trebalo bi biti da su zavisni.

Re: Linearna (ne)zavisnost vektora

PostPoslato: Ponedeljak, 14. Oktobar 2013, 14:50
od Milovan
[dispmath]\alpha_1\left[\begin{matrix}
1 \\
-1 \\
5
\end{matrix}\right]+\alpha_2\left[\begin{matrix}
-2 \\
5 \\
4
\end{matrix}\right]+\alpha_3\left[\begin{matrix}
-1 \\
6 \\
5
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
0 \\
0 \\
0
\end{matrix}\right][/dispmath]
Otuda je:
[dispmath]\alpha_1-2 \alpha_2-\alpha_3=0[/dispmath]
[dispmath]-\alpha_1+ 5\alpha_2+6\alpha_3=0[/dispmath]
[dispmath]5\alpha_1+4 \alpha_2+5\alpha_3=0[/dispmath]
Sabiranjem prve dve [inlmath]3\alpha_2+5\alpha_3=0[/inlmath].
Sabiranjem druge pomnožene sa [inlmath]5[/inlmath] sa trećom:
[inlmath]29\alpha_2+35\alpha_3=0[/inlmath]
Kako je odnos između nenultih vrednosti ovih promenljivih iz ove dve jednačine različit, zaključujemo da su [inlmath]\alpha_2[/inlmath] i [inlmath]\alpha_3[/inlmath] jednaki nuli, pa samim tim i [inlmath]\alpha_1=0[/inlmath]
Dakle, ovaj homogen sistem ima samo trivijalno resenje.

Vektori su samim tim linerno nezavisni.