Stranica 1 od 1

Sistem linearnih jednačina s parametrima

PostPoslato: Utorak, 14. Januar 2014, 13:01
od stevan95
Izvinjavam se ako sam ovo objavio u pogrešnoj sekciji, ispravite me, ako je tako.

Da li bi neko mogao da mi pojasni ovaj zadatak?

Rešiti sisteme jednačina, [inlmath]a,b[/inlmath] su realni parametri.
[dispmath]ax+by=a+hb\\
bx+ay=ah+b[/dispmath]
Zadatak: 749 đ), "Matematika1"

Hvala!

Re: Sistem linearnih jednačina s parametrima

PostPoslato: Utorak, 14. Januar 2014, 13:19
od Daniel
Sisteme jednačina možeš rešiti na milion načina, ne znam koji se od vas traži?

Jedan od načina je da iz prve jednačine izraziš [inlmath]y[/inlmath] u zavisnosti od [inlmath]x[/inlmath], zatim to uvrstiš u drugu jednačinu umesto [inlmath]y[/inlmath] i dobiješ time jednačinu po jednoj nepoznatoj, [inlmath]x[/inlmath], koju rešiš, a zatim dobijeno rešenje po [inlmath]x[/inlmath] vratiš u prvu jednačinu, koja time takođe postaje jednačina po jednoj nepoznatoj, [inlmath]y[/inlmath].

Zatim, imaš način da množenjem svake od te dve jednačine nekom konstantom dobiješ u obe jednačine jednake koeficijente uz neku od promenljivih, pa zatim jednu jednačinu oduzmeš od druge, pri čemu se sabirci koji sadrže tu promenljivu pokrate (Gausova metoda eliminacije). Evo kako bi to izgledalo na ovom primeru:
[dispmath]\begin{matrix}
ax+by=a+hb\quad /\cdot a \\
bx+ay=ah+b\quad /\cdot b
\end{matrix}[/dispmath]
Prvu jednačinu smo množili sa [inlmath]a[/inlmath], a drugu sa [inlmath]b[/inlmath], kako bismo u obe jednačine dobili jednake koeficijente uz [inlmath]y[/inlmath]; takođe, mogli smo i da prvu pomnožimo sa [inlmath]b[/inlmath], a drugu sa [inlmath]a[/inlmath], pa bismo u obe jednačine dobili jednake koeficijente uz [inlmath]y[/inlmath] – potpuno je svejedno.
[dispmath]\begin{matrix}
a^2x+aby=a^2+hab \\
b^2x+aby=abh+b^2
\end{matrix}[/dispmath]
Od prve jednačine oduzmemo drugu (mogli smo i od druge prvu, svejedno):
[dispmath]\left(a^2-b^2\right)x+\cancel{aby}-\cancel{aby}=a^2+\cancel{hab}-\cancel{abh}-b^2[/dispmath]
[dispmath]\left(a^2-b^2\right)x=a^2-b^2[/dispmath]
[dispmath]\underline{x=1}[/dispmath]
Vratiš tu vrednost sada u bilo koju od polazne dve jednačine, recimo u prvu, pa dobiješ:
[dispmath]\cancel a+by=\cancel a+hb[/dispmath]
[dispmath]\cancel by=h\cancel b[/dispmath]
[dispmath]\underline{y=h}[/dispmath]
Potoje još načini i preko matrica, preko determinanti (Kramerove formule) itd...

Re: Sistem linearnih jednačina s parametrima

PostPoslato: Utorak, 14. Januar 2014, 14:13
od Milovan
Evo još jedan način. :D

Sabiranjem ovih jednačina: [dispmath]x(a+b)+y(a+b)=a+b+h(a+b)[/dispmath]
Deljenjem sa [inlmath]a+b[/inlmath] (pri [inlmath]a\neq -b[/inlmath]) se dobija jednačina [inlmath]x+y=1+h[/inlmath].

Dakle, [inlmath]h=x+y -1[/inlmath]

Vraćanjem u polazne jednačine:
[dispmath]ax+by=a+b(x+y-1)\\
bx+ay=b+a(x+y-1)[/dispmath]
Ovo sad je sistem sa dve jednačine, dve nepoznate. Kada se sredi, ovo postaje
[dispmath]ax+by=a+bx+by-b\\
bx+ay=b+ax+ay-a[/dispmath]
Odnosno:
[dispmath](a-b)x=a-b\\
(b-a)x=b-a[/dispmath]
Ove jednačine se svode jedna na drugu. Za [inlmath]a\neq b[/inlmath] [dispmath]x=1[/dispmath].

Kako je [inlmath]h=x+y-1=1+y-1=y[/inlmath]. Dakle, [inlmath](x, y)=(1, h)[/inlmath].

Vraćanjem dobijamo da je [inlmath]a+bh=a+hb[/inlmath] i [inlmath]b+ah=b+ah[/inlmath], pa je navedeni par zaista rešenje sistema.

Re: Sistem linearnih jednačina s parametrima

PostPoslato: Sreda, 15. Januar 2014, 16:44
od stevan95
Hvala vam na odgovorima.

S obzirom na to da ni u jednom odgovoru nisam naleteo na ono što se od mene u zadatku očekuje da uradim, pretpostavljam da sam bio neprecizan, jer nisam napomenuo da je reč o diskusiji sistema linearnih jednačina (doduše nisam ni znao da se ovakvi sistemi mogu rešavati bez diskusije :D). Izvinjavam se :)

Evo ovako, da ne bih objašnjavao kako radim, ispisaću zadatak ovde, pa da vidite šta ne štima:
[dispmath]ax+by=a+hb\\
bx+ay=ah+b[/dispmath]
[dispmath]D=a^2-b^2=(a-b)(a+b)[/dispmath]
Prvi slučaj: [inlmath]D=0\quad\Rightarrow\quad (a-b)=0\;\lor\;(a+b)=0[/inlmath]
Rešavamo [inlmath](a-b)=0\;\Rightarrow\;a=b[/inlmath], što ubacujemo u početni sistem:
[dispmath]ax+ay=a+ah\\
ax+ay=ah+a[/dispmath]
Markiramo [inlmath]x[/inlmath], i donju jednačinu množimo sa [inlmath]-1[/inlmath], kako bismo nakon sabiranja obe jednačine, izgubili [inlmath]x[/inlmath].
Prepisujemo prvu, a umesto druge pišemo rezultat sabiranja levih i desnih strana obe jednačine.
[dispmath]ax+ay=a+ah\\
0=0[/dispmath]
Dobijeni rezultat sabiranja nam govori da ovaj sistem ima beskonačno rešenja i primenjujemo sledeći postupak.
Za [inlmath]y[/inlmath] uzimamo da može biti svaki realan broj, a zatim iz prve jednačine izvlačimo [inlmath]x[/inlmath]:
[dispmath]ax+ay=a+ah\\
\cancel {a}(x+y)=\cancel {a}(1+h)\\
x+y=1+h\\
x=1+h-y[/dispmath]
Dakle, rešenje za slučaj [inlmath]a=b[/inlmath] je [inlmath](1+h-y,y)[/inlmath], gde je [inlmath]y[/inlmath] realan broj.

Isti postupak ponovimo za drugu zagradu, tj. [inlmath]a=-b[/inlmath] i dobijemo takođe da sistem ima beskonačno mnogo rešenja, a da je rešenje sistema u tom slučaju [inlmath](1-h+y,y)[/inlmath].
Da sumiramo, rešenja ovog sistema za slučaj [inlmath]D=0[/inlmath] su:
(1) Za [inlmath]a=b[/inlmath], rešenje sistema je [inlmath](1+h-y,y)[/inlmath]
(2) Za [inlmath]a=-b[/inlmath], rešenje sistema je [inlmath](1-h+y,y)[/inlmath]

Prelazimo na drugi slučaj, tj. [inlmath]D\ne 0[/inlmath]
Sređujemo prvo:
[dispmath]a^2-b^2\not=0\\
a^2\not=b^2\\
a\not= \pm b[/dispmath]
Rešavamo [inlmath]D_x[/inlmath], Kramerovim metodom (ako se ne varam) i dobijamo [inlmath]D_x=(a-b)(a+b)[/inlmath], odnosno [inlmath]x=1[/inlmath].
Rešavamo [inlmath]D_y[/inlmath], istim metodom (pod uslovom da se gore nisam prevario :D) i dobijamo [inlmath]D_y=h(a-b)(a+b)[/inlmath], odnosno [inlmath]y=h[/inlmath].

E sad konačno sumiranje:

(1) Za [inlmath]a=b[/inlmath], rešenje sistema je [inlmath](1+h-y,y)[/inlmath]
(2) Za [inlmath]a=-b[/inlmath], rešenje sistema je [inlmath](1-h+y,y)[/inlmath]
(3) Za [inlmath]a\ne\pm b[/inlmath], rešenje sistema je [inlmath](1,h)[/inlmath]


E sad, ako ste prepoznali postupak, da li vam se čini da nešto ne štima?
U rešenju mi piše ovako:

(1) Za [inlmath]a=b[/inlmath], rešenje sistema je [inlmath](x,1+h-x)[/inlmath]
(2) Za [inlmath]a=-b[/inlmath], rešenje sistema je [inlmath](x,x-1+h)[/inlmath]
(3) Za [inlmath]a\ne\pm b[/inlmath], rešenje sistema je [inlmath](1,h)[/inlmath]

Re: Sistem linearnih jednačina s parametrima

PostPoslato: Sreda, 15. Januar 2014, 17:00
od Daniel
Sve štima, sve si odradio bez greščice. :handgestures-thumbup: Neka te ne zbunjuje različito rešenje koje su oni dobili za slučajeve [inlmath]a=b[/inlmath] i [inlmath]a=-b[/inlmath], oni su uzeli da je [inlmath]x[/inlmath] bilo koji realan broj a [inlmath]y[/inlmath] su izrazili u zavisnosti od [inlmath]x[/inlmath], dok si ti uzeo da je [inlmath]y[/inlmath] bilo koji realan broj pa si [inlmath]x[/inlmath] izrazio u zavisnosti od [inlmath]y[/inlmath]. I jedno i drugo je tačno, tj. potpuno je svejedno koju od te dve promenljive „fiksiraš“, a koju izrašavaš preko one druge.

Re: Sistem linearnih jednačina s parametrima

PostPoslato: Sreda, 15. Januar 2014, 18:56
od stevan95
U redu, zahvaljujem :D

Ono što je mene zbunjivalo jeste reakcija profesorke na jednom od časova kada sam ja "fiksirao" markiranu vrednost i ona se zaprepastila. Al' posle sam kod kuće probao logički da zaključi zašto je to pogrešno, ali nisam došao do potvrdnog odgovora, jer su brojevi u oba slučaja odgovarali jednačini, koja god da je nepoznata bila "fiksirana".