Stranica 1 od 2

Dva zadatka – Gausov postupak eliminacije, matrica

PostPoslato: Utorak, 05. Novembar 2013, 14:32
od johnnybgood
Pozdrav svima. Novi sam clan potrebna mi je pomoc da resim par zadataka- ne morate cele raditi makar zapoceti, kako ste raspolozeni :)

Dat je sistem linearnih jednačina. Rešiti ga pomoću Gausovog postupka eliminacije. Prema Kroneker-Kapelijevoj teoremi analizirati dobijeno rešenje.
[dispmath]\begin{array}{rrrrcc}
x & +3y & & +4w & = & 0\\
2x & -6y & +3z & +2w & = & 0\\
-x & +8y & -4z & -w & = & 0\\
& y & +2z & +5w & = & 0
\end{array}[/dispmath]
(7. zadatak u pdf-u)



Data je matrica [inlmath]A[/inlmath]. Pokazati da je [inlmath]A^3=3^2\cdot A[/inlmath].
[dispmath]A=\begin{bmatrix}
2 & -1 & -1\\
-1 & 2 & -1\\
-1 & -1 & 2
\end{bmatrix}[/dispmath]
(8. zadatak u istom fajlu)

Potrebno mi je makar da se zapocnu. Sedmi sam uradio ali nisam siguran da li je ok resenje jer nisu ''celi'' brojevi mada nije ni receno da moraju biti.

Re: Dva zadatka – Gausov postupak eliminacije, matrica

PostPoslato: Utorak, 05. Novembar 2013, 15:31
od eseper
Pozdrav i tebi, dobrodošao na forum :)
Što se tiče sedmog zadatka, ja sam dobio sljedeće jednadžbe:
[dispmath]\begin{array}{rrrrcc}
x & +3y & & +4w & = & 0\\
& y & +2z & +5w & = & 0\\
& & -z & -2w & = & 0\\
& & & w & = & s
\end{array}[/dispmath]
Iz prve sam izrazio [inlmath]x[/inlmath], druge [inlmath]y[/inlmath]. [inlmath]w[/inlmath] uvrstiš u treću.
[dispmath]x=-3y-4w\\
y=-2z-5w\\
-z=2w[/dispmath]
Iz toga proizlazi
[dispmath]z=-2s\\
y=-s\\
x=-s\\
\cdots[/dispmath]
Ako ti nije jasno kako doći do ovoga, samo kaži ;)

Re: Dva zadatka – Gausov postupak eliminacije, matrica

PostPoslato: Utorak, 05. Novembar 2013, 15:56
od eseper
[inlmath]8.[/inlmath] bih ovako radio:
Prvo bih izračunao [inlmath]A^3[/inlmath] što je zapravo [inlmath]A^2\cdot A[/inlmath]. Potom bih pomnožio [inlmath]9[/inlmath] sa [inlmath]A[/inlmath].
Ukoliko dobijem [inlmath]A^3=9\cdot A[/inlmath], jednakost je dokazana :)

Re: Dva zadatka – Gausov postupak eliminacije, matrica

PostPoslato: Utorak, 05. Novembar 2013, 16:17
od Daniel
Imaš dobrodošlicu i od mene. :)

Evo mog načina za [inlmath]8.[/inlmath] zadatak:
johnnybgood je napisao:Data je matrica [inlmath]A[/inlmath]. Pokazati da je [inlmath]A^3=3^2\cdot A[/inlmath].
[dispmath]A=\begin{bmatrix}
2 & -1 & -1\\
-1 & 2 & -1\\
-1 & -1 & 2
\end{bmatrix}[/dispmath]

Prvo nađemo [inlmath]A^2[/inlmath]:
[dispmath]A^2=A\cdot A=\left[\begin{matrix}
2 & -1 & -1 \\
-1 & 2 & -1 \\
-1 & -1 & 2
\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}
2 & -1 & -1 \\
-1 & 2 & -1 \\
-1 & -1 & 2
\end{matrix}\right]=[/dispmath]
[dispmath]=\left[\begin{matrix}
2\cdot 2+\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)+\left(-1\right)\cdot\left(-1\right) & 2\cdot\left(-1\right)+\left(-1\right)\cdot 2+\left(-1\right)\cdot\left(-1\right) & 2\cdot\left(-1\right)+\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)+\left(-1\right)\cdot 2 \\
\left(-1\right)\cdot 2+2\cdot\left(-1\right)+\left(-1\right)\cdot\left(-1\right) & \left(-1\right)\cdot\left(-1\right)+2\cdot 2+\left(-1\right)\cdot\left(-1\right) & \left(-1\right)\cdot\left(-1\right)+2\cdot\left(-1\right)+\left(-1\right)\cdot 2 \\
\left(-1\right)\cdot 2+\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)+2\cdot\left(-1\right) & \left(-1\right)\cdot\left(-1\right)+\left(-1\right)\cdot 2+2\cdot\left(-1\right) & \left(-1\right)\cdot\left(-1\right)+\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)+2\cdot 2
\end{matrix}\right]=[/dispmath]
[dispmath]=\left[\begin{matrix}
6 & -3 & -3 \\
-3 & 6 & -3 \\
-3 & -3 & 6
\end{matrix}\right][/dispmath]
Sada, da bi dobio [inlmath]A^3[/inlmath], jedan način je da ovo [inlmath]A^2[/inlmath] pomnožiš sa [inlmath]A[/inlmath]:
[dispmath]A^3=A^2\cdot A=\left[\begin{matrix}
6 & -3 & -3 \\
-3 & 6 & -3 \\
-3 & -3 & 6
\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}
2 & -1 & -1 \\
-1 & 2 & -1 \\
-1 & -1 & 2
\end{matrix}\right]=\cdots[/dispmath]
ali drugi, elegantniji način je da uočiš sledeće:
[dispmath]A^2=\left[\begin{matrix}
6 & -3 & -3 \\
-3 & 6 & -3 \\
-3 & -3 & 6
\end{matrix}\right]=3\cdot\left[\begin{matrix}
2 & -1 & -1 \\
-1 & 2 & -1 \\
-1 & -1 & 2
\end{matrix}\right]=3\cdot A[/dispmath]
Odatle možeš vrlo lako izračunati [inlmath]A^3[/inlmath]:
[dispmath]A^3=A^2\cdot A=\left(3\cdot A\right)\cdot A=3\cdot\left(A\cdot A\right)=3\cdot A^2=3\cdot\left(3\cdot A\right)=\left(3\cdot 3\right)\cdot A=3^2\cdot A[/dispmath]

Re: Dva zadatka – Gausov postupak eliminacije, matrica

PostPoslato: Utorak, 05. Novembar 2013, 16:23
od johnnybgood
Hvala eseper mislim da sam skontao 7. mi jer sam tako nesto radio, osmi cu pogledati posle.
Hvala daniele, taj zadatak cu izbeci :D

Re: Dva zadatka – Gausov postupak eliminacije, matrica

PostPoslato: Utorak, 05. Novembar 2013, 16:40
od Daniel
johnnybgood je napisao:Hvala daniele, taj zadatak cu izbeci :D

Daj, ne zezaj. :P Zadatak je vrlo jednostavan, nego te je možda uplašilo to što sam radio preterano postupno, inače bi sve to moglo u dva reda da se napiše. Reci šta te muči u tom zadatku, pa da razjasnimo, zaista nije težak.

Re: Dva zadatka – Gausov postupak eliminacije, matrica

PostPoslato: Utorak, 05. Novembar 2013, 16:49
od johnnybgood
Fora je sto taj zadatak verovatno nece ni biti na kolokvijumu vec je dat samo za domaci pa zato :).

Re: Dva zadatka – Gausov postupak eliminacije, matrica

PostPoslato: Subota, 16. Novembar 2013, 16:23
od maxaa
Daniel je napisao:ali drugi, elegantniji način je da uočiš sledeće:
[dispmath]A^2=\left[\begin{matrix}
6 & -3 & -3 \\
-3 & 6 & -3 \\
-3 & -3 & 6
\end{matrix}\right]=3\cdot\left[\begin{matrix}
2 & -1 & -1 \\
-1 & 2 & -1 \\
-1 & -1 & 2
\end{matrix}\right]=3\cdot A[/dispmath]
Odatle možeš vrlo lako izračunati [inlmath]A^3[/inlmath]:
[dispmath]A^3=A^2\cdot A=\left(3\cdot A\right)\cdot A=3\cdot\left(A\cdot A\right)=3\cdot A^2=3\cdot\left(3\cdot A\right)=\left(3\cdot 3\right)\cdot A=3^2\cdot A[/dispmath]

Moze li samo objasnjenje kako je uoceno da je [inlmath]A^2=3A[/inlmath], zanima me jer vidim da se dosta brze dolazi do resenja, a na kolokvijumima smo uslovljeni velicinom prostora za resavanje zadataka? :)

Re: Dva zadatka – Gausov postupak eliminacije, matrica

PostPoslato: Subota, 16. Novembar 2013, 19:52
od Daniel
Pa napisao sam objašnjenje, i to upravo u ovom delu koji si citirao. :)

Re: Dva zadatka – Gausov postupak eliminacije, matrica

PostPoslato: Subota, 16. Novembar 2013, 20:22
od maxaa
Znaci iz tog dela sam trebao da zakljucim? Nisam razumeo, zbog toga sto je taj zakljucak dosao tek na kraju, hmm tesko da bih to uocio na prvu loptu. Hvala. :-)