Stranica 1 od 2

Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori matrica

PostPoslato: Subota, 26. Oktobar 2013, 16:07
od eseper
Odredite svojstvene vrijednosti matrica, njihove algebarske i geometrijske kratnosti i pripadne svojstvene vektore
[dispmath]A=\left[\begin{matrix}
-2 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\
2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 5 & -2 \\
0 & 0 &-1 &4
\end{matrix}\right][/dispmath]


[dispmath]\det(A-\lambda\,I)=\left|\begin{matrix}
-2-\lambda & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\
2 & -\lambda & 0 & 0 \\
0 & 0 & 5-\lambda & -2 \\
0 & 0 &-1 & 4-\lambda
\end{matrix}\right|=[/dispmath]
[dispmath]=\left|\begin{matrix}
-2-\lambda & -\frac{1}{2}\\
2 & -\lambda
\end{matrix}\right|\cdot\left|\begin{matrix}
5-\lambda & -2\\
-1 & 4-\lambda
\end{matrix}\right|=[/dispmath]
kada se to izmnoži, ispadne mi
[dispmath]=\lambda^4-7\lambda^3+\lambda^2+27\lambda+18[/dispmath]
međutim iz tog rješenja ne mogu odrediti algebarske i geometrijske kratnosti već moram imati točne vrijednosti lambde. Kako ih dobiti? Taj izraz sam (prema onome s nastave) dijelio s [inlmath]\lambda-3[/inlmath] pa onda imamo dijeljenje polinoma ([inlmath]3[/inlmath] zato što kada uvrstim u jednadžbu imam [inlmath]0=0[/inlmath] što je točno). Kao rezultat tog dijeljenja dobio sam [inlmath]\lambda^3-4\lambda^2-11\lambda-6[/inlmath] s ostatkom [inlmath]36[/inlmath], no očito se i s time ništa ne postiže...

Re: Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori matrica

PostPoslato: Subota, 26. Oktobar 2013, 23:23
od Daniel
Kao što si i sâm primetio, kad uvrstiš [inlmath]\lambda=3[/inlmath] u polinom [inlmath]\lambda^4-7\lambda^3+\lambda^2+27\lambda+18[/inlmath] dobićeš nulu kao vrednost polinoma. To znači da je [inlmath]\lambda=3[/inlmath] jedna od nula polinoma [inlmath]\lambda^4-7\lambda^3+\lambda^2+27\lambda+18[/inlmath], a to znači da će taj polinom biti deljiv binomom [inlmath]\left(\lambda-3\right)[/inlmath]. Prema tome, deljenjem polinoma [inlmath]\lambda^4-7\lambda^3+\lambda^2+27\lambda+18[/inlmath] binomom [inlmath]\left(\lambda-3\right)[/inlmath] mora se dobiti ostatak nula, a ne [inlmath]36[/inlmath]. Proveri to još jednom.
Inače, tačno je da se kao rezultat deljenja dobije [inlmath]\lambda^3-4\lambda^2-11\lambda-6[/inlmath], samo si pogrešio kod ostatka.

Re: Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori matrica

PostPoslato: Nedelja, 27. Oktobar 2013, 09:37
od eseper
a, falio sam pri samom kraju. Nema naravno ostatka.
I sada, opet ni iz tog izraza ne mogu dobiti točne vrijednosti, pa onda idem opet istim sistemom i dijelim taj novi polinom s [inlmath](\lambda -6)[/inlmath]. Kao rezultat dobijem [dispmath]\lambda^2+2\lambda+1[/dispmath]To izjednačim s nulom i dobijem točku [inlmath]\lambda=-1[/inlmath]

Dakle, imam
[inlmath]\lambda=3[/inlmath]
[inlmath]\lambda=6[/inlmath]
[inlmath]\lambda=-1[/inlmath]

Kada izmnožim [inlmath](\lambda-3)(\lambda-6)(\lambda+1)[/inlmath] i dalje ne dobivam onu jednadžbu sa početka, što znači da je negdje opet greška. Gdje?

Re: Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori matrica

PostPoslato: Ponedeljak, 28. Oktobar 2013, 01:42
od Daniel
[dispmath]{\lambda}^2+2\lambda+1=\left(\lambda+1\right)^2[/dispmath]To znači da je [inlmath]\lambda=-1[/inlmath] dvostruka nula ovog polinoma.

Prema tome,[dispmath]\lambda^4-7\lambda^3+\lambda^2+27\lambda+18=\left(\lambda-3\right)\left(\lambda-6\right)\left(\lambda+1\right)^2[/dispmath]

Re: Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori matrica

PostPoslato: Ponedeljak, 28. Oktobar 2013, 11:28
od eseper
Tako je :)
Evo što sam konačno dobio
[inlmath]\lambda=3[/inlmath]
alg. krat [inlmath]=1[/inlmath]
geom. krat [inlmath]=1[/inlmath]
[dispmath]\left[\begin{matrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4
\end{matrix}\right]=s\left[\begin{matrix}
0 \\
0 \\
1 \\
1
\end{matrix}\right][/dispmath]
[inlmath]\lambda=6[/inlmath]
alg. krat [inlmath]=[/inlmath] geom. krat [inlmath]=1[/inlmath]
[dispmath]\left[\begin{matrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4
\end{matrix}\right]=s\left[\begin{matrix}
0 \\
0 \\
-2 \\
1
\end{matrix}\right][/dispmath]
[inlmath]\lambda=-1[/inlmath]
alg. krat [inlmath]=2[/inlmath]
geom. krat [inlmath]=1[/inlmath]
[dispmath]\left[\begin{matrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4
\end{matrix}\right]=s\left[\begin{matrix}
-\frac{1}{2} \\
1 \\
0 \\
0
\end{matrix}\right][/dispmath]

Re: Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori matrica

PostPoslato: Utorak, 29. Oktobar 2013, 22:23
od eseper
[inlmath]2.[/inlmath]
[dispmath]A=\left[\begin{matrix}
1 & 2 & 2 \\
1 & 0 & -2 \\
-1 & 2 & 4
\end{matrix}\right][/dispmath]
Sarrusovom metodom dođemo do
[dispmath]\left(-\lambda^3+5\lambda^2-8\lambda+4\right):(\lambda -1)=-\lambda^2-+4\lambda-4[/dispmath]
Konačno u matricu umjesto lambde uvrštavam
[inlmath](1)\;\lambda=1[/inlmath]
[inlmath](2)\;\lambda=2[/inlmath]

za [inlmath](1)[/inlmath]
alg. krat. [inlmath]=[/inlmath] geo. krat [inlmath]=1[/inlmath]
[dispmath]\left[\begin{matrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{matrix}\right]=s\left[\begin{matrix}
1 \\
-1 \\
1
\end{matrix}\right][/dispmath]
za [inlmath](2)[/inlmath]
alg. krat [inlmath]=1[/inlmath]
geo. krat [inlmath]=2[/inlmath]
[dispmath]\left[\begin{matrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{matrix}\right]=s\left[\begin{matrix}
2 \\
1 \\
0
\end{matrix}\right]
t\left[\begin{matrix}
2 \\
0 \\
1
\end{matrix}\right][/dispmath]

Re: Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori matrica

PostPoslato: Sreda, 30. Oktobar 2013, 00:12
od Daniel
Uglavnom je OK, uz dve sitne ispravke.

Za [inlmath]\lambda=2[/inlmath] algebarska kratnost je [inlmath]2[/inlmath], jer je [inlmath]-\lambda^3+5\lambda^2-8\lambda+4=-\left(\lambda-1\right)\left(\lambda-2\right)^{\color{red}2}[/inlmath].

I, u poslednjem rezultatu ti fali plusić:
[dispmath]\left[\begin{matrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{matrix}\right]=s\left[\begin{matrix}
2 \\
1 \\
0
\end{matrix}\right]{\color{red}+}t\left[\begin{matrix}
2 \\
0 \\
1
\end{matrix}\right][/dispmath]

Re: Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori matrica

PostPoslato: Sreda, 30. Oktobar 2013, 13:10
od eseper
Očito je da si u pravu, međutim nisu mi jasne neke stvari.

Ako sam dobio ovo
[dispmath]\left(-\lambda^3+5\lambda^2-8\lambda+4\right):(\lambda -1)=-\lambda^2+4\lambda-4[/dispmath]
ne razumijem odakle u tvom rješenju minus ispred svega, i zbog čega imamo kvadrat, kada kao rezultat kvadratne jednadžbe imamo jedinstveno rješenje ([inlmath]2[/inlmath]) ?

Re: Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori matrica

PostPoslato: Sreda, 30. Oktobar 2013, 13:28
od Daniel
[inlmath]\lambda=2[/inlmath] jeste jedinstveno, ali dvostruko rešenje kvadratne jednačine [inlmath]-\lambda^2+4\lambda-4=0[/inlmath].
Rešenje [inlmath]\alpha[/inlmath] je dvostruko onda kada u polinomu kao faktor figuriše [inlmath]\left(x-\alpha\right)^2[/inlmath], tj. kad se deljenjem tog polinoma sa [inlmath]\left(x-\alpha\right)[/inlmath] dobije polinom koji je takođe deljiv sa [inlmath]\left(x-\alpha\right)[/inlmath].

Što se tiče jednačine [inlmath]-\lambda^2+4\lambda-4=0[/inlmath], na osnovu izraza za rešenja [inlmath]\lambda_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/inlmath] dobiješ da je [inlmath]\lambda_1=\lambda_2=2[/inlmath], a pošto svaki kvadratni polinom [inlmath]a\lambda^2+b\lambda+c[/inlmath] možeš zapisati u obliku [inlmath]a\left(\lambda-\lambda_1\right)\left(\lambda-\lambda_2\right)[/inlmath], gde su [inlmath]\lambda_1[/inlmath] i [inlmath]\lambda_2[/inlmath] nule tog polinoma, onda ovaj kvadratni polinom, u kome je [inlmath]a=-1[/inlmath] i [inlmath]\lambda_1=\lambda_2=2[/inlmath], možeš zapisati kao [inlmath]-\left(\lambda-2\right)\left(\lambda-2\right)[/inlmath], tj. kao [inlmath]-\left(\lambda-2\right)^2[/inlmath].

A možeš i na ovaj način: ispred [inlmath]-\lambda^2+4\lambda-4[/inlmath] izvučeš minus, pa dobiješ [inlmath]-\left(\lambda^2-4\lambda+4\right)[/inlmath] i odmah vidiš da je ovo u zagradi zapravo kvadrat binoma, tako da je taj izraz jednak [inlmath]-\left(\lambda-2\right)^2[/inlmath].

Re: Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori matrica

PostPoslato: Sreda, 30. Oktobar 2013, 15:37
od eseper
Ok, to sam razumio... :)
Što se tiče minusa... smijem li ga tek tako ostaviti ispred zagrada ili ući s njim u zagradu u kojoj je to moguće (u ovom slučaju prva) :?: