Gaussova metoda eliminacije

PostPoslato: Subota, 19. Oktobar 2013, 16:32
od eseper
Kako rješiti
[dispmath]4x_1-2x_2-3x_3-2x_4=1\\
2x_1+2x_2+3x_3-4x_4=5\\
3x_1+2x_2-2x_3-5x_4=1\\
2x_1-5x_2-3x_3+3x_4=-1[/dispmath]
Nikako da svedem na gornji trokutasti oblik. U zadnjem retku mi ostanu svaki put dvije znamenke kojih se ne mogu nikako rješiti... :evil:

Re: Gaussova metoda eliminacije

PostPoslato: Subota, 19. Oktobar 2013, 17:51
od Daniel
Pa, daj da vidimo to što si dobio, ovako možemo samo da nagađamo...

Inače, ovaj sistem je linerano zavisan (tj. jedna od ove četiri jednačine je suvišna), pa ni skup rešenja nije moguće jednoznačno odrediti.

Re: Gaussova metoda eliminacije

PostPoslato: Subota, 19. Oktobar 2013, 19:46
od eseper
U jednoj varijanti sam dobio ovo:
[dispmath]\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & -8 & -4 & 4 \\
0 & -1 & 4 & 2 & 3 \\
0 & 0 & -9 & -4 & -5 \\
0 & 0 & 2 & -1 & 3
\end{array}\right][/dispmath]
Sada da ne pišem druge... u svakom slučaju ovo bi se možda i dalo srediti, ali uz razlomke. A nisam siguran da je cilj ovdje petljati se s time, već dobiti [inlmath]x_1[/inlmath], [inlmath]x_2[/inlmath], [inlmath]x_3[/inlmath] i [inlmath]x_4[/inlmath]... Uglavnom, u nijednoj varijanti nisam mogao doi do rješenja, a da sam baš sve pofalivao, ne znam :roll:

Re: Gaussova metoda eliminacije

PostPoslato: Subota, 19. Oktobar 2013, 20:09
od Daniel
Negde si kiksno u sređivanju, jer se ne dobije ovakva matrica. Ali, svejedno, dala bi se i ovakva matrica srediti:
[dispmath]\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & -8 & -4 & 4 \\
0 & -1 & 4 & 2 & 3 \\
0 & 0 & -9 & -4 & -5 \\
0 & 0 & 2 & -1 & 3
\end{array}\right]\sim\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & -8 & -4 & 4 \\
0 & -1 & 4 & 2 & 3 \\
0 & 0 & \enclose{box}{-9} & -4 & -5 \\
0 & 0 & 18 & -9 & 27
\end{array}\right]\sim\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & -8 & -4 & 4 \\
0 & -1 & 4 & 2 & 3 \\
0 & 0 & -9 & -4 & -5 \\
0 & 0 & 0 & -17 & 17
\end{array}\right][/dispmath]
i eto ti trouglaste matrice. Dalje bi znao...

E sad, pronađi gde ti je greška u postupku. Ili, priloži postupak, pa da nađemo...

Re: Gaussova metoda eliminacije

PostPoslato: Subota, 19. Oktobar 2013, 20:13
od eseper
Sutra ću opet, za danas mi je te dosta ;)

Re: Gaussova metoda eliminacije

PostPoslato: Subota, 19. Oktobar 2013, 20:23
od Daniel
A sutra će meni biti dosta tebe :tongue:

Re: Gaussova metoda eliminacije

PostPoslato: Subota, 19. Oktobar 2013, 20:46
od eseper
Mislio sam na tu matricu :ghh: :laughing-rolling:

Uglavnom, uredno se dobiju sva četiri rješenja? :)

Re: Gaussova metoda eliminacije

PostPoslato: Subota, 19. Oktobar 2013, 20:52
od Daniel
eseper je napisao:Mislio sam na tu matricu :ghh: :laughing-rolling:

Ma znam, nego kad sam video da si nesvesno napisao dvosmislenu rečenicu, jednostavno sam morao... :lol:

eseper je napisao:Uglavnom, uredno se dobiju sva četiri rješenja? :)

Ne, dobije se beskonačno mnogo rešenja, s tim da je [inlmath]x_3=1[/inlmath], a [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] se mogu izraziti u zavisnosti od vrednosti [inlmath]x_4[/inlmath]...

Re: Gaussova metoda eliminacije

PostPoslato: Ponedeljak, 21. Oktobar 2013, 11:16
od eseper
Meni ispalo malo drukčije, ali isto valjda valja :?:
[dispmath]\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & -4 & -1 & 3 & 0 \\
0 & 1 & \frac{1}{2} & -1 & \frac{1}{2} \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right][/dispmath]
[dispmath]x_1-4x_2-x_3+3x_4=0\;\Rightarrow\;x_1=1+4x_2-3x_4[/dispmath]
[dispmath]x_2+\frac{1}{2}x_3-x_4=\frac{1}{2}\;\Rightarrow\;x_2=x_4[/dispmath]
[dispmath]x_3=1[/dispmath]
[dispmath]x_4=x_4[/dispmath]
[inlmath]\dots[/inlmath]

Re: Gaussova metoda eliminacije

PostPoslato: Ponedeljak, 21. Oktobar 2013, 12:34
od eseper
Zanemari prvu rečenicu (greškom sam uspoređivao moje prvobitno krivo rješenje koje si bio sredio...) ;)

Re: Gaussova metoda eliminacije

PostPoslato: Ponedeljak, 21. Oktobar 2013, 16:51
od Daniel
OK je to, samo, nisi rezultat do kraja sredio. Treba sve da izraziš preko samo jedne promenljive, u ovom slučaju preko [inlmath]x_4[/inlmath]. Iz [inlmath]x_1=1+4x_2-3x_4[/inlmath] i [inlmath]x_2=x_4[/inlmath] sledi [inlmath]x_1=1+4x_4-3x_4=1+x_4[/inlmath] i to je onda konačno rešenje, jer su tada sve promenljive izražene preko [inlmath]x_4[/inlmath] (osim [inlmath]x_3[/inlmath], koja je konstanta).

A mogao si i matricu da isteraš do kraja, umesto što si stao kad si je sveo na trouglasti oblik:
[dispmath]\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & -4 & -1 & 3 & 0 \\
0 & 1 & \frac{1}{2} & -1 & \frac{1}{2} \\
0 & 0 & \enclose{box}{1} & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]\sim\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & -4 & 0 & 3 & 1 \\
0 & \enclose{box}{1} & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]\sim\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right][/dispmath]
i onda odatle dobijaš isto to rešenje:
[dispmath]\begin{array}{cccccc}
x_1 & & & -x_4 & = & 1 \\
& x_2 & & -x_4 & = & 0 \\
& & x_3 & & = & 1
\end{array}\quad\Rightarrow\quad\begin{array}{ccl}
x_1 & = & 1+x_4 \\
x_2 & = & x_4 \\
x_3 & = & 1
\end{array}[/dispmath]

Re: Gaussova metoda eliminacije

PostPoslato: Četvrtak, 31. Oktobar 2013, 20:27
od eseper
Evo, zanimalo bi me rješenje ovog sustava:
[dispmath]x_1+9x_2+4x_3-5x_4=1\\
2x_1+3x_2+2x_3+2x_4=2\\
3x_1+2x_2+2x_3+5x_4=3\\
2x_1+2x_2+3x_3+4x_4=5\\
x_1+7x_2+6x_3-x_4=7[/dispmath]
Imam svoje rješenje kao i rješenje još jedne osobe. Uglavnom se ne poklapaju. Pa da vidimo kome će se prikloniti treće rješenje :mrgreen:

Re: Gaussova metoda eliminacije

PostPoslato: Četvrtak, 31. Oktobar 2013, 20:44
od Daniel
A kad ta dva rešenja (tvoje rešenje i rešenje te osobe) uvrstiš u sistem, da li u nekom od ta dva slučaja dobiješ da je sistem zadovoljen?

Re: Gaussova metoda eliminacije

PostPoslato: Petak, 01. Novembar 2013, 09:04
od Milovan
Wolphram alpha rešava i sisteme jednačina, ako ti treba tacno resenje. A to da li je tvoje (ili resenje te druge osobe) dobro, kao sto i Daniel rece, nije tesko proveriti- vratis vrednosti koje si dobio za svaku od nepoznatih i vidis da li zadovoljavaju sistem.

Re: Gaussova metoda eliminacije

PostPoslato: Petak, 01. Novembar 2013, 10:56
od eseper
Moje:
[dispmath]\left[\begin{matrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4
\end{matrix}\right]=s\left[\begin{matrix}
5 \\
2 \\
-\frac{6}{7} \\
1
\end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix}
1 \\
-3 \\
\frac{15}{7} \\
0
\end{matrix}\right][/dispmath]
Drugo:
[dispmath]\left[\begin{matrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4
\end{matrix}\right]=s\left[\begin{matrix}
-\frac{13}{7} \\
\frac{8}{7} \\
-\frac{6}{7} \\
1
\end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix}
\frac{1}{7} \\
-\frac{6}{7} \\
\frac{15}{7} \\
0
\end{matrix}\right][/dispmath]
Wolfram rješava samo sustave od maksimalno četiri jednadžbe. Što se tiče provjere, nije mi najjasnije kako to točno izvesti? Ove vrijednosti [inlmath]s[/inlmath]-a uvrštavati u svaku jednadžbu ili? Što je sa ovim iza plusa?

Re: Gaussova metoda eliminacije

PostPoslato: Petak, 01. Novembar 2013, 11:09
od Daniel
Iz tvog rešenja se dobije [inlmath]x_1=5s+1[/inlmath] i, kad to uvrstiš u prvu jednačinu sistema, ona će postati [inlmath]5s+1+9x_2+4x_3-5x_4=1[/inlmath]. Uradiš to za sve četiri promenljive, uvrstiš njihove vrednosti na isti ovaj način u svih pet jednačina sistema i ako su sve jednačine zadovoljene, rešenje je tačno.

Re: Gaussova metoda eliminacije

PostPoslato: Petak, 01. Novembar 2013, 11:53
od eseper
Druga je točna zato što su sve jednadžbe izražene preko jedne promjenjive, dok ja to nisam napravio... :)

Re: Gaussova metoda eliminacije

PostPoslato: Petak, 01. Novembar 2013, 12:02
od Daniel
eseper je napisao:Druga je točna zato što su sve jednadžbe izražene preko jedne promjenjive, dok ja to nisam napravio... :)

Misliš, promenljive? I u tvom rešenju su sve promenljive izražene preko jedne od tih promenljivih (preko [inlmath]x_4[/inlmath], tj. preko [inlmath]s[/inlmath] koje je jednako [inlmath]x_4[/inlmath]), samo što su u tvom rešenju pogrešne brojne vrednosi.

Re: Gaussova metoda eliminacije

PostPoslato: Petak, 01. Novembar 2013, 12:18
od eseper
Ja sam ostavio ovako:
[dispmath]x_1=-9x_2-4x_3+5s[/dispmath]
[dispmath]x_2=-3+x_3+2s[/dispmath]
[dispmath]x_3=\frac{15}{7}-\frac{6}{7}s[/dispmath]
[dispmath]x_4=s[/dispmath]
Odatle brojevi u prvom rješenju :)

Re: Gaussova metoda eliminacije

PostPoslato: Petak, 01. Novembar 2013, 12:25
od Daniel
Da, sad shvatam... Zbog toga su ti rešenja za [inlmath]x_3[/inlmath] i za [inlmath]x_4[/inlmath] tačna, budući da te dve promenljive nisi izrazio preko više od jedne promenljive...