Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Dva zadatka – Gausov postupak eliminacije, matrica

Matrice, determinante...

Moderator: Corba248

Dva zadatka – Gausov postupak eliminacije, matrica

Postod johnnybgood » Utorak, 05. Novembar 2013, 15:32

Pozdrav svima. Novi sam clan potrebna mi je pomoc da resim par zadataka- ne morate cele raditi makar zapoceti, kako ste raspolozeni :)

Dat je sistem linearnih jednačina. Rešiti ga pomoću Gausovog postupka eliminacije. Prema Kroneker-Kapelijevoj teoremi analizirati dobijeno rešenje.
[dispmath]\begin{array}{rrrrcc}
x & +3y & & +4w & = & 0\\
2x & -6y & +3z & +2w & = & 0\\
-x & +8y & -4z & -w & = & 0\\
& y & +2z & +5w & = & 0
\end{array}[/dispmath]
(7. zadatak u pdf-u)



Data je matrica [inlmath]A[/inlmath]. Pokazati da je [inlmath]A^3=3^2\cdot A[/inlmath].
[dispmath]A=\begin{bmatrix}
2 & -1 & -1\\
-1 & 2 & -1\\
-1 & -1 & 2
\end{bmatrix}[/dispmath]
(8. zadatak u istom fajlu)

Potrebno mi je makar da se zapocnu. Sedmi sam uradio ali nisam siguran da li je ok resenje jer nisu ''celi'' brojevi mada nije ni receno da moraju biti.
Korisnikov avatar
 
Postovi: 32
Zahvalio se: 12 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Dva zadatka – Gausov postupak eliminacije, matrica

Postod eseper » Utorak, 05. Novembar 2013, 16:31

Pozdrav i tebi, dobrodošao na forum :)
Što se tiče sedmog zadatka, ja sam dobio sljedeće jednadžbe:
[dispmath]\begin{array}{rrrrcc}
x & +3y & & +4w & = & 0\\
& y & +2z & +5w & = & 0\\
& & -z & -2w & = & 0\\
& & & w & = & s
\end{array}[/dispmath]
Iz prve sam izrazio [inlmath]x[/inlmath], druge [inlmath]y[/inlmath]. [inlmath]w[/inlmath] uvrstiš u treću.
[dispmath]x=-3y-4w\\
y=-2z-5w\\
-z=2w[/dispmath]
Iz toga proizlazi
[dispmath]z=-2s\\
y=-s\\
x=-s\\
\cdots[/dispmath]
Ako ti nije jasno kako doći do ovoga, samo kaži ;)
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Re: Dva zadatka – Gausov postupak eliminacije, matrica

Postod eseper » Utorak, 05. Novembar 2013, 16:56

[inlmath]8.[/inlmath] bih ovako radio:
Prvo bih izračunao [inlmath]A^3[/inlmath] što je zapravo [inlmath]A^2\cdot A[/inlmath]. Potom bih pomnožio [inlmath]9[/inlmath] sa [inlmath]A[/inlmath].
Ukoliko dobijem [inlmath]A^3=9\cdot A[/inlmath], jednakost je dokazana :)
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

  • +1

Re: Dva zadatka – Gausov postupak eliminacije, matrica

Postod Daniel » Utorak, 05. Novembar 2013, 17:17

Imaš dobrodošlicu i od mene. :)

Evo mog načina za [inlmath]8.[/inlmath] zadatak:
johnnybgood je napisao:Data je matrica [inlmath]A[/inlmath]. Pokazati da je [inlmath]A^3=3^2\cdot A[/inlmath].
[dispmath]A=\begin{bmatrix}
2 & -1 & -1\\
-1 & 2 & -1\\
-1 & -1 & 2
\end{bmatrix}[/dispmath]

Prvo nađemo [inlmath]A^2[/inlmath]:
[dispmath]A^2=A\cdot A=\left[\begin{matrix}
2 & -1 & -1 \\
-1 & 2 & -1 \\
-1 & -1 & 2
\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}
2 & -1 & -1 \\
-1 & 2 & -1 \\
-1 & -1 & 2
\end{matrix}\right]=[/dispmath]
[dispmath]=\left[\begin{matrix}
2\cdot 2+\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)+\left(-1\right)\cdot\left(-1\right) & 2\cdot\left(-1\right)+\left(-1\right)\cdot 2+\left(-1\right)\cdot\left(-1\right) & 2\cdot\left(-1\right)+\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)+\left(-1\right)\cdot 2 \\
\left(-1\right)\cdot 2+2\cdot\left(-1\right)+\left(-1\right)\cdot\left(-1\right) & \left(-1\right)\cdot\left(-1\right)+2\cdot 2+\left(-1\right)\cdot\left(-1\right) & \left(-1\right)\cdot\left(-1\right)+2\cdot\left(-1\right)+\left(-1\right)\cdot 2 \\
\left(-1\right)\cdot 2+\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)+2\cdot\left(-1\right) & \left(-1\right)\cdot\left(-1\right)+\left(-1\right)\cdot 2+2\cdot\left(-1\right) & \left(-1\right)\cdot\left(-1\right)+\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)+2\cdot 2
\end{matrix}\right]=[/dispmath]
[dispmath]=\left[\begin{matrix}
6 & -3 & -3 \\
-3 & 6 & -3 \\
-3 & -3 & 6
\end{matrix}\right][/dispmath]
Sada, da bi dobio [inlmath]A^3[/inlmath], jedan način je da ovo [inlmath]A^2[/inlmath] pomnožiš sa [inlmath]A[/inlmath]:
[dispmath]A^3=A^2\cdot A=\left[\begin{matrix}
6 & -3 & -3 \\
-3 & 6 & -3 \\
-3 & -3 & 6
\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}
2 & -1 & -1 \\
-1 & 2 & -1 \\
-1 & -1 & 2
\end{matrix}\right]=\cdots[/dispmath]
ali drugi, elegantniji način je da uočiš sledeće:
[dispmath]A^2=\left[\begin{matrix}
6 & -3 & -3 \\
-3 & 6 & -3 \\
-3 & -3 & 6
\end{matrix}\right]=3\cdot\left[\begin{matrix}
2 & -1 & -1 \\
-1 & 2 & -1 \\
-1 & -1 & 2
\end{matrix}\right]=3\cdot A[/dispmath]
Odatle možeš vrlo lako izračunati [inlmath]A^3[/inlmath]:
[dispmath]A^3=A^2\cdot A=\left(3\cdot A\right)\cdot A=3\cdot\left(A\cdot A\right)=3\cdot A^2=3\cdot\left(3\cdot A\right)=\left(3\cdot 3\right)\cdot A=3^2\cdot A[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7680
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Re: Dva zadatka – Gausov postupak eliminacije, matrica

Postod johnnybgood » Utorak, 05. Novembar 2013, 17:23

Hvala eseper mislim da sam skontao 7. mi jer sam tako nesto radio, osmi cu pogledati posle.
Hvala daniele, taj zadatak cu izbeci :D
Korisnikov avatar
 
Postovi: 32
Zahvalio se: 12 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Dva zadatka – Gausov postupak eliminacije, matrica

Postod Daniel » Utorak, 05. Novembar 2013, 17:40

johnnybgood je napisao:Hvala daniele, taj zadatak cu izbeci :D

Daj, ne zezaj. :P Zadatak je vrlo jednostavan, nego te je možda uplašilo to što sam radio preterano postupno, inače bi sve to moglo u dva reda da se napiše. Reci šta te muči u tom zadatku, pa da razjasnimo, zaista nije težak.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7680
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Re: Dva zadatka – Gausov postupak eliminacije, matrica

Postod johnnybgood » Utorak, 05. Novembar 2013, 17:49

Fora je sto taj zadatak verovatno nece ni biti na kolokvijumu vec je dat samo za domaci pa zato :).
Korisnikov avatar
 
Postovi: 32
Zahvalio se: 12 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Dva zadatka – Gausov postupak eliminacije, matrica

Postod maxaa » Subota, 16. Novembar 2013, 17:23

Daniel je napisao:ali drugi, elegantniji način je da uočiš sledeće:
[dispmath]A^2=\left[\begin{matrix}
6 & -3 & -3 \\
-3 & 6 & -3 \\
-3 & -3 & 6
\end{matrix}\right]=3\cdot\left[\begin{matrix}
2 & -1 & -1 \\
-1 & 2 & -1 \\
-1 & -1 & 2
\end{matrix}\right]=3\cdot A[/dispmath]
Odatle možeš vrlo lako izračunati [inlmath]A^3[/inlmath]:
[dispmath]A^3=A^2\cdot A=\left(3\cdot A\right)\cdot A=3\cdot\left(A\cdot A\right)=3\cdot A^2=3\cdot\left(3\cdot A\right)=\left(3\cdot 3\right)\cdot A=3^2\cdot A[/dispmath]

Moze li samo objasnjenje kako je uoceno da je [inlmath]A^2=3A[/inlmath], zanima me jer vidim da se dosta brze dolazi do resenja, a na kolokvijumima smo uslovljeni velicinom prostora za resavanje zadataka? :)
Obrazovanje, to je ono, što ostane, nakon što osoba zaboravi sve, što je naučila u školi.
Albert Einstein
Korisnikov avatar
maxaa  OFFLINE
 
Postovi: 176
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 98 puta
Pohvaljen: 20 puta

Re: Dva zadatka – Gausov postupak eliminacije, matrica

Postod Daniel » Subota, 16. Novembar 2013, 20:52

Pa napisao sam objašnjenje, i to upravo u ovom delu koji si citirao. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7680
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Re: Dva zadatka – Gausov postupak eliminacije, matrica

Postod maxaa » Subota, 16. Novembar 2013, 21:22

Znaci iz tog dela sam trebao da zakljucim? Nisam razumeo, zbog toga sto je taj zakljucak dosao tek na kraju, hmm tesko da bih to uocio na prvu loptu. Hvala. :-)
Obrazovanje, to je ono, što ostane, nakon što osoba zaboravi sve, što je naučila u školi.
Albert Einstein
Korisnikov avatar
maxaa  OFFLINE
 
Postovi: 176
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 98 puta
Pohvaljen: 20 puta

Sledeća

Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 20. Avgust 2019, 00:22 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs