Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Stepen matrice

Matrice, determinante...

Re: Stepen matrice

Postod maxaa » Utorak, 28. Oktobar 2014, 13:09

Taj sam razumeo do detalja, hvala :)

Ali me ovaj muci i sad pokusavam da ga dokazem ali ne uspevam :/
[dispmath]A^n=I+n(A-I)\qquad\mbox{za}\qquad A=\begin{bmatrix}
1 & 0\\
1 & 1
\end{bmatrix}[/dispmath]
Obrazovanje, to je ono, što ostane, nakon što osoba zaboravi sve, što je naučila u školi.
Albert Einstein
Korisnikov avatar
maxaa  OFFLINE
 
Postovi: 176
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 98 puta
Pohvaljen: 20 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Stepen matrice

Postod Daniel » Utorak, 28. Oktobar 2014, 13:20

maxaa je napisao:1.(44.)
[dispmath]A^n=I+n(A-I)\qquad\mbox{za}\qquad A=\begin{bmatrix}
1 & 0\\
1 & 1
\end{bmatrix}[/dispmath]

Ovo se lako dokazuje tako što matricu [inlmath]A[/inlmath] napišeš kao [inlmath]I+\begin{bmatrix}
0 & 0\\
1 & 0
\end{bmatrix}[/inlmath]. Uočiš da je već [inlmath]\begin{bmatrix}
0 & 0\\
1 & 0
\end{bmatrix}^2[/inlmath] jednak nula matrici, a da je, samim tim, i svaki naredni stepen matrice [inlmath]\begin{bmatrix}
0 & 0\\
1 & 0
\end{bmatrix}[/inlmath] jednak nula matrici. Dakle, u binomnom razvoju preostaju samo dva sabirka – onaj koji ne sadrži matricu [inlmath]\begin{bmatrix}
0 & 0\\
1 & 0
\end{bmatrix}[/inlmath] i onaj koji sadrži samo prvi stepen matrice [inlmath]\begin{bmatrix}
0 & 0\\
1 & 0
\end{bmatrix}[/inlmath].

maxaa je napisao:2.(46.) Slicna stvar, samo treba odrediti [inlmath]A^n[/inlmath] za matricu [inlmath]A=\begin{bmatrix}
a & 0\\
0 & a
\end{bmatrix}[/inlmath] ovde mi nije jasan sledeci izraz koji smo radili na vezbama:
[dispmath]A^n=(aI+B)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}(aI)^kB^{n-k}=\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^kB^{n-k}=\underbrace{{n\choose n}a^nB^0+{n\choose n-1}a^{n-1}B}_{\mbox{kako ?}}=a^nI+na^{n-1}B[/dispmath]
Na koji nacin je preko zbira dva clana sume predstavljena cela suma, da li je ovo uopste tacno?

Taj izraz sigurno ne važi za svaku matricu [inlmath]B[/inlmath], tako da pretpostavljam da pod matricom [inlmath]B[/inlmath] podrazumevate neki poseban oblik matrice. Da bi ova formula važila, potrebno je da bude [inlmath]B^2=0[/inlmath] (a samim tim i svaki naredni stepen matrice [inlmath]B[/inlmath] da bude nula matrica), kao što je bio slučaj i u prethodnom zadatku s matricom [inlmath]\begin{bmatrix}
0 & 0\\
1 & 0
\end{bmatrix}[/inlmath].

Pošto ste u ovom zadatku matricu [inlmath]A=\begin{bmatrix}
a & 0\\
0 & a
\end{bmatrix}[/inlmath] napisali kao [inlmath]aI+B[/inlmath], odatle sledi da je u ovom konkretnom zadatku [inlmath]B[/inlmath] nula matrica (što svakako ne mora biti u opštem slučaju kada važi formula [inlmath]A^n=a^nI+na^{n-1}B[/inlmath]), ali u ovom slučaju, kada [inlmath]B[/inlmath] jeste nula matrica, ta formula se svodi na [inlmath]A^n=a^nI[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Stepen matrice

Postod maxaa » Sreda, 29. Oktobar 2014, 18:03

1.44 shvatio, hvala :)

Taj izraz sigurno ne važi za svaku matricu [inlmath]B[/inlmath], tako da pretpostavljam da pod matricom [inlmath]B[/inlmath] podrazumevate neki poseban oblik matrice.

Tako je, u zadatku pise da je matrica [inlmath]B=\begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & 0
\end{bmatrix}[/inlmath] e sad, tu mi nije bilo jasno da li je proizvoljno uzeta ta matrica kao primer ili smisleno. :)
Obrazovanje, to je ono, što ostane, nakon što osoba zaboravi sve, što je naučila u školi.
Albert Einstein
Korisnikov avatar
maxaa  OFFLINE
 
Postovi: 176
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 98 puta
Pohvaljen: 20 puta

Re: Stepen matrice

Postod Daniel » Sreda, 29. Oktobar 2014, 18:42

Nešto se tu ne poklapa. Ako je [inlmath]B=\begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & 0
\end{bmatrix}[/inlmath], tada je [inlmath]aI+B=\begin{bmatrix}
a+1 & 1\\
0 & a
\end{bmatrix}[/inlmath], a to nije jednako matrici [inlmath]A=\begin{bmatrix}
a & 0\\
0 & a
\end{bmatrix}[/inlmath]. Zato, nije logičan postupak u kojem je [inlmath]A[/inlmath] zamenjeno sa [inlmath]aI+B[/inlmath].

Drugo, kad u izraz koji je dobijen na kraju, [inlmath]a^nI+na^{n-1}B[/inlmath], uvrstiš [inlmath]I=\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}[/inlmath] i [inlmath]B=\begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & 0
\end{bmatrix}[/inlmath], dobiješ [inlmath]\begin{bmatrix}
a^n+na^{n-1} & na^{n-1}\\
0 & a^n
\end{bmatrix}[/inlmath], što definitivno nije jednako [inlmath]n[/inlmath]-tom stepenu matrice [inlmath]A[/inlmath], za koji treba da se dobije [inlmath]A^n=\begin{bmatrix}
a^n & 0\\
0 & a^n
\end{bmatrix}[/inlmath].

Treće, svaki stepen matrice [inlmath]B=\begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & 0
\end{bmatrix}[/inlmath] je takođe jednak [inlmath]\begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & 0
\end{bmatrix}[/inlmath]. Zato, nema logike ni korak [inlmath]\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}a^kB^{n-k}={n\choose n}a^nB^0+{n\choose n-1}a^{n-1}B[/inlmath], koji bi važio samo za slučaj da su svi stepeni počev od drugog stepena matrice [inlmath]B[/inlmath] jednaki nuli.

Pošto je [inlmath]A=\begin{bmatrix}
a & 0\\
0 & a
\end{bmatrix}=aI[/inlmath], tada, kao što napisah, da bi važila jednakost [inlmath]A^n=(aI+B)^n[/inlmath], matrica [inlmath]B[/inlmath] mora biti nula matrica. Ali to, opet, nema logike, jer zašto bismo onda uopšte na [inlmath]aI[/inlmath] dodavali nula matricu, kad time ništa ne dobijamo?

I, ne vidim čemu komplikovanje. [inlmath]A^n[/inlmath] se vrlo lako nađe i bez pomoćne matrice [inlmath]B[/inlmath]:
[dispmath]A^n=\begin{bmatrix}
a & 0\\
0 & a
\end{bmatrix}^n=\left(a\cdot\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}\right)^n=\left(aI\right)^n=a^nI^n=a^nI=a^n\cdot\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
a^n & 0\\
0 & a^n
\end{bmatrix}[/dispmath]
Proveri još jednom da li si tačno napisao tekst zadatka.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Prethodna

Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 50 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 14:43 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs