Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Broj resenja trigonometrijske jednacine

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Moderator: Corba248

Broj resenja trigonometrijske jednacine

Postod Mila Maric » Petak, 13. Oktobar 2017, 16:44

Zadatak je sa jednog takmicenja.
Broj resenja jednacine [inlmath]|\cos\pi x|=\frac{x^2}{4}[/inlmath] je:
Resenje je [inlmath]10[/inlmath].
Pokusala sam da zadatak resim preko grafika, stavljajuci da je [inlmath]f(x)=|\cos\pi x|[/inlmath] i [inlmath]g(x)=\frac{x^2}{4}[/inlmath], pa sam pokusala da nadjem neke preseke, ali nisam resila, posto grafike trigonometrijskih funkcija i ne znam bas najbolje.. :)
 
Postovi: 16
Zahvalio se: 14 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Broj resenja trigonometrijske jednacine

Postod Daniel » Petak, 13. Oktobar 2017, 21:04

Prvo, možeš uočiti da su obe funkcije parne. To znači, zbog simetričnosti njihovih grafika na pozitivnom i na negativnom delu [inlmath]x[/inlmath]-ose, dovoljno je izbrojati samo preseke na pozitivnom delu [inlmath]x[/inlmath]-ose, pa njihov broj pomnožiti sa [inlmath]2[/inlmath] (budući da je odmah vidljivo da u tački [inlmath]x=0[/inlmath] nemaju presek).

Radi računanja broja preseka na pozitivnom delu [inlmath]x[/inlmath]-ose, iskoristi činjenicu da je [inlmath]g(x)[/inlmath] za pozitivno [inlmath]x[/inlmath] monotono rastuća, kao i da je maksimalna vrednost funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] jednaka jedinici. Znači, nakon što [inlmath]g(x)[/inlmath] dostigne jedinicu, s daljim povećanjem [inlmath]x[/inlmath] više ne može biti presečnih tačaka.

Potrebno je još samo da odrediš za koje pozitivno [inlmath]x[/inlmath] funkcija [inlmath]g(x)[/inlmath] dostiže jedinicu, kao i da ispravno nacrtaš funkciju [inlmath]f(x)[/inlmath] u intervalu od nule pa do te vrednosti [inlmath]x[/inlmath] za koju je [inlmath]g(x)=1[/inlmath]. Zatim ćeš s grafika vrlo lako očitati broj presečnih tačaka.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 6716
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3516 puta
Pohvaljen: 3699 puta

Re: Broj resenja trigonometrijske jednacine

Postod Mila Maric » Subota, 14. Oktobar 2017, 22:13

Okej, razumem sta treba, nacrtala sam grafik od funkcije [inlmath]g(x)[/inlmath], a da bih nasla grafik funkcije [inlmath]f(x)=|\cos\pi x|[/inlmath], trazila sam prvo grafik od [inlmath]f(x)=\cos\pi x[/inlmath], nadjem domen, kodomen: [inlmath]f(x)=\left[-1,1\right][/inlmath], period je [inlmath]\frac{2\pi}{\pi}=2[/inlmath], nula funkcije: [inlmath]f(x)=0[/inlmath] za [inlmath]\cos\pi x=0[/inlmath] pa je [inlmath]\pi x=\frac{\pi }{2}+k\pi[/inlmath] kada sve podelim sa [inlmath]\pi[/inlmath] dobijem da je [inlmath]x=\frac{1}{2}+k[/inlmath] (i to me zbunjuje, zato sto se tu izgubi [inlmath]\pi[/inlmath], pa ne mogu da nadjem tacku na grafiku). Zato ne znam da li treba nesto drugacije da uradim..
 
Postovi: 16
Zahvalio se: 14 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Broj resenja trigonometrijske jednacine

Postod Daniel » Nedelja, 15. Oktobar 2017, 13:23

Mila Maric je napisao:kada sve podelim sa [inlmath]\pi[/inlmath] dobijem da je [inlmath]x=\frac{1}{2}+k[/inlmath] (i to me zbunjuje, zato sto se tu izgubi [inlmath]\pi[/inlmath], pa ne mogu da nadjem tacku na grafiku).

Zašto te ovaj deo zbunjuje? Sve si dobro odradila. Kako misliš da ne možeš da nađeš tačku na grafiku kad ne figuriše [inlmath]\pi[/inlmath]?
Znači, ako uvrštavaš celobrojne vrednosti [inlmath]k[/inlmath] u [inlmath]x=\frac{1}{2}+k[/inlmath], dobiješ da na intervalu [inlmath](0,2][/inlmath] imaš nule [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath].
Vodi još samo računa da ovde imaš apsolutnu vrednost, tj. prva funkcija glasi [inlmath]f(x)=|\cos\pi x|[/inlmath], tako da će negativne poluperiode postati takođe pozitivne.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 6716
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3516 puta
Pohvaljen: 3699 puta

Re: Broj resenja trigonometrijske jednacine

Postod Mila Maric » Nedelja, 15. Oktobar 2017, 15:36

Znaci, kada nacrtam grafik od funkcije [inlmath]g(x)[/inlmath] koji polazi od nule i prolazi kod tacke cije su kordinate [inlmath]\left(\frac{1}{4},1\right)[/inlmath] i [inlmath](1,2)[/inlmath] i funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] sa nulama [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath], s tim da negativne periode ( tj. period izmedju [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath] se nalazi na negativnoj strani [inlmath]y[/inlmath]-ose) prebacim na pozitivnu stranu, tada kriva funkcije [inlmath]g(x)[/inlmath] sece funkciju [inlmath]f(x)[/inlmath] na [inlmath]4[/inlmath] mesta. Posto mogu da racunam i resenja sa negativne strane [inlmath]x[/inlmath]-ose, pomnozila sam sa [inlmath]2[/inlmath] i dobila [inlmath]8[/inlmath] resenja (od [inlmath]10[/inlmath]).
 
Postovi: 16
Zahvalio se: 14 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Broj resenja trigonometrijske jednacine

Postod Daniel » Nedelja, 15. Oktobar 2017, 23:26

Mila Maric je napisao:i prolazi kod tacke cije su kordinate [inlmath]\left(\frac{1}{4},1\right)[/inlmath] i [inlmath](1,2)[/inlmath]

Ne prolazi kroz tačke s tim koordinatama. Prolazi kroz tačke s koordinatama [inlmath]\left(1,\frac{1}{4}\right)[/inlmath] i [inlmath](2,1)[/inlmath]. Kad se navode koordinate tačke, prvo se navede [inlmath]x[/inlmath]-koordinata, a zatim [inlmath]y[/inlmath]-koordinata. Njihov redosled je bitan, jer je u pitanju uređeni par.

Mila Maric je napisao:tada kriva funkcije [inlmath]g(x)[/inlmath] sece funkciju [inlmath]f(x)[/inlmath] na [inlmath]4[/inlmath] mesta.

Nisi dobro prebrojala presečne tačke. Verovatno si previdela da se te dve krive seku i u tački [inlmath](2,1)[/inlmath]:

preseci.png
preseci.png (2.18 KiB) Pogledano 44 puta
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 6716
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3516 puta
Pohvaljen: 3699 puta


Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 15. Decembar 2017, 14:56 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs