Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Algebarske strukture, Abelova grupa! Pomoc

Matrice, determinante...

Moderator: Corba248

Algebarske strukture, Abelova grupa! Pomoc

Postod shimi » Nedelja, 17. Novembar 2013, 21:10

Pozdrav svima. Da li neko moze malo da mi pojasni kako se resavaju zadaci u kojima treba da proverim da li je struktura Abelova grupa?

Evo na primer ovaj zadatak:

1. Ako je [dispmath]A=\left\{x+y\sqrt 2;\;x,y\in\mathbb{Q},\;x^2-2y^2=1\right\}[/dispmath]
i [inlmath]a*b=ab[/inlmath] za [inlmath]a,b\in A[/inlmath] , ispitati da li je [inlmath](A,*)[/inlmath] grupa.


2. Neka je [inlmath]\left\{A={ab\choose cd} ,\;a,b,c,d\in\mathbb{Z},\;ad-bc=1\right\}[/inlmath]
Ispitati da li je struktura [inlmath](A,\cdot)[/inlmath] Abelova grupa.

Bio bih vam zahvalan ako biste mi pojasnili malo ovaj tip zadataka uopste :)
Korisnikov avatar
shimi  OFFLINE
 
Postovi: 27
Zahvalio se: 11 puta
Pohvaljen: 6 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Algebarske strukture, Abelova grupa! Pomoc

Postod ubavic » Nedelja, 17. Novembar 2013, 23:40

Da bi ta struktura bila grupa mora da zadovoljava aksiome grupe:

1. Zatvorenost u odnosu na operaciju [inlmath](\forall a,b\in A)\quad a*b\in A[/inlmath].
2. Osobina asocijativnosti [inlmath]a*(b*c)=(a*b)*c[/inlmath]
3. Postojanje neutralnog elementa [inlmath](\exists e\in A)\quad e*a=a*e=a[/inlmath]
4. Postojanje inverznog elementa [inlmath]\left(\forall a\in A \ \exists a^{-1}\in A\right)\quad a*a^{-1}=e[/inlmath]
(5.) Osobina komutatinosti (za Abelove grupe) [inlmath]a*b=b*a[/inlmath]

Treba da dokažeš da važe svi od gorenavedenih uslova. Probaj sam, pa ako zapneš negde postavi pitanje. Evo neka osnovna upustva za prvi:
Množenje je samo po sebi asocijativno, pa ovde nemaš šta da dokazuješ. Neutral postoji ([inlmath]e=1+0\sqrt2[/inlmath]). Inverzni elementi postoje, treba da iz proizvoda [inlmath]a_1*a_2=e[/inlmath] izraziš [inlmath]x_2[/inlmath] i [inlmath]y_2[/inlmath] (ako se ne varam, trebalo bi da se dobiju rešenja [inlmath]y_2=\frac{x_1^2+2y_1^2}{y_1}[/inlmath] i [inlmath]x_2=\frac{-y_2x_1}{y_2}[/inlmath]). Drugi je veoma sličan. Koliko mi se čini najteže je dokazati osobinu zatvorenosti kod oba.
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 529
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 348 puta
Pohvaljen: 515 puta

Re: Algebarske strukture, Abelova grupa! Pomoc

Postod shimi » Nedelja, 17. Novembar 2013, 23:49

Hvala na odgovorima, ali ja znam ovih 5 stavki, znam teoriju. Ako je grupa onda moraju prve 4 stavke da vaze, ali da nesto dokazem nema teorije :)
Korisnikov avatar
shimi  OFFLINE
 
Postovi: 27
Zahvalio se: 11 puta
Pohvaljen: 6 puta

  • +1

Re: Algebarske strukture, Abelova grupa! Pomoc

Postod ubavic » Ponedeljak, 18. Novembar 2013, 00:30

Evo za prvi:

Neutral:
[dispmath]a*e=a[/dispmath]
[dispmath]\left(x+\sqrt{2}y\right)*e=x+\sqrt{2}y[/dispmath]
Pošto je u pitanju najobičnije množenje sledi da je [inlmath]e=1[/inlmath].
[dispmath]1=e=x+\sqrt{2}y[/dispmath]
[inlmath]\sqrt2[/inlmath] je iracionalan broj pa je zbog toga i [inlmath]y\sqrt2[/inlmath] iracionalno. Kako bi zbir racionalnog ([inlmath]x[/inlmath]) i iracionalnog broja ([inlmath]y[/inlmath]) bio uvek iracionalan zaključujemo da je [inlmath]y=0[/inlmath] a [inlmath]x=1[/inlmath].

Asocijativnost:
Množenje je samo po sebi asocijativno, ali evo dokaza.
[dispmath]a_1*(a_2*a_3)=(a_1*a_2)*a_3[/dispmath]
[dispmath]\left(x_1+\sqrt{2}y_1\right)*\left[\left(x_2+\sqrt{2}y_2\right)*\left(x_3+\sqrt{2}y_3\right)\right]=\left[\left(x_1+\sqrt{2}y_1\right)*\left(x_2+\sqrt{2}y_2\right)\right]*\left(x_3+\sqrt{2}y_3\right)[/dispmath]
[dispmath]\dots[/dispmath]
[dispmath]x_1x_2x_3+\sqrt2 x_1cy_1+\sqrt2 x_1y_3x_3+2x_1y_3y_1+\sqrt2 y_2cx_3+2y_2cy_1+2y_2y_3x_3+2\sqrt2 y_2y_3y_1=\\ x_1x_2x_3+\sqrt2 x_1cy_1+\sqrt2 x_1y_3x_3+2x_1y_3y_1+\sqrt2 y_2cx_3+2y_2cy_1+2y_2y_3x_3+2\sqrt2 y_2y_3y_1[/dispmath]
Čime je jednakost dokazana.

Inverzni element:
[dispmath]a_1*a_2=e[/dispmath]
[dispmath]\left(x_1+\sqrt{2}y_1\right)*\left(x_2+\sqrt{2}y_2\right)=1[/dispmath]
[dispmath]x_1x_2+2y_1y_2+\sqrt{2}(x_1y_2+x_2y_1)=1[/dispmath]
Iz ovoga sledi da je [inlmath]x_1x_2+2y_1y_2=1[/inlmath] i [inlmath]\sqrt{2}(x_1y_2+x_2y_1)=0[/inlmath]. Argument za ovo je sličan onome koji sam gore dao za neutral. Ova dva izraza rešiš po [inlmath]x_2[/inlmath], pa zatim izjednačiš ih i izraziš [inlmath]y_2[/inlmath]. Trebalo bi da se dobiju rešenja koja sam gore napisao, ali proveri možda sam negde zeznuo. Rešenja ([inlmath]x_2,y_2[/inlmath]) koja budeš dobio su zavisna samo od [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]y_1[/inlmath] i prema tome su jedinstvena i racionalna.

Nadam se da sam bio od pomoći bar malo. Molim te proveri sve ovo, pošto ne mogu da ti garantujem 100% . Nastavak sledi, ali sutra... ;)
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 529
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 348 puta
Pohvaljen: 515 puta

Re: Algebarske strukture, Abelova grupa! Pomoc

Postod shimi » Ponedeljak, 18. Novembar 2013, 01:04

Hvala puno na odgovoru!

Samo mi nije jasno kako si iz ovoga [inlmath]\left(x+\sqrt{2}y\right)*e=e*\left(x+\sqrt{2}y\right)=x+\sqrt{2}y[/inlmath] kako si iz toga dobio ovo [inlmath]1=e=x+\sqrt{2}y[/inlmath]

i za zatvorenost kako se dokazuje :)
Korisnikov avatar
shimi  OFFLINE
 
Postovi: 27
Zahvalio se: 11 puta
Pohvaljen: 6 puta

  • +1

Re: Algebarske strukture, Abelova grupa! Pomoc

Postod ubavic » Ponedeljak, 18. Novembar 2013, 15:51

shimi je napisao:Hvala puno na odgovoru!
Samo mi nije jasno kako si iz ovoga [inlmath]\left(x+\sqrt{2}y\right)*e=e*\left(x+\sqrt{2}y\right)=x+\sqrt{2}y[/inlmath] kako si iz toga dobio ovo [inlmath]1=e=x+\sqrt{2}y[/inlmath]

E ovde sam pogrešio Izvini.
Hteo sam reći da je [inlmath]e[/inlmath] u skupu [inlmath]A[/inlmath] i zbog toga ima oblik [inlmath]x_e+\sqrt{2}y_e[/inlmath]. Zbog toga što je [inlmath]e=1[/inlmath], onda moraju postojati racionalni brojevi ([inlmath]x_e,y_e[/inlmath]) takvi da tadovoljavaju jednačinu [inlmath]x_e+\sqrt{2}y_e=1[/inlmath]. Jedino rešenje među racionalnim brojevima je [inlmath]x_e+\sqrt{2}y_e=1+0\sqrt2[/inlmath]
Nadam se da je sad razjašnjeno.

Sa zatvorenošću se i ja mučim. Možda neko od ostalih članova foruma ima neku ideju?
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 529
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 348 puta
Pohvaljen: 515 puta

Re: Algebarske strukture, Abelova grupa! Pomoc

Postod Daniel » Ponedeljak, 18. Novembar 2013, 18:00

Zatvorenost možemo dokazati tako što dokažemo da rezultat primene operacije na dva elementa skupa takođe pripada tom skupu:
[dispmath]\left(x_1+y_1\sqrt 2\right)\cdot\left(x_2+y_2\sqrt 2\right)=\left(x_1x_2+2y_1y_2\right)+\left(x_1y_2+x_2y_1\right)\sqrt 2=x_3+y_3\sqrt 2[/dispmath]
gde je
[dispmath]x_3=x_1x_2+2y_1y_2,\quad y_3=x_1y_2+x_2y_1[/dispmath]
Pošto je proizvod racionalnih brojeva takođe racionalan broj, a [inlmath]x_1[/inlmath], [inlmath]x_2[/inlmath], [inlmath]y_1[/inlmath] i [inlmath]y_2[/inlmath] su racionalni brojevi, sledi da će racionalni brojevi biti i [inlmath]x_1x_2[/inlmath], [inlmath]2y_1y_2[/inlmath], [inlmath]x_1y_2[/inlmath] i [inlmath]x_2y_1[/inlmath].
Pošto je zbir dva racionalna broja takođe racionalan broj, a pokazano je da su brojevi [inlmath]x_1x_2[/inlmath], [inlmath]2y_1y_2[/inlmath], [inlmath]x_1y_2[/inlmath] i [inlmath]x_2y_1[/inlmath] racionalni, biće racionalni i brojevi [inlmath]x_1x_2+2y_1y_2[/inlmath] i [inlmath]x_1y_2+x_2y_1[/inlmath], tj. biće racionalni i brojevi [inlmath]x_3[/inlmath] i [inlmath]y_3[/inlmath]. Prema tome, broj koji smo dobili množenjem dva broja iz skupa [inlmath]A[/inlmath] biće oblika [inlmath]x_3+y_3\sqrt 2,\;x_3,y_3\in\mathbb{Q}[/inlmath], pa i taj broj pripada skupu [inlmath]A[/inlmath].



Što se tiče inverznog elementa, ja bih ga uradio malo drugačije. U zadatku je dat uslov da je
[dispmath]x^2-2y^2=1[/dispmath]
Rastavimo levu stranu kao razliku kvadrata:
[dispmath]\left(x+y\sqrt 2\right)\cdot\left(x-y\sqrt 2\right)=1[/dispmath]
Odavde se odmah vidi da svaki element skupa [inlmath]A[/inlmath], oblika [inlmath]x+y\sqrt 2[/inlmath], ima svoj inverzni element koji iznosi [inlmath]x-y\sqrt 2[/inlmath], jer množenjem tim inverznim elementom daje [inlmath]x^2-2y^2[/inlmath], što je, prema uslovu zadatka, jednako jedinici, a za jedinicu je Ubavic već pokazao da predstavlja neutralni element ove grupe.



U [inlmath]2.[/inlmath] zadatku me zbunjuje ovaj binomni koeficijent, jesi li siguran da tu treba da stoji binomni koeficijent, a ne, možda, determinanta [inlmath]\left|\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right|[/inlmath] :?:
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel   ONLINE
Administrator
 
Postovi: 7681
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

  • +1

Re: Algebarske strukture, Abelova grupa! Pomoc

Postod ubavic » Ponedeljak, 18. Novembar 2013, 18:29

@Daniel Što se tiče zatvorenosti, tako sam i ja pokušao, ali naišao sam na problem. U zadatku za definiciju skupa dat je uslov [inlmath]x^2-2y^2=1[/inlmath]. Kako znamo da [inlmath]\left(x_1x_2+2y_1y_2\right)+\left(x_1y_2+x_2y_1\right)\sqrt 2[/inlmath] zadovoljava ovaj uslov?
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 529
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 348 puta
Pohvaljen: 515 puta

Re: Algebarske strukture, Abelova grupa! Pomoc

Postod Daniel » Ponedeljak, 18. Novembar 2013, 18:32

Jeste, u pravu si, i meni je to baš malopre palo na pamet. Razmisliću kako to dokazati.

Isto tako i za neutralni i za inverzni element treba pokazati da važi jednakost [inlmath]x^2-2y^2=1[/inlmath], ali za njih se to bar lako dokazuje.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel   ONLINE
Administrator
 
Postovi: 7681
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

  • +1

Re: Algebarske strukture, Abelova grupa! Pomoc

Postod Daniel » Ponedeljak, 18. Novembar 2013, 18:54

Znači, potrebno je da [inlmath]\left(x_1x_2+2y_1y_2\right)+\left(x_1y_2+x_2y_1\right)\sqrt 2[/inlmath] zadovoljava taj uslov, tj. treba dokazati da je [inlmath]\left(x_1x_2+2y_1y_2\right)^2-2\left(x_1y_2+x_2y_1\right)^2=1[/inlmath].
[dispmath]\left(x_1x_2+2y_1y_2\right)^2-2\left(x_1y_2+x_2y_1\right)^2=x_1^2x_2^2+4x_1x_2y_1y_2+4y_1^2y_2^2-2\left(x_1^2y_2^2+2x_1x_2y_1y_2+x_2^2y_1^2\right)=[/dispmath][dispmath]=x_1^2x_2^2+\cancel{4x_1x_2y_1y_2}+4y_1^2y_2^2-2x_1^2y_2^2-\cancel{4x_1x_2y_1y_2}-2x_2^2y_1^2=x_1^2x_2^2+4y_1^2y_2^2-2x_1^2y_2^2-2x_2^2y_1^2=[/dispmath]
Pošto je [inlmath]x^2-2y^2=1[/inlmath], možemo umesto toga pisati [inlmath]x^2=1+2y^2[/inlmath], tj. [inlmath]x_1^2=1+2y_1^2,\quad x_2^2=1+2y_2^2[/inlmath]:
[dispmath]=\left(1+2y_1^2\right)\left(1+2y_2^2\right)+4y_1^2y_2^2-2\left(1+2y_1^2\right)y_2^2-2\left(1+2y_2^2\right)y_1^2=[/dispmath][dispmath]=1+\cancel{2y_1^2}+\cancel{2y_2^2}+\cancel{4y_1^2y_2^2}+\cancel{4y_1^2y_2^2}-\cancel{2y_2^2}-\cancel{4y_1^2y_2^2}-\cancel{2y_1^2}-\cancel{4y_1^2y_2^2}=1[/dispmath]čime je jednakost dokazana.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel   ONLINE
Administrator
 
Postovi: 7681
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Sledeća

Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 20. Avgust 2019, 01:10 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs