Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

Matrice, determinante...

Moderator: Corba248

Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

Postod smaka7 » Subota, 09. Novembar 2013, 04:59

Pozdrav svima. Imam jedno pitanje, ko je dobre volje da mi pomogne bicu veoma zahvalan. Trazim pomoc pri resavanju zadataka, i ako je neko voljan da odradi po neki. :) Inace hvala unapred svima koji budu hteli da mi pomognu!


1. Izračunati zbir [inlmath]{7\choose 4}+{8\choose 5}+{9\choose 6}+{10\choose 7}[/inlmath]

2. Ispitati da li sistem ima rešenja i ako ima odrediti koja su. Sistem rešiti pomoću determinanti:
[dispmath]\begin{array}{rrrcc}
3x & -2y & +2z & = & 5\\
-x & -4y & & = & -3\\
2x & +3y & -2z & = & 0
\end{array}[/dispmath]
3. Date su matrice:
[dispmath]A=\begin{bmatrix}
2 & 1\\
1 & -3
\end{bmatrix};\;B=\begin{bmatrix}
-2 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix};\;C=\begin{bmatrix}
-3 & 5\\
2 & -4
\end{bmatrix}[/dispmath]
Odrediti [inlmath]2A-3B^{-1}+C^{-1}[/inlmath]

4. Rešiti sistem linearnih algebarskih jednačina matričnom metodom:
[dispmath]\begin{array}{rrcc}
x & +y & = & 4\\
\frac{2}{3}x & +2y & = & 8
\end{array}[/dispmath]
5. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije: [inlmath]y=\frac{x+4}{x-4}[/inlmath]



1. Rešiti integral:
[dispmath]\int\left(\left(x^5+2\left(x^3+2\right)+x\right)\cdot\ln\left(3-x\right)\right)\mathrm dx[/dispmath]
2. Rešiti integral:
[dispmath]\int\frac{2x^4-6x^2-x}{x^3+2x^2+1}\mathrm dx[/dispmath]
3. Ukoliko [inlmath]230\mbox{ kg}[/inlmath] robe [inlmath]A[/inlmath] košta kao [inlmath]5\mbox{ kg}[/inlmath] robe [inlmath]B[/inlmath], [inlmath]21\mbox{ kg}[/inlmath] robe [inlmath]B[/inlmath] košta [inlmath]10\:$[/inlmath], a [inlmath]1\:$[/inlmath] vredi [inlmath]0,8\:€[/inlmath]. Koliko se kilograma robe [inlmath]A[/inlmath] može kupiti za [inlmath]144\:€[/inlmath]?

4. Koju sumu novca treba uložiti 11.12.2012. godine da bi se 11.06.2013. godine po stopi od [inlmath]2,5\%[/inlmath] podigla suma od [inlmath]1405,25\:€[/inlmath] uz uslov [inlmath]\left(k,365\right)[/inlmath]?

5. Izračunati koliku kamatu donosi kapital od [inlmath]1036\:€[/inlmath] koji je uložen na štednju od [inlmath]3[/inlmath] godine, [inlmath]9[/inlmath] meseci sa tromesečnim (kvartalnim) kapitalisanjem po stopi od [inlmath]7,34\%[/inlmath]
Poslednji put menjao Daniel dana Utorak, 11. Mart 2014, 13:47, izmenjena samo jedanput
Razlog: Prekucavanje sadržaja slike; uklanjanje slike
smaka7  OFFLINE
 
Postovi: 21
Zahvalio se: 10 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

Postod Daniel » Subota, 09. Novembar 2013, 16:42

Pozdrav i tebi, dobro nam došao na forum. :)

Zamolio bih te samo, za ubuduće, da prelistaš naš Pravilnik, a pogotovo tačke 6, 8, 10, 12 i 14. :)

smaka7 je napisao:1. Izračunati zbir [inlmath]{7\choose 4}+{8\choose 5}+{9\choose 6}+{10\choose 7}[/inlmath]

Binomni koeficijent [inlmath]n\choose k[/inlmath] možeš zapisati kao [inlmath]\frac{n!}{\left(n-k\right)!\cdot k!}[/inlmath]. Primera radi, [inlmath]7\choose 4[/inlmath] pišeš kao [inlmath]\frac{7!}{\left(7-4\right)!\cdot 4!}[/inlmath] i dalje računaš:
[dispmath]{7\choose 4}=\frac{7!}{\left(7-4\right)!\cdot 4!}=\frac{7!}{3!\cdot 4!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot\cancel{4!}}{3!\cdot\cancel{4!}}=\frac{7\cdot\cancel 6\cdot 5}{\cancel 6}=7\cdot 5=35[/dispmath]
Po istom principu sračunaš i preostale binomne koeficijente – [inlmath]8\choose 5[/inlmath], [inlmath]9\choose 6[/inlmath] i [inlmath]10\choose 7[/inlmath].
Na kraju ih sve sabereš i, ako si sve dobro odradio, treba da dobiješ rezultat [inlmath]295[/inlmath].

smaka7 je napisao:2. Ispitati da li sistem ima rešenja i ako ima odrediti koja su. Sistem rešiti pomoću determinanti:
[dispmath]\begin{array}{rrrcc}
3x & -2y & +2z & = & 5\\
-x & -4y & & = & -3\\
2x & +3y & -2z & = & 0
\end{array}[/dispmath]

Rešiti sistem pomoću determinanti, znači rešiti ga koristeći Kramerove formule. Prvo formiraš determinantu sistema [inlmath]\Delta[/inlmath] čiji elementi predstavljaju koeficijente uz nepoznate u zadatim jednačinama:
[dispmath]\Delta=\left|\begin{matrix}
3 & -2 & 2 \\
-1 & -4 & 0 \\
2 & 3 & -2
\end{matrix}\right|[/dispmath]
i izračunaš vrednost te determinante (možeš preko Sarusovog pravila, pošto je to determinanta trećeg reda).

Zatim formiraš determinante nepoznatih – [inlmath]\Delta_x[/inlmath], [inlmath]\Delta_y[/inlmath] i [inlmath]\Delta_z[/inlmath], tako što u determinanti [inlmath]\Delta[/inlmath] kolonu koja predstavlja koeficijente uz odgovarajuću nepoznatu zameniš kolonom koja predstavlja slobodne koeficijente. Konkretno, determinantu nepoznate [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]\Delta_x[/inlmath], dobiješ tako što u determinanti [inlmath]\Delta[/inlmath] kolonu koja predstavlja koeficijente uz nepoznatu [inlmath]x[/inlmath], a to su [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath], zameniš kolonom sa slobodnim koeficijentima, a to su [inlmath]5[/inlmath], [inlmath]-3[/inlmath] i [inlmath]0[/inlmath]:
[dispmath]\Delta_x=\left|\begin{matrix}
5 & -2 & 2 \\
-3 & -4 & 0 \\
0 & 3 & -2
\end{matrix}\right|[/dispmath]
i zatim izračunaš i njenu vrednost.

Isti postupak ponoviš pri formiranju determinanti [inlmath]\Delta_y[/inlmath] i [inlmath]\Delta_z[/inlmath].

Vrednosti nepoznatih dobiješ po sledećim formulama:
[dispmath]x=\frac{\Delta_x}{\Delta},\quad y=\frac{\Delta_y}{\Delta},\quad z=\frac{\Delta_z}{\Delta}[/dispmath]
Na kraju treba da dobiješ rešenja:
[dispmath]x=\frac{17}{19},\quad y=\frac{10}{19},\quad z=\frac{32}{19}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7776
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4144 puta

  • +2

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

Postod eseper » Subota, 09. Novembar 2013, 17:24

Dobrodošao :)

smaka7 je napisao:3. Date su matrice:
[dispmath]A=\begin{bmatrix}
2 & 1\\
1 & -3
\end{bmatrix};\;B=\begin{bmatrix}
-2 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix};\;C=\begin{bmatrix}
-3 & 5\\
2 & -4
\end{bmatrix}[/dispmath]
Odrediti [inlmath]2A-3B^{-1}+C^{-1}[/inlmath]

Za ovaj zadatak treba znati računati inverzne matrice (a preduvjet za to je da znaš računati determinante i znati što je transponirana matrica). Da puno ne pišem, prilažem sliku na kojoj je najbolje objašnjeno sve ovo što sam rekao.

* MOD EDIT * Konverzija slike u Latex-kôd:
[dispmath]A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left[\begin{matrix}
A_{11} & A_{12} \\
A_{21} & A_{22}
\end{matrix}\right]^T,[/dispmath]
[dispmath]\begin{matrix}
A_{11}=\left(-1\right)^{1+1}d=d, & A_{12}=\left(-1\right)^{1+2}c=-c, \\
A_{21}=\left(-1\right)^{2+1}b=-b, & A_{22}=\left(-1\right)^{2+2}a=a.
\end{matrix}[/dispmath]
[dispmath]A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{matrix}
d & -c \\
-b & a
\end{matrix}\right]^T=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{matrix}
d & -b \\
-c & a
\end{matrix}\right].[/dispmath]
Po ovom principu, dobiješ da je
[dispmath]B^{-1}=\left[\begin{matrix}
0 & 1 \\
1 & -2
\end{matrix}\right],\;C^{-1}=\frac{1}{2}\left[\begin{matrix}
-4 & -5 \\
-2 & -3
\end{matrix}\right].[/dispmath]

Konačno, kada izvršiš sve potrebne operacije, kao rješenje dobiješ
[dispmath]2A-3B^{-1}+C^{-1}=B^{-1}=\left[\begin{matrix}
2 & -3 \\
4 & -\frac{3}{2}
\end{matrix}\right][/dispmath]
Poslednji put menjao Daniel dana Subota, 09. Novembar 2013, 18:04, izmenjena samo jedanput
Razlog: Konverzija slike u Latex-kôd
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

  • +2

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

Postod Daniel » Subota, 09. Novembar 2013, 18:21

Samo male ispravke, Eseper... Za [inlmath]B^{-1}[/inlmath] se dobije
[dispmath]B^{-1}=\left[\begin{matrix}
0 & 1 \\
-1 & -2
\end{matrix}\right][/dispmath]
(znači, [inlmath]-1[/inlmath] na mestu dole levo), a u poslednjem redu
[dispmath]2A-3B^{-1}+C^{-1}{\color{red}=B^{-1}}=\left[\begin{matrix}
2 & -3 \\
4 & -\frac{3}{2}
\end{matrix}\right][/dispmath]
deo obojen crvenom bojom je suvišan (verovatno greška u kucanju), i kao krajnji rezultat ne dobija se [inlmath]\left[\begin{matrix}
2 & -3 \\
4 & -\frac{3}{2}
\end{matrix}\right][/inlmath], već [inlmath]\left[\begin{matrix}
2 & -\frac{7}{2} \\
4 & -\frac{3}{2}
\end{matrix}\right][/inlmath].

Inače, valja napomenuti da [inlmath]\left[\begin{matrix}
A_{11} & A_{12} \\
A_{21} & A_{22}
\end{matrix}\right]^T[/inlmath] predstavlja, zapravo, adjungovanu matricu matrice [inlmath]A[/inlmath], pa se inverzna matrica može računati po formuli [inlmath]A^{-1}=\frac{\mathrm{adj}\:A}{\det A}[/inlmath], pri čemu je kod matrica drugog reda [inlmath]\mathrm{adj}\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
d & -b \\
-c & a
\end{matrix}\right][/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7776
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4144 puta

  • +1

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

Postod Daniel » Subota, 09. Novembar 2013, 19:02

smaka7 je napisao:4. Rešiti sistem linearnih algebarskih jednačina matričnom metodom:
[dispmath]\begin{array}{rrcc}
x & +y & = & 4\\
\frac{2}{3}x & +2y & = & 8
\end{array}[/dispmath]

U opštem slučaju, kad imaš sistem
[dispmath]\begin{matrix}
ax & +by & = & e \\
cx & +dy & = & f
\end{matrix}[/dispmath]
taj sistem se u matričnom obliku može napisati kao:
[dispmath]\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}
x \\
y
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
e \\
f
\end{matrix}\right][/dispmath]
Pomnožimo obe strane te jednačine sleva sa inverznom matricom matrice [inlmath]\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right][/inlmath]:
[dispmath]\underbrace{\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right]^{-1}\cdot\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right]}_I\cdot\left[\begin{matrix}
x \\
y
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right]^{-1}\cdot\left[\begin{matrix}
e \\
f
\end{matrix}\right][/dispmath]
gde proizvod [inlmath]\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right]^{-1}\cdot\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right][/inlmath] daje jediničnu matricu [inlmath]I[/inlmath] (neutralni element pri množenju matrica):
[dispmath]I\cdot\left[\begin{matrix}
x \\
y
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right]^{-1}\cdot\left[\begin{matrix}
e \\
f
\end{matrix}\right][/dispmath]
to jest
[dispmath]\left[\begin{matrix}
x \\
y
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right]^{-1}\cdot\left[\begin{matrix}
e \\
f
\end{matrix}\right][/dispmath]
Inverznu matricu [inlmath]\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right]^{-1}[/inlmath] znaš kako da nađeš, napisali smo ti u prethodnim postovima – kao [inlmath]\frac{\mathrm{adj}\:A}{\det A}[/inlmath], gde je [inlmath]\mathrm{adj}\:\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
d & -b \\
-c & a
\end{matrix}\right][/inlmath].
Sad u ceo taj postupak samo uvrsti konkretne brojne vrednosti iz ovog zadatka, nađi inverznu matricu, pomnoži je s matricom slobodnih koeficijenata...

Treba da dobiješ
[dispmath]\left[\begin{matrix}
x \\
y
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
0 \\
4
\end{matrix}\right][/dispmath]
smaka7 je napisao:5. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije: [inlmath]y=\frac{x+4}{x-4}[/inlmath]

Ispitivanje funkcije ide u više faza: ispitivanje domena, ispitivanje asimptota, ispitivanje nula i znaka funkcije, ispitivanje ekstremnih vrednosti i intervala monotonosti itd. Pošto je u pitanju obiman posao, da ne bismo sad ovde sve to radili, pregledaj razne primere koji su dosad rađeni u rubrici „Grafik funkcije“ i pitaj ako ti neka konkretna od tih faza nije jasna.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7776
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4144 puta

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

Postod smaka7 » Sreda, 13. Novembar 2013, 20:08

Ljudi hvala Vam na pomoci puno!
smaka7  OFFLINE
 
Postovi: 21
Zahvalio se: 10 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

Postod smaka7 » Sreda, 13. Novembar 2013, 21:10

Malo me buni prvi zadatak, ja sam dobio resenje [inlmath]234[/inlmath]. ne znam kako da se dobije [inlmath]295[/inlmath]? kod [inlmath]{8\choose 5}[/inlmath] sam dobio resenje [inlmath]48[/inlmath], kod [inlmath]{9\choose 6}[/inlmath] [inlmath]63[/inlmath],kod [inlmath]{10\choose 7}[/inlmath] [inlmath]80[/inlmath].
smaka7  OFFLINE
 
Postovi: 21
Zahvalio se: 10 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +2

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

Postod Daniel » Sreda, 13. Novembar 2013, 23:14

A što ne priložiš svoj postupak, pa da ti kažemo gde je greška?

Evo ti postupak još za [inlmath]8\choose 5[/inlmath], pa uporedi sa svojim računom:
[dispmath]{8\choose 5}=\frac{8!}{\left(8-5\right)!\cdot 5!}=\frac{8!}{3!\cdot 5!}=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot\cancel{5!}}{3!\cdot\cancel{5!}}=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2}=\frac{8\cdot 7\cdot\cancel 6}{\cancel 6}=8\cdot 7=56[/dispmath]
Za [inlmath]9\choose 6[/inlmath] treba da dobiješ da je [inlmath]84[/inlmath], a za [inlmath]10\choose 7[/inlmath] da je [inlmath]120[/inlmath]. Ako ne dobiješ te vrednosti, javi pa da pomognemo, ali molim te, napiši kako si radio pa ćemo ti reći koji korak ti ne valja...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7776
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4144 puta

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

Postod smaka7 » Četvrtak, 14. Novembar 2013, 17:18

Ja sam se zbunio bio sada mi je sve kako treba,valja malo mozak upotrebiti. :) E sada da pitam kod drugog zadatka. Ja za Determinantu dobijem resenje [inlmath]38[/inlmath] a za determinantu [inlmath]X[/inlmath] resenje [inlmath]34[/inlmath] i to kada se podeli na pola ispadne kao sto si ti napisao za Determinantu [inlmath]x[/inlmath] [inlmath]\frac{17}{19}[/inlmath]. Da li se deli Determinanta [inlmath]38[/inlmath] sa [inlmath]2[/inlmath] i ostale? Ili sam ja nesto pogresno uradio?
smaka7  OFFLINE
 
Postovi: 21
Zahvalio se: 10 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

Postod Daniel » Četvrtak, 14. Novembar 2013, 22:27

smaka7 je napisao:i to kada se podeli na pola

Ne, pazi, ne deli se to na pola, već se vrši skraćivanje brojioca i imenioca zajedničkim faktorom. Pošto smo imali razlomak [inlmath]\frac{34}{38}[/inlmath], kod njega su i brojilac i imenilac deljivi sa [inlmath]2[/inlmath], tako da možemo izvršiti skraćivanje sa [inlmath]2[/inlmath] i dobiti razlomak [inlmath]\frac{17}{19}[/inlmath], čija je vrednost ista kao i vrednost početnog razlomka [inlmath]\frac{34}{38}[/inlmath].

Da smo u imeniocu imali broj koji nije deljiv sa [inlmath]2[/inlmath], ne bismo mogli da izvršimo skraćivanje brojioca i imenioca sa [inlmath]2[/inlmath], bez obzira na to što brojilac jeste deljiv sa [inlmath]2[/inlmath].

Ipak, u ovom zadatku, i za [inlmath]\Delta_y[/inlmath] i za [inlmath]\Delta_z[/inlmath] se dobije da su to brojevi deljivi sa [inlmath]2[/inlmath], tako da ćemo i u ta dva razlomka, [inlmath]\frac{\Delta_y}{\Delta}[/inlmath] i [inlmath]\frac{\Delta_z}{\Delta}[/inlmath], moći da skratimo brojilac i imenilac sa [inlmath]2[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7776
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4144 puta

Sledeća

Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 10. Decembar 2019, 06:41 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs