Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Algebarske strukture, Abelova grupa! Pomoc

Matrice, determinante...

Moderator: Corba248

Re: Algebarske strukture, Abelova grupa! Pomoc

Postod shimi » Utorak, 19. Novembar 2013, 01:05

Hvala carevi, a u drugom jeste determinanta samo me zeza ovaj latex :)
Korisnikov avatar
shimi  OFFLINE
 
Postovi: 27
Zahvalio se: 11 puta
Pohvaljen: 6 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Algebarske strukture, Abelova grupa! Pomoc

Postod shimi » Utorak, 19. Novembar 2013, 01:07

Ustvari ne determinanta nego matrica.
Korisnikov avatar
shimi  OFFLINE
 
Postovi: 27
Zahvalio se: 11 puta
Pohvaljen: 6 puta

  • +1

Re: Algebarske strukture, Abelova grupa! Pomoc

Postod Daniel » Utorak, 19. Novembar 2013, 08:13

:mrgreen:
Razlika između determinante i matrice je, u ovom slučaju, drastična. :) Eto, možeš, vežbe radi, baš da uradiš za slučaj da u tekstu stoji determinanta, pa ćeš videti koliko su tada svi dokazi za Abelovu grupu trivijalni.

OK, znači, [inlmath]2.[/inlmath] zadatak glasi ovako:
[dispmath]A=\left\{\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right],\;a,b,c,d\in\mathbb{Z},\;ad-bc=1\right\}[/dispmath]
i treba ispitati da li je [inlmath]\left(A,\cdot\right)[/inlmath] Abelova grupa.

Zatvorenost:
[dispmath]\left[\begin{matrix}
a_1 & b_1 \\
c_1 & d_1
\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}
a_2 & b_2 \\
c_2 & d_2
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
a_1a_2+b_1c_2 & a_1b_2+b_1d_2 \\
c_1a_2+d_1c_2 & c_1b_2+d_1d_2
\end{matrix}\right][/dispmath]
Potrebno je pokazati da i elementi matrice [inlmath]\left[\begin{matrix}
a_1a_2+b_1c_2 & a_1b_2+b_1d_2 \\
c_1a_2+d_1c_2 & c_1b_2+d_1d_2
\end{matrix}\right][/inlmath] zadovoljavaju uslov pripadnosti skupu [inlmath]A[/inlmath].

Ako [inlmath]a_1,b_1,c_1,d_1,a_2,b_2,c_2,d_2\in\mathbb{Z}[/inlmath], tada i [inlmath]a_1a_2+b_1c_2,a_1b_2+b_1d_2,c_1a_2+d_1c_2,c_1b_2+d_1d_2\in\mathbb{Z}[/inlmath], zbog zatvorenosti sabiranja i množenja u odnosu na skup [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath].
Potrebno je još pokazati i da je [inlmath]\left(a_1a_2+b_1c_2\right)\left(c_1b_2+d_1d_2\right)-\left(a_1b_2+b_1d_2\right)\left(c_1a_2+d_1c_2\right)=1[/inlmath]:

[dispmath]\left(a_1a_2+b_1c_2\right)\left(c_1b_2+d_1d_2\right)-\left(a_1b_2+b_1d_2\right)\left(c_1a_2+d_1c_2\right)=[/dispmath][dispmath]=\cancel{a_1c_1a_2b_2}+a_1d_1a_2d_2+b_1c_1b_2c_2+\cancel{b_1d_1c_2d_2}-\cancel{a_1c_1a_2b_2}-a_1d_1b_2c_2-b_1c_1a_2d_2-\cancel{b_1d_1c_2d_2}=[/dispmath][dispmath]=a_1d_1a_2d_2+b_1c_1b_2c_2-a_1d_1b_2c_2-b_1c_1a_2d_2=\left(a_1d_1a_2d_2-b_1c_1a_2d_2\right)-\left(a_1d_1b_2c_2-b_1c_1b_2c_2\right)=[/dispmath]
Pošto je, prema uslovu zadatka, [inlmath]ad-bc=1[/inlmath], tada je i [inlmath]a_1d_1-b_1c_1=1[/inlmath] i [inlmath]a_2d_2-b_2c_2=1[/inlmath]:
[dispmath]=\underbrace{\left(a_1d_1-b_1c_1\right)}_1a_2d_2-\underbrace{\left(a_1d_1-b_1c_1\right)}_1b_2c_2=a_2d_2-b_2c_2=1[/dispmath]
Asocijativnost:
Poznato je da važi asocijativnost množenja matrica, što znači da je i u ovom slučaju asocijativnost zadovoljena.

Neutralni element:
Poznato je da je neutral kod množenja matrica jedinična matrica, [inlmath]\left[\begin{matrix}
a_e & b_e \\
c_e & d_e
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{matrix}\right][/inlmath]. Ali, potrebno je dokazati i pripadnost neutralnog elementa skupu [inlmath]A[/inlmath]:
[dispmath]a_e,b_e,c_e,d_e\in\mathbb{Z}\;\land\;a_ed_e-b_ec_e=1[/dispmath]
[dispmath]1,0,0,1\in\mathbb{Z}\;\land\;1\cdot 1-0\cdot 0=1[/dispmath]
Pošto su oba uslova zadovoljena, dokazano je postojanje neutralnog elementa u skupu [inlmath]A[/inlmath].

Inverzni element:
Znamo da je inverzni element za množenje, za matricu [inlmath]A[/inlmath], jednak:
[dispmath]A^{-1}=\frac{\mathrm{adj}\:A}{\det A}[/dispmath]
gde je, za matrice drugog reda, [inlmath]\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right][/inlmath],
[dispmath]\mathrm{adj}\:A=\left[\begin{matrix}
d & -b \\
-c & a
\end{matrix}\right],\quad\det A=ad-bc[/dispmath]
a, pošto je prema uslovu zadatka [inlmath]ad-bc=1[/inlmath], to je i [inlmath]\det A=1[/inlmath], pa je [inlmath]A^{-1}=\mathrm{adj}\;A[/inlmath], tj.
[dispmath]\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right]^{-1}=\left[\begin{matrix}
d & -b \\
-c & a
\end{matrix}\right][/dispmath]
Potrebno je dokazati pripadnost inverznog elementa skupu [inlmath]A[/inlmath]:
[dispmath]a,b,c,d\in\mathbb{Z}\;\Rightarrow\; d,-b,-c,a\in\mathbb{Z}[/dispmath]
[dispmath]da-\left(-b\right)\left(-c\right)=ad-bc=1[/dispmath]
Pošto su oba uslova zadovoljena, dokazano je postojanje neutralnog elementa u skupu [inlmath]A[/inlmath].

Komutativnost:
Komutativnost ne važi, a to je najjednostavnije pokazati na kontraprimeru. Uzmimo dve matrice koje zadovoljavaju uslov da su joj elementi celi brojevi i da je [inlmath]ad-bc=1[/inlmath], na primer, matrice [inlmath]A=\left[\begin{matrix}
2 & 1 \\
1 & 1
\end{matrix}\right][/inlmath] i [inlmath]B=\left[\begin{matrix}
3 & 1 \\
2 & 1
\end{matrix}\right][/inlmath]:
[dispmath]A\cdot B=\left[\begin{matrix}
2 & 1 \\
1 & 1
\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}
3 & 1 \\
2 & 1
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
2\cdot 3+1\cdot 2 & 2\cdot 1+1\cdot 1 \\
1\cdot 3+1\cdot 2 & 1\cdot 1+1\cdot 1
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
8 & 3 \\
5 & 2
\end{matrix}\right][/dispmath]
[dispmath]B\cdot A=\left[\begin{matrix}
3 & 1 \\
2 & 1
\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}
2 & 1 \\
1 & 1
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
3\cdot 2+1\cdot 1 & 3\cdot 1+1\cdot 1 \\
2\cdot 2+1\cdot 1 & 2\cdot 1+1\cdot 1
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
7 & 4 \\
5 & 3
\end{matrix}\right][/dispmath]
[dispmath]\left[\begin{matrix}
8 & 3 \\
5 & 2
\end{matrix}\right]\ne\left[\begin{matrix}
7 & 4 \\
5 & 3
\end{matrix}\right]\;\Rightarrow\;A\cdot B\ne B\cdot A[/dispmath]

Prema tome, posmatrana struktura jeste grupa, ali ne i Abelova grupa.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7680
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Prethodna

Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 7 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 19. Avgust 2019, 14:00 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs