Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Subota, 09. Novembar 2013, 05:59
od smaka7
Pozdrav svima. Imam jedno pitanje, ko je dobre volje da mi pomogne bicu veoma zahvalan. Trazim pomoc pri resavanju zadataka, i ako je neko voljan da odradi po neki. :) Inace hvala unapred svima koji budu hteli da mi pomognu!


1. Izračunati zbir [inlmath]{7\choose 4}+{8\choose 5}+{9\choose 6}+{10\choose 7}[/inlmath]

2. Ispitati da li sistem ima rešenja i ako ima odrediti koja su. Sistem rešiti pomoću determinanti:
[dispmath]\begin{array}{rrrcc}
3x & -2y & +2z & = & 5\\
-x & -4y & & = & -3\\
2x & +3y & -2z & = & 0
\end{array}[/dispmath]
3. Date su matrice:
[dispmath]A=\begin{bmatrix}
2 & 1\\
1 & -3
\end{bmatrix};\;B=\begin{bmatrix}
-2 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix};\;C=\begin{bmatrix}
-3 & 5\\
2 & -4
\end{bmatrix}[/dispmath]
Odrediti [inlmath]2A-3B^{-1}+C^{-1}[/inlmath]

4. Rešiti sistem linearnih algebarskih jednačina matričnom metodom:
[dispmath]\begin{array}{rrcc}
x & +y & = & 4\\
\frac{2}{3}x & +2y & = & 8
\end{array}[/dispmath]
5. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije: [inlmath]y=\frac{x+4}{x-4}[/inlmath]



1. Rešiti integral:
[dispmath]\int\left(\left(x^5+2\left(x^3+2\right)+x\right)\cdot\ln\left(3-x\right)\right)\mathrm dx[/dispmath]
2. Rešiti integral:
[dispmath]\int\frac{2x^4-6x^2-x}{x^3+2x^2+1}\mathrm dx[/dispmath]
3. Ukoliko [inlmath]230\mbox{ kg}[/inlmath] robe [inlmath]A[/inlmath] košta kao [inlmath]5\mbox{ kg}[/inlmath] robe [inlmath]B[/inlmath], [inlmath]21\mbox{ kg}[/inlmath] robe [inlmath]B[/inlmath] košta [inlmath]10\:$[/inlmath], a [inlmath]1\:$[/inlmath] vredi [inlmath]0,8\:€[/inlmath]. Koliko se kilograma robe [inlmath]A[/inlmath] može kupiti za [inlmath]144\:€[/inlmath]?

4. Koju sumu novca treba uložiti 11.12.2012. godine da bi se 11.06.2013. godine po stopi od [inlmath]2,5\%[/inlmath] podigla suma od [inlmath]1405,25\:€[/inlmath] uz uslov [inlmath]\left(k,365\right)[/inlmath]?

5. Izračunati koliku kamatu donosi kapital od [inlmath]1036\:€[/inlmath] koji je uložen na štednju od [inlmath]3[/inlmath] godine, [inlmath]9[/inlmath] meseci sa tromesečnim (kvartalnim) kapitalisanjem po stopi od [inlmath]7,34\%[/inlmath]

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Subota, 09. Novembar 2013, 17:42
od Daniel
Pozdrav i tebi, dobro nam došao na forum. :)

Zamolio bih te samo, za ubuduće, da prelistaš naš Pravilnik, a pogotovo tačke 6, 8, 10, 12 i 14. :)

smaka7 je napisao:1. Izračunati zbir [inlmath]{7\choose 4}+{8\choose 5}+{9\choose 6}+{10\choose 7}[/inlmath]

Binomni koeficijent [inlmath]n\choose k[/inlmath] možeš zapisati kao [inlmath]\frac{n!}{\left(n-k\right)!\cdot k!}[/inlmath]. Primera radi, [inlmath]7\choose 4[/inlmath] pišeš kao [inlmath]\frac{7!}{\left(7-4\right)!\cdot 4!}[/inlmath] i dalje računaš:
[dispmath]{7\choose 4}=\frac{7!}{\left(7-4\right)!\cdot 4!}=\frac{7!}{3!\cdot 4!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot\cancel{4!}}{3!\cdot\cancel{4!}}=\frac{7\cdot\cancel 6\cdot 5}{\cancel 6}=7\cdot 5=35[/dispmath]
Po istom principu sračunaš i preostale binomne koeficijente – [inlmath]8\choose 5[/inlmath], [inlmath]9\choose 6[/inlmath] i [inlmath]10\choose 7[/inlmath].
Na kraju ih sve sabereš i, ako si sve dobro odradio, treba da dobiješ rezultat [inlmath]295[/inlmath].

smaka7 je napisao:2. Ispitati da li sistem ima rešenja i ako ima odrediti koja su. Sistem rešiti pomoću determinanti:
[dispmath]\begin{array}{rrrcc}
3x & -2y & +2z & = & 5\\
-x & -4y & & = & -3\\
2x & +3y & -2z & = & 0
\end{array}[/dispmath]

Rešiti sistem pomoću determinanti, znači rešiti ga koristeći Kramerove formule. Prvo formiraš determinantu sistema [inlmath]\Delta[/inlmath] čiji elementi predstavljaju koeficijente uz nepoznate u zadatim jednačinama:
[dispmath]\Delta=\left|\begin{matrix}
3 & -2 & 2 \\
-1 & -4 & 0 \\
2 & 3 & -2
\end{matrix}\right|[/dispmath]
i izračunaš vrednost te determinante (možeš preko Sarusovog pravila, pošto je to determinanta trećeg reda).

Zatim formiraš determinante nepoznatih – [inlmath]\Delta_x[/inlmath], [inlmath]\Delta_y[/inlmath] i [inlmath]\Delta_z[/inlmath], tako što u determinanti [inlmath]\Delta[/inlmath] kolonu koja predstavlja koeficijente uz odgovarajuću nepoznatu zameniš kolonom koja predstavlja slobodne koeficijente. Konkretno, determinantu nepoznate [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]\Delta_x[/inlmath], dobiješ tako što u determinanti [inlmath]\Delta[/inlmath] kolonu koja predstavlja koeficijente uz nepoznatu [inlmath]x[/inlmath], a to su [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath], zameniš kolonom sa slobodnim koeficijentima, a to su [inlmath]5[/inlmath], [inlmath]-3[/inlmath] i [inlmath]0[/inlmath]:
[dispmath]\Delta_x=\left|\begin{matrix}
5 & -2 & 2 \\
-3 & -4 & 0 \\
0 & 3 & -2
\end{matrix}\right|[/dispmath]
i zatim izračunaš i njenu vrednost.

Isti postupak ponoviš pri formiranju determinanti [inlmath]\Delta_y[/inlmath] i [inlmath]\Delta_z[/inlmath].

Vrednosti nepoznatih dobiješ po sledećim formulama:
[dispmath]x=\frac{\Delta_x}{\Delta},\quad y=\frac{\Delta_y}{\Delta},\quad z=\frac{\Delta_z}{\Delta}[/dispmath]
Na kraju treba da dobiješ rešenja:
[dispmath]x=\frac{17}{19},\quad y=\frac{10}{19},\quad z=\frac{32}{19}[/dispmath]

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Subota, 09. Novembar 2013, 18:24
od eseper
Dobrodošao :)

smaka7 je napisao:3. Date su matrice:
[dispmath]A=\begin{bmatrix}
2 & 1\\
1 & -3
\end{bmatrix};\;B=\begin{bmatrix}
-2 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix};\;C=\begin{bmatrix}
-3 & 5\\
2 & -4
\end{bmatrix}[/dispmath]
Odrediti [inlmath]2A-3B^{-1}+C^{-1}[/inlmath]

Za ovaj zadatak treba znati računati inverzne matrice (a preduvjet za to je da znaš računati determinante i znati što je transponirana matrica). Da puno ne pišem, prilažem sliku na kojoj je najbolje objašnjeno sve ovo što sam rekao.

* MOD EDIT * Konverzija slike u Latex-kôd:
[dispmath]A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left[\begin{matrix}
A_{11} & A_{12} \\
A_{21} & A_{22}
\end{matrix}\right]^T,[/dispmath]
[dispmath]\begin{matrix}
A_{11}=\left(-1\right)^{1+1}d=d, & A_{12}=\left(-1\right)^{1+2}c=-c, \\
A_{21}=\left(-1\right)^{2+1}b=-b, & A_{22}=\left(-1\right)^{2+2}a=a.
\end{matrix}[/dispmath]
[dispmath]A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{matrix}
d & -c \\
-b & a
\end{matrix}\right]^T=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{matrix}
d & -b \\
-c & a
\end{matrix}\right].[/dispmath]
Po ovom principu, dobiješ da je
[dispmath]B^{-1}=\left[\begin{matrix}
0 & 1 \\
1 & -2
\end{matrix}\right],\;C^{-1}=\frac{1}{2}\left[\begin{matrix}
-4 & -5 \\
-2 & -3
\end{matrix}\right].[/dispmath]

Konačno, kada izvršiš sve potrebne operacije, kao rješenje dobiješ
[dispmath]2A-3B^{-1}+C^{-1}=B^{-1}=\left[\begin{matrix}
2 & -3 \\
4 & -\frac{3}{2}
\end{matrix}\right][/dispmath]

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Subota, 09. Novembar 2013, 19:21
od Daniel
Samo male ispravke, Eseper... Za [inlmath]B^{-1}[/inlmath] se dobije
[dispmath]B^{-1}=\left[\begin{matrix}
0 & 1 \\
-1 & -2
\end{matrix}\right][/dispmath]
(znači, [inlmath]-1[/inlmath] na mestu dole levo), a u poslednjem redu
[dispmath]2A-3B^{-1}+C^{-1}{\color{red}=B^{-1}}=\left[\begin{matrix}
2 & -3 \\
4 & -\frac{3}{2}
\end{matrix}\right][/dispmath]
deo obojen crvenom bojom je suvišan (verovatno greška u kucanju), i kao krajnji rezultat ne dobija se [inlmath]\left[\begin{matrix}
2 & -3 \\
4 & -\frac{3}{2}
\end{matrix}\right][/inlmath], već [inlmath]\left[\begin{matrix}
2 & -\frac{7}{2} \\
4 & -\frac{3}{2}
\end{matrix}\right][/inlmath].

Inače, valja napomenuti da [inlmath]\left[\begin{matrix}
A_{11} & A_{12} \\
A_{21} & A_{22}
\end{matrix}\right]^T[/inlmath] predstavlja, zapravo, adjungovanu matricu matrice [inlmath]A[/inlmath], pa se inverzna matrica može računati po formuli [inlmath]A^{-1}=\frac{\mathrm{adj}\:A}{\det A}[/inlmath], pri čemu je kod matrica drugog reda [inlmath]\mathrm{adj}\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
d & -b \\
-c & a
\end{matrix}\right][/inlmath].

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Subota, 09. Novembar 2013, 20:02
od Daniel
smaka7 je napisao:4. Rešiti sistem linearnih algebarskih jednačina matričnom metodom:
[dispmath]\begin{array}{rrcc}
x & +y & = & 4\\
\frac{2}{3}x & +2y & = & 8
\end{array}[/dispmath]

U opštem slučaju, kad imaš sistem
[dispmath]\begin{matrix}
ax & +by & = & e \\
cx & +dy & = & f
\end{matrix}[/dispmath]
taj sistem se u matričnom obliku može napisati kao:
[dispmath]\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}
x \\
y
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
e \\
f
\end{matrix}\right][/dispmath]
Pomnožimo obe strane te jednačine sleva sa inverznom matricom matrice [inlmath]\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right][/inlmath]:
[dispmath]\underbrace{\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right]^{-1}\cdot\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right]}_I\cdot\left[\begin{matrix}
x \\
y
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right]^{-1}\cdot\left[\begin{matrix}
e \\
f
\end{matrix}\right][/dispmath]
gde proizvod [inlmath]\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right]^{-1}\cdot\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right][/inlmath] daje jediničnu matricu [inlmath]I[/inlmath] (neutralni element pri množenju matrica):
[dispmath]I\cdot\left[\begin{matrix}
x \\
y
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right]^{-1}\cdot\left[\begin{matrix}
e \\
f
\end{matrix}\right][/dispmath]
to jest
[dispmath]\left[\begin{matrix}
x \\
y
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right]^{-1}\cdot\left[\begin{matrix}
e \\
f
\end{matrix}\right][/dispmath]
Inverznu matricu [inlmath]\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right]^{-1}[/inlmath] znaš kako da nađeš, napisali smo ti u prethodnim postovima – kao [inlmath]\frac{\mathrm{adj}\:A}{\det A}[/inlmath], gde je [inlmath]\mathrm{adj}\:\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
d & -b \\
-c & a
\end{matrix}\right][/inlmath].
Sad u ceo taj postupak samo uvrsti konkretne brojne vrednosti iz ovog zadatka, nađi inverznu matricu, pomnoži je s matricom slobodnih koeficijenata...

Treba da dobiješ
[dispmath]\left[\begin{matrix}
x \\
y
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
0 \\
4
\end{matrix}\right][/dispmath]
smaka7 je napisao:5. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije: [inlmath]y=\frac{x+4}{x-4}[/inlmath]

Ispitivanje funkcije ide u više faza: ispitivanje domena, ispitivanje asimptota, ispitivanje nula i znaka funkcije, ispitivanje ekstremnih vrednosti i intervala monotonosti itd. Pošto je u pitanju obiman posao, da ne bismo sad ovde sve to radili, pregledaj razne primere koji su dosad rađeni u rubrici „Grafik funkcije“ i pitaj ako ti neka konkretna od tih faza nije jasna.

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Sreda, 13. Novembar 2013, 21:08
od smaka7
Ljudi hvala Vam na pomoci puno!

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Sreda, 13. Novembar 2013, 22:10
od smaka7
Malo me buni prvi zadatak, ja sam dobio resenje [inlmath]234[/inlmath]. ne znam kako da se dobije [inlmath]295[/inlmath]? kod [inlmath]{8\choose 5}[/inlmath] sam dobio resenje [inlmath]48[/inlmath], kod [inlmath]{9\choose 6}[/inlmath] [inlmath]63[/inlmath],kod [inlmath]{10\choose 7}[/inlmath] [inlmath]80[/inlmath].

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Četvrtak, 14. Novembar 2013, 00:14
od Daniel
A što ne priložiš svoj postupak, pa da ti kažemo gde je greška?

Evo ti postupak još za [inlmath]8\choose 5[/inlmath], pa uporedi sa svojim računom:
[dispmath]{8\choose 5}=\frac{8!}{\left(8-5\right)!\cdot 5!}=\frac{8!}{3!\cdot 5!}=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot\cancel{5!}}{3!\cdot\cancel{5!}}=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2}=\frac{8\cdot 7\cdot\cancel 6}{\cancel 6}=8\cdot 7=56[/dispmath]
Za [inlmath]9\choose 6[/inlmath] treba da dobiješ da je [inlmath]84[/inlmath], a za [inlmath]10\choose 7[/inlmath] da je [inlmath]120[/inlmath]. Ako ne dobiješ te vrednosti, javi pa da pomognemo, ali molim te, napiši kako si radio pa ćemo ti reći koji korak ti ne valja...

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Četvrtak, 14. Novembar 2013, 18:18
od smaka7
Ja sam se zbunio bio sada mi je sve kako treba,valja malo mozak upotrebiti. :) E sada da pitam kod drugog zadatka. Ja za Determinantu dobijem resenje [inlmath]38[/inlmath] a za determinantu [inlmath]X[/inlmath] resenje [inlmath]34[/inlmath] i to kada se podeli na pola ispadne kao sto si ti napisao za Determinantu [inlmath]x[/inlmath] [inlmath]\frac{17}{19}[/inlmath]. Da li se deli Determinanta [inlmath]38[/inlmath] sa [inlmath]2[/inlmath] i ostale? Ili sam ja nesto pogresno uradio?

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Četvrtak, 14. Novembar 2013, 23:27
od Daniel
smaka7 je napisao:i to kada se podeli na pola

Ne, pazi, ne deli se to na pola, već se vrši skraćivanje brojioca i imenioca zajedničkim faktorom. Pošto smo imali razlomak [inlmath]\frac{34}{38}[/inlmath], kod njega su i brojilac i imenilac deljivi sa [inlmath]2[/inlmath], tako da možemo izvršiti skraćivanje sa [inlmath]2[/inlmath] i dobiti razlomak [inlmath]\frac{17}{19}[/inlmath], čija je vrednost ista kao i vrednost početnog razlomka [inlmath]\frac{34}{38}[/inlmath].

Da smo u imeniocu imali broj koji nije deljiv sa [inlmath]2[/inlmath], ne bismo mogli da izvršimo skraćivanje brojioca i imenioca sa [inlmath]2[/inlmath], bez obzira na to što brojilac jeste deljiv sa [inlmath]2[/inlmath].

Ipak, u ovom zadatku, i za [inlmath]\Delta_y[/inlmath] i za [inlmath]\Delta_z[/inlmath] se dobije da su to brojevi deljivi sa [inlmath]2[/inlmath], tako da ćemo i u ta dva razlomka, [inlmath]\frac{\Delta_y}{\Delta}[/inlmath] i [inlmath]\frac{\Delta_z}{\Delta}[/inlmath], moći da skratimo brojilac i imenilac sa [inlmath]2[/inlmath].

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Petak, 15. Novembar 2013, 00:46
od smaka7
Aha, pa da li je obavezno ovo deljenje sa [inlmath]2[/inlmath]? Da li moze ostati npr [inlmath]\frac{34}{38}[/inlmath]?

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Petak, 15. Novembar 2013, 00:52
od Daniel
Pa, ne bi bila greška u pogledu brojne vrednosti rezultata... Ali, uobičajeno je da se rezultat maksimalno pojednostavi, tj. da se uvek skrati sve što se dâ skratiti... A i ako ostaviš neskraćeno, neki profesori ti zbog toga mogu zameriti što nisi uočio mogućnost skraćivanja... A i nije teško skratiti brojilac i imenilac razlomka, tako da bih ti svakako preporučio da to uvek uradiš. :)

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Petak, 15. Novembar 2013, 00:59
od smaka7
A kako da skratim? Jel klasicno ili ima jos neka fora ovde? :?

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Petak, 15. Novembar 2013, 01:17
od Daniel
Ne znam šta znači klasično i neklasično skraćivanje razlomaka. :?

Ako ćemo da pričamo o skraćivanju razlomaka, molim te da o tome pokreneš posebnu temu u rubrici Aritmetika, pošto to nije predmet izučavanja linearne algebre.

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Petak, 15. Novembar 2013, 01:22
od smaka7
Brate kazi mi samo kako se skracuje,nista mi vise ne treba,da ne otvaram temu o tome i da odugovlacim. Mene zanima da li samo da podelim ovo ovako npr: [inlmath]34/39:2=17/19[/inlmath] ?

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Petak, 15. Novembar 2013, 01:37
od Daniel
[inlmath]\frac{34}{39}[/inlmath] ne možeš skratiti, jer [inlmath]34[/inlmath] i [inlmath]39[/inlmath] nemaju zajedničke proste činioce. Broj [inlmath]34[/inlmath] je deljiv samo sa [inlmath]2[/inlmath] i sa [inlmath]17[/inlmath], dok je [inlmath]39[/inlmath] deljiv samo sa [inlmath]3[/inlmath] i sa [inlmath]13[/inlmath].

Ali, čak i kad je skraćivanje moguće, kao npr. kod razlomka [inlmath]\frac{34}{38}[/inlmath], vrlo je nepravilno to pisati kao "34/38:2=17/19". To bi bilo pravilno pisati ovako:
[dispmath]\frac{34}{38}=\frac{2\cdot 17}{2\cdot 19}=\cancelto{1}{\frac{2}{2}}\cdot\frac{17}{19}=1\cdot\frac{17}{19}=\frac{17}{19}[/dispmath]
Ali, ovako postupno se piše samo u šestom osnovne, kada đaci imaju prvi susret sa skraćivanjem razlomaka. Inače je uobičajeno da se jednostavno piše
[dispmath]\frac{\cancel{34}^{17}}{\cancel{38}^{19}}=\frac{17}{19}[/dispmath]
ili, jednostavno, bez tih precrtavanja:
[dispmath]\frac{34}{38}=\frac{17}{19}[/dispmath]
Nadam se da su ovime otklonjene sve nejasnoće, ali ako imaš još neka pitanja o skraćivanju razlomaka, onda, molim te, pokreni zasebnu temu u pomenutoj rubrici.

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Petak, 15. Novembar 2013, 01:44
od smaka7
Izgleda da sam propustio u sestom razredu taj cas. :D A predpostavio sam da je najednostavnije ovo poslednje sto si napisao, ali nisam bio siguran da je to. Hvala puno. A sada ce mi trebati pomoc za sledece zadatke. Ovaj 3 ne razumem kako da postavim i da resim, vidim kako ste naveli ovo sve, ali ja ne znam da procitam kako pravilno da sastavim gde sta treba. :wtf:

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Petak, 15. Novembar 2013, 02:03
od Daniel
Za 3. zadatak ti je Eseper napisao takoreći kompletan postupak. Konkretizuj malo svoje pitanje u vezi s 3. zadatkom, tj. koji ti tačno deo Eseperovog objašnjenja nije jasan?

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Petak, 15. Novembar 2013, 02:21
od smaka7
Na primer gde da upisem brojeve iz [inlmath]A=\begin{bmatrix}2 & 1\\ 1 & -3\end{bmatrix}[/inlmath] I kako da znam koje je [inlmath]a,b,c,d[/inlmath] i koji je [inlmath]A_{11},A_{12},A_{21},A_{22}[/inlmath]?

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Petak, 15. Novembar 2013, 02:53
od Daniel
[inlmath]A_{mn}[/inlmath] su algebarski kofaktori. Algebarski kofaktor dobiješ tako što iz determinante ukloniš [inlmath]m[/inlmath]-tu vrstu i [inlmath]n[/inlmath]-tu kolonu, izračunaš vrednost tako dobijene subdeterminante, a zatim je još pomnožiš sa [inlmath]\left(-1\right)^{m+n}[/inlmath], tj. ako je zbir indeksa paran, ne menjaš predznak, a ako je zbir indeksa neparan, menjaš predznak.

Npr. ako imaš determinantu
[dispmath]\left|\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}
\end{matrix}\right|[/dispmath]
njen algebarski kofaktor [inlmath]A_{32}[/inlmath] će biti
[dispmath]A_{32}=\left(-1\right)^{3+2}\cdot\left|\begin{matrix}
a_{11} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{23} & a_{24} \\
a_{41} & a_{43} & a_{44}
\end{matrix}\right|=\left(-1\right)^5\cdot\left|\begin{matrix}
a_{11} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{23} & a_{24} \\
a_{41} & a_{43} & a_{44}
\end{matrix}\right|=-\left|\begin{matrix}
a_{11} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{23} & a_{24} \\
a_{41} & a_{43} & a_{44}
\end{matrix}\right|[/dispmath]
Ali, za determinante drugog reda ovo ti i nije potrebno. Za njih ti je potrebno da zapamtiš ono što ti je Eseper i napisao, da kada imaš matricu
[dispmath]A=\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right][/dispmath]
tada je njena inverzna matrica [inlmath]A^{-1}[/inlmath] jednaka
[dispmath]A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left[\begin{matrix}
d & -b \\
-c & a
\end{matrix}\right]=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{matrix}
d & -b \\
-c & a
\end{matrix}\right][/dispmath]
Sada, u tvom konkretnom primeru, treba odrediti inverznu matricu matrice [inlmath]B[/inlmath], tj. [inlmath]B^{-1}[/inlmath].
[dispmath]B=\left[\begin{matrix}
-2 & -1 \\
1 & 0
\end{matrix}\right][/dispmath]
to jest, u ovom slučaju je
[inlmath]a=-2[/inlmath]
[inlmath]b=-1[/inlmath]
[inlmath]c=1[/inlmath]
[inlmath]d=0[/inlmath]
te vrednosti uvrstiš u formulu za inverznu matricu drugog reda, [inlmath]\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{matrix}
d & -b \\
-c & a
\end{matrix}\right][/inlmath], i dobiješ vrednost inverzne matrice [inlmath]B^{-1}[/inlmath].

Isto uradiš i pri određivanju [inlmath]C^{-1}[/inlmath].

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Četvrtak, 21. Novembar 2013, 00:30
od smaka7
Jel ovo ovako treba mozda? Ili sam ja pobrkao sve,a vise mi se cini da sam zaebo stvar. :think1:

Slika
Slika

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Četvrtak, 21. Novembar 2013, 01:48
od Daniel
Da, imaš dosta grešaka, ali bitno je da si pokušao. :thumbup: Sledeći put će biti bolje. Ovo su greške koje sam uočio:


– Nije ti potrebno [inlmath]A-B[/inlmath], tako da ti je prvi red u postupku suvišan.

– Gubio si vreme na određivanje [inlmath]A^{-1}[/inlmath], iako ti to nije potrebno, jer se nigde u traženom izrazu ne pojavljuje [inlmath]A^{-1}[/inlmath].

– [inlmath]\det A[/inlmath] se ne piše [inlmath]\left[\begin{matrix}
2 & 1 \\
1 & -3
\end{matrix}\right][/inlmath], već se piše [inlmath]\left|\begin{matrix}
2 & 1 \\
1 & -3
\end{matrix}\right|[/inlmath]. Isto važi i za [inlmath]\det B[/inlmath] i za [inlmath]\det C[/inlmath]. Znači, uglastim zagradama označavamo matrice, a vertikalnim crtama determinante.

– Pogrešio si kod računanja [inlmath]B^{-1}[/inlmath]. Za [inlmath]\det B[/inlmath] si dobio pogrešnu vrednost, treba [inlmath]1[/inlmath], a ne [inlmath]-1[/inlmath]. Evo i gde si pogrešio:
[dispmath]\det B=\left[\begin{matrix}
-2 & -1 \\
1 & 0
\end{matrix}\right]=\left(-2\right)\cdot 0-\left(-1\right)\cdot 1=0-\left(-1\right)=1[/dispmath]
Tvoja je greška bila što si [inlmath]-1\cdot\left(-1\right)[/inlmath] napisao kao [inlmath]-1[/inlmath].

– Kada u računskim operacijama imaš negativne brojeve, obavezno ih stavljaj u zagrade. Znači, ne [inlmath]1\cdot -1[/inlmath], već [inlmath]1\cdot\left(-1\right)[/inlmath].

– Pogrešio si i kod nalaženja [inlmath]\mathrm{adj}\:B[/inlmath], ne treba da se dobije [inlmath]\left[\begin{matrix}
0 & -1 \\
1 & -2
\end{matrix}\right][/inlmath], već [inlmath]\left[\begin{matrix}
0 & 1 \\
-1 & -2
\end{matrix}\right][/inlmath].

– Nikad nemoj ostavljati razlomak [inlmath]\frac{1}{1}[/inlmath] – on je, jednostavno, jednak jedinici. Isto važi i za [inlmath]\frac{3}{1}[/inlmath], njega piši samo kao trojku.

– I kod računanja [inlmath]\mathrm{adj}\:C[/inlmath] si pogrešio, ne treba da dobiješ [inlmath]\left[\begin{matrix}
-4 & -2 \\
-5 & -3
\end{matrix}\right][/inlmath], već [inlmath]\left[\begin{matrix}
-4 & -5 \\
-2 & -3
\end{matrix}\right][/inlmath].

– Na kraju si računao izraz [inlmath]2A^{\color{red}-1}-3B^{-1}+C^{-1}[/inlmath], iako se traži izraz [inlmath]2A-3B^{-1}+C^{-1}[/inlmath]. Znači, u izrazu koji se traži figuriše matrica [inlmath]A[/inlmath], a ne njoj inverzna matrica [inlmath]A^{-1}[/inlmath].

– Matricu [inlmath]C^{-1}[/inlmath] si greškom množio sa [inlmath]3[/inlmath], iako je u izrazu koji se traži koeficijent ispred [inlmath]C^{-1}[/inlmath] jednak jedinici.

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Četvrtak, 21. Novembar 2013, 02:16
od smaka7
Hvala na ispravkama, pokusacu da sredim sve pa se javljam. :) Evo kako sam uradio 4 zadatak. ali nije mi ispao rezultat [inlmath]\begin{bmatrix}0\\ 4\end{bmatrix}[/inlmath]

Slika

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Četvrtak, 21. Novembar 2013, 12:32
od Daniel
Vrednost determinante [inlmath]A[/inlmath] si ispravno odredio, s tim da ti ne valja način obeležavanja. Pisao si ovako:
[dispmath]\det A=\left[\begin{matrix}
1 & 1 \\
\frac{2}{3} & 2
\end{matrix}\right]=2-\frac{2}{3}=\frac{6-2}{3}=\left[\frac{4}{3}\right][/dispmath]
a treba ovako:
[dispmath]\det A=\left|\begin{matrix}
1 & 1 \\
\frac{2}{3} & 2
\end{matrix}\right|=2-\frac{2}{3}=\frac{6-2}{3}=\frac{4}{3}[/dispmath]
Znači, kao što već rekoh u prethodnom postu, uglaste zagrade se koriste za označavanje matrica, a za determinante se koriste vertikalne crte. Ali, ni za ovaj rezultat, [inlmath]\frac{4}{3}[/inlmath], ne trebaju ti uglaste zagrade, jer to nije matrica, već običan razlomak.

Matricu [inlmath]B[/inlmath] si pisao kao razlomak unutar uglaste zagrade, [inlmath]\left[\frac{4}{8}\right][/inlmath]. To je pogrešno. Treba bez te horizontalne crte, znači, [inlmath]\left[\begin{matrix}
4 \\
8
\end{matrix}\right][/inlmath]. Dakle – razlomak se piše bez uglaste zagrade ali s horizontalnom crtom, a matrica [inlmath]2\times 1[/inlmath] se piše s uglastim zagradama ali bez horizontalne crte.

I u ovom zadatku si pogrešio pri određivanju [inlmath]\mathrm{adj}\:A[/inlmath]. Vidim da te to često zbunjuje. Ili elementima [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath] nepotrebno promeniš predznak, ili zaboraviš da im zameniš mesta, ili elementima [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] nepotrebno zameniš mesta, ili zaboraviš da im promeniš predznak. Ali, nikako da „ubodeš“ onu pravu kombinaciju. :) A prava kombinacija je ta, da elementima [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath] zameniš mesta ali im ne diraš predznak, a elementima [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] promeniš predznak (minus u plus i obratno) ali im ne menjaš mesta. Naravno, ovo važi samo za kvadratne matrice drugog reda (dve vrste, dve kolone) kao što je matrica [inlmath]A[/inlmath] u ovom zadatku. Dakle:
[dispmath]\mathrm{adj}\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
d & -b \\
-c & a
\end{matrix}\right][/dispmath]
Kad pogrešno odrediš [inlmath]\mathrm{adj}\:A[/inlmath], onda ne možeš dobiti ni tačnu inverznu matricu [inlmath]A^{-1}[/inlmath], jer je [inlmath]A^{-1}=\frac{\mathrm{adj}\:A}{\det A}[/inlmath].

Ako bismo za trenutak i pretpostavili da je [inlmath]A^{-1}=\left[\begin{matrix}
1 & -1 \\
\frac{2}{3} & 2
\end{matrix}\right][/inlmath] (što nije tačno), ni postupak množenja matrica ti nije ispravan:
[dispmath]X=\frac{3}{4}\left[\begin{matrix}
1 & -1 \\
\frac{2}{3} & 2
\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}
4 \\
8
\end{matrix}\right]=\cdots[/dispmath]
Ne mogu baš da razaznam šta dalje piše, ali definitivno se iz toga ne dobija [inlmath]\frac{3}{4}\left[\begin{matrix}
-4 \\
12
\end{matrix}\right][/inlmath], kao što si ti dobio. Matricu [inlmath]2\times 2[/inlmath] množiš matricom [inlmath]2\times 1[/inlmath] ovako:
[dispmath]\left[\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}
b_1 \\
b_2
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
a_{11}b_1+a_{12}b_2 \\
a_{21}b_1+a_{22}b_2
\end{matrix}\right][/dispmath]
I, poslednje na šta moram da ti skrenem pažnju, kad si skraćivao razlomke [inlmath]\frac{-12}{4}[/inlmath] i [inlmath]\frac{36}{4}[/inlmath], zašto si ih skraćivao samo sa [inlmath]2[/inlmath], zašto ih nisi odmah skratio sa [inlmath]4[/inlmath], pa da lepo za prvi dobiješ [inlmath]-3[/inlmath], a za drugi [inlmath]9[/inlmath]? Ovako si ostavio rešenja [inlmath]x=\frac{-6}{2}[/inlmath] i [inlmath]y=\frac{18}{2}[/inlmath], umesto da si to lepo podelio i dobio pomenute celobrojne vrednosti... Naravno, to ne bi bila tačna rešenja, zbog netačno određene [inlmath]A^{-1}[/inlmath], kao i grešaka koje su zatim usledile, ali ti samo govorim za princip.

Znači, nađi tačnu adjungovanu matricu [inlmath]\mathrm{adj}\:A[/inlmath], vodi računa da je pravilno izmnožiš matricom [inlmath]B[/inlmath] i dobićeš tačan rezultat, [inlmath]\left[\begin{matrix}
0 \\
4
\end{matrix}\right][/inlmath].

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Petak, 22. Novembar 2013, 03:39
od smaka7
Evo cetvrti zadatak, da li je to to napokon? :) treci zadatak ziv ne mogu da odradim, nemoze da mi se poklopi resenje kao tvoje. :angry-fire: :angry-fire:
[dispmath]\begin{array}{ll}
x+y=4 \\
\frac{2}{3}x+2y=8 \\
A=\left|\begin{matrix}
1 & 1 \\
\frac{2}{3} & 2
\end{matrix}\right|\qquad & A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left|\begin{matrix}
A_{11} & A_{21} \\
A_{12} & A_{22}
\end{matrix}\right| \\
B=\left|\begin{matrix}
4 \\
8
\end{matrix}\right| & \det A=\left|\begin{matrix}
2 & -1 \\
\frac{-2}{3} & 1
\end{matrix}\right| \\
X=\left|\begin{matrix}
x \\
y
\end{matrix}\right|
\end{array}[/dispmath]
[dispmath]X=\left|\begin{matrix}
2 & -1 \\
\frac{-2}{3} & 1
\end{matrix}\right|\cdot\left|\begin{matrix}
4 \\
8
\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}
2\cdot 4-1\cdot 8 \\
\frac{-2}{\cancel 3}\cdot\frac{2}{\cancel 4}\;\;1\cdot 8
\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}
8-8 \\
-4\;\;8
\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}
0 \\
4
\end{matrix}\right|[/dispmath]
[dispmath]x=0;\quad y=4[/dispmath]

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Petak, 22. Novembar 2013, 08:23
od Daniel
Radi preglednosti, prekucao sam sadržaj slike koju si poslao, jer nije bilo puno formula, ali bih te, za ubuduće, podsetio na tačke 13. i 14. Pravilnika foruma. Zbog mogućnosti da sam negde pogrešio u prekucavanju, sačuvao sam link originalne slike.

Nažalost, moram da te razočaram – ne valja ti ni ovaj postupak. Na neku čudnu foru, dobio si na kraju tačan rezultat, ali u postupku ima nekoliko grešaka.

Svuda si koristio označavanje za determinante (vertikalne crte), iako su ovde u pitanju matrice. U prethodnim postovima sam ti uporno skretao pažnju na to kako se obeležavaju matrice, a kako determinante.

Jednakost [inlmath]\det A=\left|\begin{matrix}
2 & -1 \\
\frac{-2}{3} & 1
\end{matrix}\right|[/inlmath] ti nije tačna. Možda si mislio na adjungovanu matricu, adjungovana matrica bi bila jednaka [inlmath]\mathrm{adj}\:A=\left[\begin{matrix}
2 & -1 \\
\frac{-2}{3} & 1
\end{matrix}\right][/inlmath], dok bi vrednost determinante bila [inlmath]\det A=\left|\begin{matrix}
1 & 1 \\
\frac{2}{3} & 2
\end{matrix}\right|=\frac{4}{3}[/inlmath], kako si i bio dobio prošli put.

Dalje, pogrešno je i [inlmath]X=\left|\begin{matrix}
2 & -1 \\
\frac{-2}{3} & 1
\end{matrix}\right|\cdot\left|\begin{matrix}
4 \\
8
\end{matrix}\right|[/inlmath], to jest, s ispravno napisanim zagradama, [inlmath]X=\left[\begin{matrix}
2 & -1 \\
\frac{-2}{3} & 1
\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}
4 \\
8
\end{matrix}\right][/inlmath]. Pogrešno je, jer si tu množio [inlmath]\mathrm{adj}\:A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], a trebalo je da množiš [inlmath]A^{-1}[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]. Znači, fali ti [inlmath]\frac{1}{\det A}[/inlmath] pre matrice [inlmath]\left[\begin{matrix}
2 & -1 \\
\frac{-2}{3} & 1
\end{matrix}\right][/inlmath].

A ovo tek ne razumem: [inlmath]\left[\begin{matrix}
2 & -1 \\
\frac{-2}{3} & 1
\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}
4 \\
8
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
2\cdot 4-1\cdot 8 \\
\frac{-2}{\cancel 3}\cdot\frac{2}{\cancel 4}\;\;1\cdot 8
\end{matrix}\right][/inlmath] :?: Ovaj prvi element, [inlmath]2\cdot 4-1\cdot 8[/inlmath], on je u redu, ali u ovom drugom, kako li si dobio [inlmath]\frac{-2}{3}\cdot\frac{2}{4}[/inlmath], pa onda nekakav razmak :?: pa [inlmath]1\cdot 8[/inlmath]... I s čime se to skraćuju trojka i četvorka, potpuno je nejasno... :think1:

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Petak, 22. Novembar 2013, 21:42
od smaka7
[dispmath]x+y=4[/dispmath]
[dispmath]\frac{2}{3}x+2y=8[/dispmath]
[dispmath]A^{-1}\cdot A-x=A^{-1}\cdot B[/dispmath]
[dispmath]x=A^{-1}\cdot B[/dispmath]
[dispmath]A=\left[\begin{matrix} 1 & 1\\ \frac{2}{3} & 2\end{matrix}\right][/dispmath]
[dispmath]A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left[\begin{matrix} A_{11} & A_{21}\\ A_{12} & A_{22}\end{matrix}\right][/dispmath]
[dispmath]\det A=\left[\begin{matrix} 1 & 1\\ \frac{2}{3} & 2\end{matrix}\right]=2-\frac{2}{3}=\frac{6-2}{3}=\frac{4}{3}[/dispmath]
[dispmath]A^{-1}=\frac{4}{3}\left[\begin{matrix} 2 &{-1}\\ \frac{-2}{3} & 1\end{matrix}\right]=\frac{3}{4}\left[\begin{matrix} 2 & {-1}\\ \frac{-2}{3} & 1\end{matrix}\right][/dispmath]
[dispmath]B=\left[\begin{matrix} 4\\ 8\end{matrix}\right][/dispmath]
[dispmath]x=\left[\begin{matrix} x\\ y\end{matrix}\right][/dispmath]
[dispmath]x=\frac{3}{4}\left[\begin{matrix} 2 &{-1}\\ \frac{-2}{3} & 1\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix} 4\\ 8\end{matrix}\right]=\frac{3}{4}\left[\begin{matrix} 2\cdot 4 & -1\cdot 8\\ \frac{-2}{\cancel{3}}\cdot\frac{4}{\cancel{3}} & +1\cdot 8\end{matrix}\right]=\frac{3}{4}\left[\begin{matrix} 8-8\\ -8+8\end{matrix}\right]=\frac{3}{4}\left[\begin{matrix} 0\\ 0\end{matrix}\right][/dispmath]
Sta ja radim pogresno ovde sad ti meni objasni, gde gresim?

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Petak, 22. Novembar 2013, 22:11
od eseper
Zadnji red je prepun grešaka. Kako se ove trojke pokrate, nije mi jasno :roll: U istoj toj matrici gdje su trojke, krivo si rasporedio znamenke, pa ispada matrica [inlmath]2\times 2[/inlmath] umjesto matrice [inlmath]2\times 1[/inlmath].

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Petak, 22. Novembar 2013, 22:27
od Daniel
Sve pohvale za savladavanje Latex-a. :thumbup: Što se grešaka tiče, upravo kako ti je eseper i rekao. A evo i mojih ispravki što se tiče same notacije:

smaka7 je napisao:[dispmath]A^{-1}\cdot A{\color{red}-x}=A^{-1}\cdot B[/dispmath]

Ne treba da stoji ovaj minus. Takođe, treba veliko [inlmath]X[/inlmath], jer je to oznaka matrice, a matrice označavamo velikim slovom, za razliku od njenih elemenata koje označavamo malim slovima. Znači, jednačina treba da glasi [inlmath]A^{-1}AX=A^{-1}B[/inlmath]

smaka7 je napisao:[dispmath]{\color{red}x}=A^{-1}\cdot B[/dispmath]

Isto tako, treba veliko [inlmath]X[/inlmath].

smaka7 je napisao:[dispmath]\det A=\left[\begin{matrix} 1 &1\\ \frac{2}{3} & 2\end{matrix}\right]=2-\frac{2}{3}=\frac{6-2}{3}=\frac{4}{3}[/dispmath]

Kao što rekoh više puta, ovde ne trebaju uglaste zagrade već vertikalne crte, jer je u pitanju determinanta, a ne matrica. Znači, [inlmath]\det A=\left|\begin{matrix}
1 & 1\\
\frac{2}{3} & 2
\end{matrix}\right|[/inlmath].

smaka7 je napisao:[dispmath]A^{-1}={\color{red}\frac{4}{3}}\left[\begin{matrix} 2 & {-1}\\ \frac{-2}{3} & 1\end{matrix}\right]=\frac{3}{4}\left[\begin{matrix} 2 & {-1}\\ \frac{-2}{3} & 1\end{matrix}\right][/dispmath]

Umesto crveno obeleženog razlomka treba da stoji njegova recipročna vrednost. Znači:
[dispmath]A^{-1}=\frac{1}{\frac{4}{3}}\left[\begin{matrix}
2 & -1 \\
\frac{-2}{3} & 1
\end{matrix}\right]=\frac{3}{4}\left[\begin{matrix}
2 & -1 \\
\frac{-2}{3} & 1
\end{matrix}\right][/dispmath]

smaka7 je napisao:[dispmath]{\color{red}x}=\left[\begin{matrix} x\\ y\end{matrix}\right][/dispmath]

I ovde treba veliko [inlmath]X[/inlmath].

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Subota, 23. Novembar 2013, 02:52
od smaka7
Hvala na ispravkama, ali ja ne znam kako da rasporedim poslednji red da ispadne [dispmath]\left[\begin{matrix} 0\\ 4\end{matrix}\right][/dispmath]
Ubi se racunajuci.
Ili mozda ovako treba da bude: [dispmath]x=\frac{3}{4}\left[\begin{matrix} 2 & {-1}\\ \frac{-2}{3} & 1\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix} 4\\ 8\end{matrix}\right]=\frac{3}{4}\left[\begin{matrix} 2\cdot 4 & -1\cdot 8\\ \frac{-2}{3}\cdot 4 & +1\cdot 8\end{matrix}\right]=\frac{3}{4}\left[\begin{matrix} 8-8\\ \frac{-8}{3}+8\end{matrix}\right]=\frac{3}{4}\left[\begin{matrix} 0\\ 4\end{matrix}\right][/dispmath]

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Subota, 23. Novembar 2013, 02:59
od Daniel
Pa napisah ti jednom već, al' evo opet,
Daniel je napisao:Matricu [inlmath]2\times 2[/inlmath] množiš matricom [inlmath]2\times 1[/inlmath] ovako:
[dispmath]\left[\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}
b_1 \\
b_2
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
a_{11}b_1+a_{12}b_2 \\
a_{21}b_1+a_{22}b_2
\end{matrix}\right][/dispmath]

Sve što je potrebno, to je da u konkretnom slučaju prepoznaš koliko je [inlmath]a_{11}[/inlmath], koliko je [inlmath]a_{12}[/inlmath], koliko je [inlmath]a_{21}[/inlmath], koliko je [inlmath]a_{22}[/inlmath], koliko je [inlmath]b_1[/inlmath] i koliko je [inlmath]b_2[/inlmath] i da te vrednosti uvrstiš u ovaj šablon koji sam napisao... Pokušaj, zaista nije teško...

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Subota, 23. Novembar 2013, 03:08
od smaka7
Pogledaj na trecoj strani na dnu, mislim da sam odradio kako treba, e sada da li da kratim [inlmath]\frac{\cancel{3}}{4}[/inlmath] sa [inlmath]\frac{16}{\cancel{3}}\left[\begin{matrix} 0\\ 4\end{matrix}\right][/inlmath] pa da ispadne na kraju tacan rezultat?

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Subota, 23. Novembar 2013, 03:15
od Daniel
Sad videh da si naknadno editovao post i dopisao postupak... Da, ovim postupkom si znatno bliže rešenju, ali i tu imaš grešaka...

smaka7 je napisao:[dispmath]\cdots=\frac{3}{4}\left[\begin{matrix}2\cdot 4 & {\color{red}?} & -1\cdot 8\\ \frac{-2}{3}\cdot 4 & {\color{red}?} & +1\cdot 8\end{matrix}\right]=\cdots[/dispmath]

Zašto stalno ostavljaš ove razmake? Pazi, ovo ti nije matrica [inlmath]2\times 2[/inlmath], to je matrica [inlmath]2\times 1[/inlmath], znači, nemaš dva elementa gore i dva dole, već imaš jedan element gore i jedan element dole. To jest, jedan element (onaj gornji) iznosi [inlmath]2\cdot 4-1\cdot 8[/inlmath] (bez razmaka), a drugi element (onaj donji) iznosi [inlmath]\frac{-2}{3}\cdot 4+1\cdot 8[/inlmath] (takođe bez razmaka). Ta matrica izgleda ovako:
[dispmath]\frac{3}{4}\left[\begin{matrix}
2\cdot 4-1\cdot 8 \\
\frac{-2}{3}\cdot 4+1\cdot 8
\end{matrix}\right][/dispmath]
Dakle, bez razmaka.

smaka7 je napisao:[dispmath]\cdots=\frac{3}{4}\left[\begin{matrix} 8-8\\ \frac{-8}{3}+8\end{matrix}\right]=\frac{3}{4}\left[\begin{matrix} 0\\ 4\end{matrix}\right][/dispmath]

[inlmath]\frac{-8}{3}+8[/inlmath] nije jednako [inlmath]4[/inlmath], već je jednako [inlmath]\frac{-8+8\cdot 3}{3}=\frac{-8+24}{3}=\frac{16}{3}[/inlmath].

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Subota, 23. Novembar 2013, 03:18
od Daniel
smaka7 je napisao:Pogledaj na trecoj strani na dnu, mislim da sam odradio kako treba, e sada da li da kratim [inlmath]\frac{\cancel{3}}{4}[/inlmath] sa [inlmath]\frac{16}{\cancel{3}} \left[\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right][/inlmath] pa da ispadne na kraju tacan rezultat?

Nešto slično. Treba da dobiješ
[dispmath]\cdots=\frac{3}{4}\left[\begin{matrix}
0 \\
\frac{16}{3}
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
\frac{3}{4}\cdot 0 \\
\frac{\cancel 3}{4}\cdot\frac{16}{\cancel 3}
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
0 \\
\frac{16}{4}
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
0 \\
4
\end{matrix}\right][/dispmath]

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Subota, 23. Novembar 2013, 03:23
od smaka7
Brate hvala ti! Napokon ga resih! :insane: E sada jos da zavrsim onaj 3 zadatak. I sa njime muku mucim jos vise nego sa ovim. :facepalm:

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Ponedeljak, 25. Novembar 2013, 00:00
od smaka7
Evo treci kako sam uradio, ali mi se ne slaze. Pomagajte. :)
[dispmath]B^{-1}=\frac{1}{\det B}\left|\begin{matrix} A_{11} & A_{21}\\ A_{12} & A_{22}\end{matrix}\right|[/dispmath]
[dispmath]\det B=\left|\begin{matrix} -2 & -1\\ 1 & 0\end{matrix}\right|=(-2)\cdot 0-(-1)\cdot 1=0-(-1)=1[/dispmath]
[dispmath]B^{-1}=1\left[\begin{matrix} 0 & 1\\ -1 & -2\end{matrix}\right][/dispmath]
[dispmath]C^{-1}=\frac{1}{\det C}\left|\begin{matrix} A_{11} & A_{21}\\ A_{12} & A_{22}\end{matrix}\right|[/dispmath]
[dispmath]\det C=\left|\begin{matrix} -3 & 5\\ 2 & -4\end{matrix}\right|=(-3)\cdot (-4)-2\cdot 5=12-10=2[/dispmath]
[dispmath]C^{-1}=2\left[\begin{matrix} -4 & -5\\ -2 & -3\end{matrix}\right][/dispmath]
[dispmath]\left(2\left[\begin{matrix} 2 & 1\\ 1 & -3\end{matrix}\right]\right)-\left(-3\left[\begin{matrix} 0 & 1\\ -1 & -2\end{matrix}\right]\right)+\left(\frac{3}{2}\left[\begin{matrix} -4 & -5\\ -2 & -3\end{matrix}\right]\right)=\left[\begin{matrix} 4 & 2\\ 2 & -6\end{matrix}\right]-\left[\begin{matrix} 0 & -3\\ 3 & 6\end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix}\frac{-12}{2} & \frac{-15}{2}\\ \frac{-6}{2} & \frac{-9}{2}\end{matrix}\right][/dispmath]
[dispmath]=\left[\begin{matrix} 4 & -1\\ -1 & -12\end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix}\frac{-12}{2} & \frac{-15}{2}\\ \frac{-6}{2} & \frac{-9}{2}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}\frac{-8}{2} & \frac{-16}{2}\\ \frac{-7}{2} & \frac{-21}{2}\end{matrix}\right][/dispmath]

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Ponedeljak, 25. Novembar 2013, 02:44
od Daniel
[inlmath]B^{-1}[/inlmath] si ispravno odredio. Takođe si ispravno odredio i [inlmath]\det C[/inlmath].
Međutim, imaš grešku kod određivanja [inlmath]C^{-1}[/inlmath]:
smaka7 je napisao:[dispmath]C^{-1}={\color{red}2}\left[\begin{matrix} -4 & -5\\ -2 & -3\end{matrix}\right][/dispmath]

Vrednost adjungovane matrice [inlmath]C[/inlmath], koju si takođe ispravno odredio, ne množiš sa [inlmath]\det C[/inlmath], već sa [inlmath]\frac{1}{\det C}[/inlmath]. Uostalom, na prvoj stranici ove teme Eseper ti je pokazao koja vrednost treba da se dobije za [inlmath]C^{-1}[/inlmath].

Osim toga, u izrazu
smaka7 je napisao:[dispmath]\left(2\left[\begin{matrix} 2 & 1\\ 1 & -3\end{matrix}\right]\right)-\left({\color{red}-}3\left[\begin{matrix} 0 & 1\\ -1 & -2\end{matrix}\right]\right)+\left({\color{red}\frac{3}{2}}\left[\begin{matrix} -4 & -5\\ -2 & -3\end{matrix}\right]\right)=\cdots[/dispmath]

imaš dve greške (obeležio sam ih crveno).
Jednačina koju treba da izračunaš glasi [inlmath]2A-3B^{-1}+C^{-1}[/inlmath]. Prema tome, matricu [inlmath]B^{-1}[/inlmath] množiš ne sa [inlmath]\left(-3\right)[/inlmath], već sa [inlmath]3[/inlmath], pre nego što je oduzmeš od [inlmath]2A[/inlmath].
Matricu [inlmath]C^{-1}[/inlmath] ne treba da množiš ni sa čim, jer u izrazu koji se traži, [inlmath]2A-3B^{-1}+C^{-1}[/inlmath], uz matricu [inlmath]C^{-1}[/inlmath] nemaš nikakav koeficijent.

Ispravi ove greške i dobićeš ispravan rezultat. I da, nemoj ostavljati razlomke [inlmath]\frac{12}{2}[/inlmath], [inlmath]-\frac{6}{2}[/inlmath] itd, već to odmah skraćuj: [inlmath]\frac{12}{2}=6[/inlmath], [inlmath]-\frac{6}{2}=-3[/inlmath]...

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Ponedeljak, 25. Novembar 2013, 04:24
od smaka7
Jedino mi ispada tacno ako ne mnozim [dispmath]2\cdot A[/dispmath] Da li tako treba?

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Ponedeljak, 25. Novembar 2013, 04:26
od Daniel
Pa moraš matricu [inlmath]A[/inlmath] da pomnožiš sa [inlmath]2[/inlmath], ako ti se traži izraz [inlmath]2A-3B^{-1}+C^{-1}[/inlmath].

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Ponedeljak, 25. Novembar 2013, 04:42
od smaka7
Zavrsio sam. To je to. Hvala jos jednom. :D Idemo dalje. :)

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Četvrtak, 05. Decembar 2013, 14:44
od Daniel
Ona dva zadatka s integralima,[dispmath]\int\left(\left(x^5+2\left(x^3+2\right)+x\right)\times\ln\left(3-x\right)\right)\mathrm dx[/dispmath]i[dispmath]\int\frac{2x^4-6x^2-x}{x^3+2x^2+1}\mathrm dx[/dispmath]rešena su u rubrici „Integrali“.

Re: Determinante, matrice, integrali. Pomoc!

PostPoslato: Petak, 06. Decembar 2013, 14:57
od smaka7
Zahvaljujem! :)