Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Gaussova metoda eliminacije

Matrice, determinante...

Moderator: Corba248

  • +1

Re: Gaussova metoda eliminacije

Postod Daniel » Ponedeljak, 21. Oktobar 2013, 16:51

OK je to, samo, nisi rezultat do kraja sredio. Treba sve da izraziš preko samo jedne promenljive, u ovom slučaju preko [inlmath]x_4[/inlmath]. Iz [inlmath]x_1=1+4x_2-3x_4[/inlmath] i [inlmath]x_2=x_4[/inlmath] sledi [inlmath]x_1=1+4x_4-3x_4=1+x_4[/inlmath] i to je onda konačno rešenje, jer su tada sve promenljive izražene preko [inlmath]x_4[/inlmath] (osim [inlmath]x_3[/inlmath], koja je konstanta).

A mogao si i matricu da isteraš do kraja, umesto što si stao kad si je sveo na trouglasti oblik:
[dispmath]\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & -4 & -1 & 3 & 0 \\
0 & 1 & \frac{1}{2} & -1 & \frac{1}{2} \\
0 & 0 & \enclose{box}{1} & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]\sim\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & -4 & 0 & 3 & 1 \\
0 & \enclose{box}{1} & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]\sim\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right][/dispmath]
i onda odatle dobijaš isto to rešenje:
[dispmath]\begin{array}{cccccc}
x_1 & & & -x_4 & = & 1 \\
& x_2 & & -x_4 & = & 0 \\
& & x_3 & & = & 1
\end{array}\quad\Rightarrow\quad\begin{array}{ccl}
x_1 & = & 1+x_4 \\
x_2 & = & x_4 \\
x_3 & = & 1
\end{array}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7680
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Gaussova metoda eliminacije

Postod eseper » Četvrtak, 31. Oktobar 2013, 20:27

Evo, zanimalo bi me rješenje ovog sustava:
[dispmath]x_1+9x_2+4x_3-5x_4=1\\
2x_1+3x_2+2x_3+2x_4=2\\
3x_1+2x_2+2x_3+5x_4=3\\
2x_1+2x_2+3x_3+4x_4=5\\
x_1+7x_2+6x_3-x_4=7[/dispmath]
Imam svoje rješenje kao i rješenje još jedne osobe. Uglavnom se ne poklapaju. Pa da vidimo kome će se prikloniti treće rješenje :mrgreen:
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

  • +1

Re: Gaussova metoda eliminacije

Postod Daniel » Četvrtak, 31. Oktobar 2013, 20:44

A kad ta dva rešenja (tvoje rešenje i rešenje te osobe) uvrstiš u sistem, da li u nekom od ta dva slučaja dobiješ da je sistem zadovoljen?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7680
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

  • +1

Re: Gaussova metoda eliminacije

Postod Milovan » Petak, 01. Novembar 2013, 09:04

Wolphram alpha rešava i sisteme jednačina, ako ti treba tacno resenje. A to da li je tvoje (ili resenje te druge osobe) dobro, kao sto i Daniel rece, nije tesko proveriti- vratis vrednosti koje si dobio za svaku od nepoznatih i vidis da li zadovoljavaju sistem.
Korisnikov avatar
Milovan  OFFLINE
 
Postovi: 568
Zahvalio se: 356 puta
Pohvaljen: 697 puta

Re: Gaussova metoda eliminacije

Postod eseper » Petak, 01. Novembar 2013, 10:56

Moje:
[dispmath]\left[\begin{matrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4
\end{matrix}\right]=s\left[\begin{matrix}
5 \\
2 \\
-\frac{6}{7} \\
1
\end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix}
1 \\
-3 \\
\frac{15}{7} \\
0
\end{matrix}\right][/dispmath]
Drugo:
[dispmath]\left[\begin{matrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4
\end{matrix}\right]=s\left[\begin{matrix}
-\frac{13}{7} \\
\frac{8}{7} \\
-\frac{6}{7} \\
1
\end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix}
\frac{1}{7} \\
-\frac{6}{7} \\
\frac{15}{7} \\
0
\end{matrix}\right][/dispmath]
Wolfram rješava samo sustave od maksimalno četiri jednadžbe. Što se tiče provjere, nije mi najjasnije kako to točno izvesti? Ove vrijednosti [inlmath]s[/inlmath]-a uvrštavati u svaku jednadžbu ili? Što je sa ovim iza plusa?
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

  • +1

Re: Gaussova metoda eliminacije

Postod Daniel » Petak, 01. Novembar 2013, 11:09

Iz tvog rešenja se dobije [inlmath]x_1=5s+1[/inlmath] i, kad to uvrstiš u prvu jednačinu sistema, ona će postati [inlmath]5s+1+9x_2+4x_3-5x_4=1[/inlmath]. Uradiš to za sve četiri promenljive, uvrstiš njihove vrednosti na isti ovaj način u svih pet jednačina sistema i ako su sve jednačine zadovoljene, rešenje je tačno.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7680
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Re: Gaussova metoda eliminacije

Postod eseper » Petak, 01. Novembar 2013, 11:53

Druga je točna zato što su sve jednadžbe izražene preko jedne promjenjive, dok ja to nisam napravio... :)
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Re: Gaussova metoda eliminacije

Postod Daniel » Petak, 01. Novembar 2013, 12:02

eseper je napisao:Druga je točna zato što su sve jednadžbe izražene preko jedne promjenjive, dok ja to nisam napravio... :)

Misliš, promenljive? I u tvom rešenju su sve promenljive izražene preko jedne od tih promenljivih (preko [inlmath]x_4[/inlmath], tj. preko [inlmath]s[/inlmath] koje je jednako [inlmath]x_4[/inlmath]), samo što su u tvom rešenju pogrešne brojne vrednosi.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7680
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Re: Gaussova metoda eliminacije

Postod eseper » Petak, 01. Novembar 2013, 12:18

Ja sam ostavio ovako:
[dispmath]x_1=-9x_2-4x_3+5s[/dispmath]
[dispmath]x_2=-3+x_3+2s[/dispmath]
[dispmath]x_3=\frac{15}{7}-\frac{6}{7}s[/dispmath]
[dispmath]x_4=s[/dispmath]
Odatle brojevi u prvom rješenju :)
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

  • +1

Re: Gaussova metoda eliminacije

Postod Daniel » Petak, 01. Novembar 2013, 12:25

Da, sad shvatam... Zbog toga su ti rešenja za [inlmath]x_3[/inlmath] i za [inlmath]x_4[/inlmath] tačna, budući da te dve promenljive nisi izrazio preko više od jedne promenljive...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7680
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Prethodna

Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 19. Avgust 2019, 14:54 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs